1、第二节 诱 导 公 式,三角函数的诱导公式（1）三角函数的诱导公式,cos ,tan ,sin ,-tan ,sin ,-sin ,（2）诱导公式的记忆方法与规律记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.（即公式中的角可以表示为 的形式，“奇、偶”是指k的奇偶性；“符号”是指把角看作是锐角时原函数值的符号）可以分类记忆：函数名称“变与不变”，函数值的符号“变与不变”.,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”).(1)sin(+)=-sin 成立的条件是为锐角.( )(2)诱导公式中的角可以是任意角.( )(3)若cos(n-)= (nZ)，则cos = .( )(4)诱导公式的记忆口诀中“函
2、数名不变，符号看象限”中的符号与的大小无关.( )(5)若 则 ( ),【解析】（1）错误.sin(+)=-sin ,公式成立的条件是为任意角.(2）错误.对于正、余弦的诱导公式角可以为任意角，而对于正切的诱导公式(3)错误.当n为偶数时，当n为奇数时， (4)正确.诱导公式中“符号看象限”中的符号是把任意角都看成锐角时原函数值的符号，因而与的大小无关.,(5)正确. 答案：(1) (2) (3) (4) (5),1.已知 则cos 的值为( )(A) (B) (C) (D) 【解析】选C.,2. 的值是( )(A) (B) (C)0 (D)【解析】选A.,3.点A（sin 2 012,cos
3、 2 012)在直角坐标平面中位于( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限【解析】选C.sin 2 012=sin(6360-148)=sin(-148)=-sin 1480,cos 2 012=cos(6360-148)=cos(-148)=cos 1480.故选C.,4.已知tan(+)=3,则 _.【解析】tan(+)=3,tan =3.原式答案：7,考向 1 利用诱导公式求值或求角【典例1】(1)已知 则等于( )(A) (B) (C) (D) (2)已知 则的值为( )(A) (B) (C) (D),（3）（2013铜陵模拟）已知sin 是方程5x2-7x-
4、6=0的根，则 =_.【思路点拨】(1)利用诱导公式及同角三角函数关系求解.(2)利用诱导公式及对数运算可得tan ,再利用同角三角函数关系求sin 可解.(3)先化简所给式子，由方程求出sin ，然后再代入求值.,【规范解答】（1）选D.由 得, 即又(2)选B.由已知得 即故cos =3sin ,又sin2+cos2=1,即10sin2=1,又-0,sin =-,(3)由sin 是方程5x2-7x-6=0的根，可得 或sin =2(舍）,原式 由 可知是第三象限或者第四象限角.当是第三象限角时， 故,当是第四象限角时， 所求式子的值为答案：,【互动探究】若将本例题（3）中的条件改为“若co
5、s 是方程5x2-7x-6=0的根”，则如何求所给式子的值.【解析】由cos 是方程5x2-7x-6=0的根，可得 或cos =2(舍去）,原式=-tan ,由 可知是第二象限或第三象限角.当是第二象限角时， 当是第三象限角时， 故所求式子的值为,【拓展提升】利用诱导公式解题的原则和步骤（1）应用诱导公式化简的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了.（2）诱导公式应用的步骤：【提醒】用诱导公式时不要忽略角的范围和三角函数的符号.,【变式备选】已知求 的值.【解析】,考向 2 利用诱导公式化简、证明【典例2】（1） _.(2)(2013渭南模拟)已知为第三象限角,化简f()；若 求f()的值.【思
6、路点拨】（1）利用诱导公式化简即可.(2)直接利用诱导公式化简；利用为第三象限角及同角三角函数关系的变形式得f()的值.,【规范解答】(1)原式答案：-1(2) -sin = ,从而sin = .又为第三象限角,即f()的值为 .,【互动探究】将本例题(1)式子变为如何化简?【解析】原式,【拓展提升】1.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求（1）思路：分析结构特点，选择恰当的公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式.（2）化简要求：化简过程是恒等变形；结果中项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.,2.三角恒等式证明的常用方法(1)从左向右证或从右向左证（一般从稍复
7、杂的一边开始证明）.(2)两边向中间证.(3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.,【变式备选】(1)化简:(2)求证:对于任意的整数k,【解析】(1)原式(2)当k=2n(nZ)时,原式当k=2n+1（nZ）时，原式综上,考向 3 诱导公式在三角形中的应用【典例3】（1）（2013萍乡模拟）在ABC中，若sin(A+B-C)=sin (A-B+C),则ABC必是( )(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰三角形或直角三角形 (D)等腰直角三角形（2）在ABC中， 求ABC的三个内角.,【思路点拨】（1）利用诱导公式将所给式子化简，再由三角函数值判断角的关系，最后得结论.(2
8、)利用诱导公式及三角形中角的范围，先确定A，从而求出B，C.,【规范解答】（1）选C.sin(A+B-C)=sin(A-B+C),sin(-2C)=sin(-2B)，sin 2C=sin 2B.0C,0B,2C=2B或2C=-2B,B=C或ABC为等腰三角形或直角三角形.,（2）由 得sin A=cos A,即tan A=1,又0A,又由得又0B,故故所以ABC中，,【拓展提升】1.三角形中的诱导公式在ABC 中常用到以下结论:sin(A+B)=sin(-C)=sin C,cos(A+B)=cos(-C)=-cos C,tan(A+B)=tan(-C)=-tan C,2.三角形中的隐含条件,【
9、变式训练】在ABC中，（1）求证：（2）若求证：三角形ABC为钝角三角形.【证明】 (1)在ABC中，AB-C,(2)若则(-sin A)(-cos B)tan C0, 或角B与角C中有一角为钝角,故ABC为钝角三角形.,【易错误区】整体代换思想不明致误【典例】（2013黄冈模拟）已知函数f(x)=asin(x+)+bcos(x+),且f(4)=3,则f(2 013)的值为( )(A)-1 (B)1 (C)3 (D)-3【误区警示】本题易出现的错误有两个方面：（1）将x=4代入解析式后不会利用诱导公式转化或转化错误.(2)将x=2 013代入解析式化简后，不会利用整体代换思想导致找不到解题思路
10、.,【规范解答】选D.f(4)=asin(4+)+bcos(4+)=asin +bcos =3.f(2 013)=asin(2 013+)+bcos(2 013+)=asin(+)+bcos(+)=-asin -bcos =-(asin +bcos )=-3.f(2 013)=-3.,【思考点评】与函数有关的三角函数问题解题策略1.一般是先化简函数关系式，如利用诱导公式或同角三角函数关系化简，然后再求值.2.对于有条件的求值问题，应先利用已知条件整理化简得出关系式后整体代换得所求的值.,1.(2013渭南模拟)sin 585的值为()(A) (B) (C) (D)【解析】选A.sin 585=
11、sin(360+225)=sin225，=sin(180+45)=-sin 45=,2.（2013宜春模拟）已知的值为( )(A) (B) (C) (D) 【解析】选D.,3.（2013宝鸡模拟）已知A为ABC的内角，且则A等于( )(A) (B) (C) (D) 【解析】选C. 又0A,4.(2013抚州模拟）若cos 130=a,则tan 50=_.【解析】cos 130=cos(180-50)=-cos 50=a,cos 50=-a(a0),答案：,5.(2013汉中模拟）已知 则=_.【解析】由已知，原式 原式 答案：,1.若 则cos(2-)的值是_.【解析】由 得答案：,2.已知关于x的方程 的两根为 则m=_.,【解析】sin(5-)=sin 4+(-)=sin ,由已知可得,sin ,cos 是方程的两根，故式平方得 由得答案：,
