1、二 一般形式的柯西不等式课后篇巩固探究A组1.已知 a,b,c均大于 0,A= ,B= ,则 A,B的大小关系是( )2+2+23 +3A.AB B.A BC.A0,所以 .2+2+23 +3答案 B2.若 x2+y2+z2=1,则 x+y+ z 的最大值等于( )2A.2 B.4C. D.82解析 由柯西不等式,可得1 2+12+( )2(x2+y2+z2)( x+y+ z)2,即( x+y+ z)24,因此 x+y+ z22 2 2 2当且仅当 x=y= ,即 x= ,y= ,z= 时,等号成立 ,即 x+y+ z的最大值等于 2.( 2 12 12 22 ) 2答案 A3.已知 + =1
2、, + =1,则 a1x1+a2x2+anxn的最大值是( )21+22 2 21+22 2A.1 B.2C.3 D.4解析 (a1x1+a2x2+anxn)2( + )( + )=11=1,a 1x1+a2x2+anxn的最21+22 2 21+22 2大值是 1.答案 A4.设 a,b,c均为正数且 a+b+c=9,则 的最小值为( )4+9+16A.81 B.49C.9 D.7解析 由柯西不等式,可得(a+b+c) 81=9,当且仅当4+9+16=19 (4+9+16)19(2+3+4)2=19,即 a=2,b=3,c=4时,等号成立,故所求最小值为 9.2=3=4答案 C5.已知 x,
3、y是实数,则 x2+y2+(1-x-y)2的最小值是 ( )A. B. C.6 D.316 13解析 由柯西不等式,得(12+12+12)x2+y2+(1-x-y)2 x+y+(1-x-y)2=1,即 x2+y2+(1-x-y)2 ,13当且仅当 x=y=1-x-y,即 x=y= 时, x2+y2+(1-x-y)2取得最小值 .13 13答案 B6.已知 a,b,c0,且 a+b+c=1,则 的最大值为 . 4+1+4+1+4+1解析 由柯西不等式,得( )24+1+4+1+4+1=(1 +1 +1 )24+1 4+1 4+1(1 2+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)=34(a+b
4、+c)+3=21.当且仅当 a=b=c= 时,取等号 .13故 的最大值为 .4+1+4+1+4+1 21答案 217.设 a,b,c是正实数,且 a+b+c=9,则 的最小值为 . 2+2+2解析 因为( a+b+c)(2+2+2)=( )2+( )2+( )2 (2)2+(2)2+=18,(2)2(2+2+2)2所以 2 当且仅当 ,即 a=b=c=3时,等号成立 ,故 的最小值为2+2+2 ( 2=2=2 ) 2+2+22.答案 28.设 a,b,c,x,y,z都是正数,且 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,则 = . +解析 由柯西不等式知 253
5、6=(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)( ax+by+cz)2=302=2536,当且仅当=k时,等号成立 .=由 k2(x2+y2+z2)2=2536,解得 k= ,56所以 =k= .+ 56答案569.已知 a+b+c=1,且 a,b,c是正数,求证 9 .2+ 2+ 2+证明 左边 =2(a+b+c) =(a+b)+(b+c)+(c+a)(1+ 1+ 1+)(1 +1+1)2=9.当且仅当 a=b=c= 时,等号成立,故原不等式成立 .(1+ 1+ 1+) 1310.已知 x,y,zR,且 x-2y-3z=4,求 x2+y2+z2的最小值 .解 由柯西不等式,得 x+(-2)y+
6、(-3)z21 2+(-2)2+(-3)2(x2+y2+z2),即( x-2y-3z)214( x2+y2+z2),所以 1614( x2+y2+z2).因此 x2+y2+z2 ,当且仅当 x= ,即当 x= ,y=- ,z=- 时, x2+y2+z2的最小值为 .87 -2= -3 27 47 67 87B组1.已知 x2+y2+z2=1,则 x+2y+2z的最大值为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 由柯西不等式,得(x+2y+2z)2(1 2+22+22)(x2+y2+z2)=9,所以 -3 x+2y+2z3 .当且仅当 |x|= 时,等号成立 .|2|=|2|所以 x+2y+2z
7、的最大值为 3.答案 C2. 导学号 26394054已知 a,b,c为正实数,且 a+2b+3c=9,则 的最大值3+2+等于( )A. B.39 13C.13 D.18解析 当且仅当3+2+=3 +2+13 3(3+1+13)(+2+3)=39( 时,等号成立 ,故最大值为 .3=21=313 ) 39答案 A3.设 a,b,c为正数,则( a+b+c) 的最小值是 . (4+9+36)解析 (a+b+c)(4+9+36)=( )2+( )2+( )2 (2)2+(3)2+(6)2 =(2+3+6)2=121.(2+3+6)2当且仅当 时,等号成立 .2=3=6答案 1214.设 x,y,
8、zR,2 x+2y+z+8=0,则( x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为 . 解析 2x+2y+z+8=02(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考虑以下两组向量:u =(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(uv) 2 |u|2|v|2,即2(x-1)+2(y+2)+(z-3)2(2 2+22+12)(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2.所以( x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=9,当且仅当 x=-1,y=-4,z=2时,等号成立,此时取得最小值 9.(-9)29答案 95. 导学号 26394055已知 x1,x2,x3,x4为实数,
9、且 x1+x2+x3+x4=6, =12,21+22+23+24求证 0 xi3( i=1,2,3,4).证明 由柯西不等式,得(x2+x3+x4)2(1 +1+1)( ),22+23+24由题设条件,得x2+x3+x4=6-x1, =12- ,22+23+24 21代入上式,得(6 -x1)23(12 - ),21 36-12x1+ 36 -3 ,21 21 4 -12x10, 0 x13,21同理可证 0 xi3( i=2,3,4).综上所述,0 xi3( i=1,2,3,4).6. 导学号 26394056设实数 a,b,c,d,e满足 a+b+c+d+e=8,且 a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定 e的最大值 .解 由已知,得 a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,所以(8 -e)2=(a+b+c+d)2( a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)=4(16-e2),化简,得 5e2-16e00 e ,故 emax= .165 165
