1、第 1 页（共 26 页）2016-2017 学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷一、仔细选一选（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）下列哪些事件是必然事件（ ）A5 月 1 日前一天是 4 月 30 日B一匹马的奔跑速度是 70 米/ 秒C射击运动员一次命中 10 环D明年元旦是晴天2 （3 分）抛物线 y=5（x+2） 23 图象的顶点坐标是（ ）A （ 3，2） B （2，3） C （ 2，3） D （ 2，3）3 （3 分）在 RtABC 中，已知C=90 ，AC=3，AB=4，则 tanA 的值为（ ）A B C D4 （3 分）有这样一道选择
2、题：熊猫一只前掌趾的根数是（ ）？A.3 根 B.4根 C.5 根 D.6 根四个选项中只有一个正确，在你不知道熊猫前掌趾根数或者知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选择支，你答对的概率分别是（ ）A ，1 B ， C1， D ，5 （3 分）将抛物线 y=2x2 先向右平移 4 个单位，再向上平移 5 个单位，得到的新抛物线的解析式为（ ）Ay=2（x +4） 2+5 By=2（x4） 2+5 Cy=2（x+4） 25 Dy=2（x 4） 256 （3 分）如图，在ABC 中，DE BC ，分别交 AB、AC 于点 D，E若DE=4， =，则下列选项中错误的是（ ）第 2 页（共 26 页）
3、AADEABCBBC=10C =D=7 （3 分）下列有关圆的一些结论：弦的垂直平分线经过圆心；平分弦的直径垂直于弦；相等的圆心角所对的两条弦的弦心距相等；等弧所在的扇形面积都相等，其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D48 （3 分）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为 2 的“等边扇形” 的面积为（ ）A B1 C D29 （3 分）如图，已知ABC 与BED 都是顶角为 36的等腰三角形，点 D 是边AC 上一点，且满足 BC2=CDAC，DE 与 AB 相交于点 F，则图中有（ ）对相似三角形A6 B7 C8 D910 （3 分）如图，抛物线 y
4、=x2+20 的图象与 y 轴正半轴的交点为 A，将线段 OA分成 20 等份，设分点分别为 P1，P 2，P 19，过每个分点作 y 轴的垂线，分别与抛物线交于点 Q1，Q 2，记OP 1Q1，P 1P2Q2，的面积分别为S1，S 2，S 19，则 S12+S22+S192 的值为（ ）第 3 页（共 26 页）A47 B47.5 C48 D48.5二、认真填一填（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11 （4 分）己知=，那么的值为 12 （4 分）已知抛物线 y=ax2（a0）过点（1，3） ，则 a 的值是 ，当x0 时，y 随 x 的增大而 13 （4 分）如图，ABC
5、 内接于O ，若OAB=20 ，则C 的大小为 度14 （4 分）如图，点 P 到坐标原点 O 的距离 OP=6，线段 OP 与 x 轴正半轴的夹角为 ，且 cos=，则点 P 的坐标为 15 （4 分）已知O 的半径为 5，AB 是弦，P 是直线 AB 上的一点，PB=3，AB=8，则 OP 长为 16 （4 分）如图，在ABC 中，AB=AC，D 是边 BC 的中点，过 D 作 DEAB 于E，连接 BE 交 AD 于 D1；过 D1 作 D1E1AB 于 E1，连接 BE1 交 AD 于 D1，过 D2作 D2E2AB 于 E2，如此继续，记 SBDE 为 S1，S 记为 S2，S 记为
6、 S3，若第 4 页（共 26 页）SABC 面积为 1，则 S2= ；S n= （用含 n 代数式表示） 三、全面答一答（本大题共 7 小题，共 66 分）17 （6 分）一个不透明的布袋里装有 4 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球，1 个白球（1）从布袋中任意摸出 1 个球，求摸出是红球的概率；（2）从布袋里摸出 1 个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出 1 个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（请用“画树状图” 或“列表” 等方法写出分析过程） 18 （8 分）如图，已知等边ABC（1）用直尺和圆规作出ABC 的外接圆；（2）若 AB=4，求ABC 的外接圆半径 R19 （8 分）某
7、市备受关注的地铁六号线正紧张施工，为了缓解一些施工路段交通拥挤的现状，交警队设立了如图所示的交通略况显示牌，已知立杆 AB 的高度是 3m，从侧面 D 点测得显示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是 60和 45，求路况显示牌 BC 的高度20 （10 分）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为 t（秒）时该足球距离地第 5 页（共 26 页）面的高度 h（米）适用公式 h=20t5t2（0t4） （1）经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？（2）足球从开始踢至回到地面需要多少时间？（3）若存在两个不想等的实数 t，能使足球距离地面的高度都为 m（米） ，请直接写出 m 的取值范围
8、21 （10 分）如图所示，AB 是O 的直径，弦 AC、BD 相交于点 E，且 C 为弧BD 的中点若 EC=2，tanCEB=2（1）求证：ABEDCE ，并求出 BE 的长；（2）求O 的面积22 （12 分）如图，已知一张直角三角形纸片 ACB，其中ACB=90 ，AC=4，BC=3 ，E 、F 分别是 AC、AB 边上的点，连接 EF（1）如图，若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 AB 边上的点D 处，已知 AE=2.5，求AEF 的面积（2）如图，若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 BC 边上的点M 处，且使 MFCA试证明：四边形
9、AEMF 是菱形求 CM 的长23 （12 分）如图，二次函数 y=ax2+2x+c 的图象与 x 轴交于点 A（ 1，0）和点第 6 页（共 26 页）B，与 y 轴交于点 C（0，3） ，过点 A 的直线 ADBC，交抛物线于另一点 D（1）求该二次函数的解析式；（2）求直线 AD 的解析式及点 D 的坐标；（3）在 x 轴上是否存在一点 P，使得以 B、C、P 为顶点的三角形与ABD 相似？若存在；求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由第 7 页（共 26 页）2016-2017 学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题共 10 个小题，每小
10、题 3 分，共 30 分）1 （3 分）下列哪些事件是必然事件（ ）A5 月 1 日前一天是 4 月 30 日B一匹马的奔跑速度是 70 米/ 秒C射击运动员一次命中 10 环D明年元旦是晴天【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可【解答】解：A、5 月 1 日前一天是 4 月 30 日是必然事件；B、一匹马的奔跑速度是 70 米/ 秒是不可能事件；C、射击运动员一次命中 10 环是随机事件；D、明年元旦是晴天是随机事件，故选：A【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即
11、随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件2 （3 分）抛物线 y=5（x+2） 23 图象的顶点坐标是（ ）A （ 3，2） B （2，3） C （ 2，3） D （ 2，3）【分析】根据二次函数的顶点式容易得出其顶点坐标【解答】解：y=5（x+2） 23，其顶点坐标为（2，3） ，故选 D第 8 页（共 26 页）【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y=a（xh） 2+k 的顶点坐标为（h，k）是解题的关键3 （3 分）在 RtABC 中，已知C=90 ，AC=3，AB=4，则 tanA 的值为（ ）A B C D【分析】在直角ABC 中首先利用勾股定理求
12、得 BC 的长，然后利用正切函数的定义求解【解答】解：在直角ABC 中，BC=，则 tanA=故选 C【点评】本题考查了三角函数的定义与勾股定理，理解三角函数的定义是关键4 （3 分）有这样一道选择题：熊猫一只前掌趾的根数是（ ）？A.3 根 B.4根 C.5 根 D.6 根四个选项中只有一个正确，在你不知道熊猫前掌趾根数或者知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选择支，你答对的概率分别是（ ）A ，1 B ， C1， D ，【分析】根据共有四个选项，在这四个选项中只有一个正确，在不知道的情况下，答对的概率是；在知道的情况下，答对的概率就是 1【解答】解：共有 4 种情况，四个选项中只有一个正确
13、，在不知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选择支，答对的概率是；在知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选择支，你答对的概率是 1；故选 A【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ）=第 9 页（共 26 页）5 （3 分）将抛物线 y=2x2 先向右平移 4 个单位，再向上平移 5 个单位，得到的新抛物线的解析式为（ ）Ay=2（x +4） 2+5 By=2（x4） 2+5 Cy=2（x+4） 25 Dy=2（x 4） 25【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可【解
14、答】解：函数 y=2x2 先向右平移 4 个单位，得：y=2（x4） 2；再向上平移 5 个单位，得：y=2（x 4） 2+5；故选：B【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减6 （3 分）如图，在ABC 中，DE BC ，分别交 AB、AC 于点 D，E若DE=4， =，则下列选项中错误的是（ ）AADEABCBBC=10C =D=【分析】根据题意可以得到ADEABC ，然后根据题目中的条件即可推出选项中的说法是否正确，从而可以解答本题【解答】解：在ABC 中，DE BC ，ADE ABC，故选项 A 正确，= ， ，DE=4 ，=，第 10 页（共
15、26 页）AB=10，=，= ，故选项 B 正确，选项 C 错误，故选项 D 正确，故选 C【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用相似三角形的性质解答问题7 （3 分）下列有关圆的一些结论：弦的垂直平分线经过圆心；平分弦的直径垂直于弦；相等的圆心角所对的两条弦的弦心距相等；等弧所在的扇形面积都相等，其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对进行判断；根据垂径定理对、进行判断；根据扇形的面积公式对进行判断【解答】解：弦的垂直平分线经过圆心，正确，正确；平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，错误，错误；在
16、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦的弦心距才相等，错误；等弧所在的扇形面积都相等，正确；即正确的个数为 2，故选 B【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等也考查了垂径定理和扇形的面积计算8 （3 分）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为 2 的“等边扇形” 的面积为（ ）A B1 C D2【分析】根据扇形的面积公式 S=lr，其中 l=r，求解即可【解答】解：S=lr，S= 22=2，故选 D第 11 页（共 26 页）【点评】本题是一个新定义的题目，考查了扇
17、形面积的计算，注：扇形面积等于扇形的弧长与半径乘积的一半9 （3 分）如图，已知ABC 与BED 都是顶角为 36的等腰三角形，点 D 是边AC 上一点，且满足 BC2=CDAC，DE 与 AB 相交于点 F，则图中有（ ）对相似三角形A6 B7 C8 D9【分析】先根据ABC 与BED 都是顶角为 36的等腰三角形可得出 ABCEBD，再由 BC2=CDAC 可得出BCDABC，CBD=ABD=A=36，故可得出BCDEBD ；同理， BDF BCD ABCEBD；ADFEBF ABD【解答】解：ABC 与BED 都是顶角为 36的等腰三角形，ABCEBDBC 2=CDAC，BCDABC ，
18、CBD=ABD=A=36，BCDEBD ；同理，BDF BCDABCEBD ，ADF EBFABD故选 D【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理与等腰三角形的性质是解答此题的关键10 （3 分）如图，抛物线 y=x2+20 的图象与 y 轴正半轴的交点为 A，将线段 OA第 12 页（共 26 页）分成 20 等份，设分点分别为 P1，P 2，P 19，过每个分点作 y 轴的垂线，分别与抛物线交于点 Q1，Q 2，记OP 1Q1，P 1P2Q2，的面积分别为S1，S 2，S 19，则 S12+S22+S192 的值为（ ）A47 B47.5 C48 D48.5【分析】根
19、据等分求出 OP1=P1P2=P2P3=P3P4=P18P19=1，再利用抛物线解析式求出 P1Q1，P 2Q2， ，P 19Q19 的平方的值，利用三角形的面积表示出 S1，S 2，并平方后相加，然后根据等差数列求和公式进行计算即可得解【解答】解：P 1，P 2，P 19 将线段 OA 分成 20 等份，OP 1=P1P2=P2P3=P3P4=P18P19=1，过分点 P1 作 y 轴的垂线，与抛物线交于点 Q1，x 2+20=1，解得 x2=19，S 12=（ 1P1Q1） 2=19，同理可得 S22=18，S32=17，S192=1，w=S 12+S22+S32+S192=19+18+1
20、7+1=47.5，第 13 页（共 26 页）故选 B【点评】本题是对二次函数的综合考查，根据图形的变化规律，分别表示出各三角形的面积的平方是解题的关键二、认真填一填（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11 （4 分）己知=，那么的值为 【分析】根据题意令 a=3，b=4 ，代入即可得出答案【解答】解：=，令 a=3，b=4，原式=，故答案为【点评】本题考查了分式的值，掌握分式值的求法是解题的关键12 （4 分）已知抛物线 y=ax2（a0）过点（1，3） ，则 a 的值是 3 ，当x0 时，y 随 x 的增大而 减小 【分析】把（1，3）代入抛物线 y=ax2（a0 ） ，可
21、得 a；根据该二次函数的对称轴和开口方向可判断增减性【解答】解：把（1，3）代入抛物线，有（1 ） 2a=3，即 a=3；a=30，抛物线开口向上，对称轴 x=0，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小故答案为：3，减小【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握 a 决定开口方向，a 和对称轴决定增减性是解答此题的关键第 14 页（共 26 页）13 （4 分）如图，ABC 内接于O ，若OAB=20 ，则C 的大小为 70 度【分析】连接 OB根据等腰 OAB 的两个底角OAB=OBA、三角形的内角和定理求得AOB 的度数，然后由圆周角定理求即可得 C 的度数
22、【解答】解：连接 OB在OAB 中，OA=OB（O 的半径） ，OAB= OBA （等边对等角） ；又OAB=20，OBA=20；AOB=180220=140；而C=AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半） ，C=70，故答案是：70【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理、圆周角定理解答此类题目时，经常利用圆的半径都相等的性质，将圆心角置于等腰三角形中解答14 （4 分）如图，点 P 到坐标原点 O 的距离 OP=6，线段 OP 与 x 轴正半轴的夹角为 ，且 cos=，则点 P 的坐标为 （4 ，2） 第 15 页（共 26 页）【分析】过点 P 作 PAx，垂足为 A，由 cosA
23、、OP 可求出 P 点的横坐标 OA，再由勾股定理求出 P 点的纵坐标 PA【解答】解：过点 P 作 PAx，垂足为 AcosA=，OP=6 ，0A=4在 RtOPA 中，PA=2所以点 P 的坐标为（ 4，2 ）故答案为：（4，2）【点评】本题主要考察了解直角三角形的相关定义理解余弦的意义构造直角三角形是解决本题的关键15 （4 分）已知O 的半径为 5，AB 是弦，P 是直线 AB 上的一点，PB=3，AB=8，则 OP 长为 或 【分析】首先根据题意画出图形，然后作 OMAB 与 M根据垂径定理和勾股定理求解【解答】解：如图，作 OMAB 与 M，AB=8，BM=AB=8=4，PB=3，
24、PM=1 ，PM=7 ，在直角OBM 中，OM=3；第 16 页（共 26 页）在 RtOPM 中，OP=在 RtOMP中，OP=OP= 或 OP=故答案是：或【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用16 （4 分）如图，在ABC 中，AB=AC，D 是边 BC 的中点，过 D 作 DEAB 于E，连接 BE 交 AD 于 D1；过 D1 作 D1E1AB 于 E1，连接 BE1 交 AD 于 D1，过 D2作 D2E2AB 于 E2，如此继续，记 SBDE 为 S1，S 记为 S2，S 记为 S3，若SABC 面积为
25、1，则 S2= ；S n= （用含 n 代数式表示） 【分析】根据 D 是边 BC 的中点，过 D 作 DEAB，得到 E 为 AC 的中点，BE AC，设 ABC 的高是 h，根据三角形的面积公式求出 S1=，S 2=，得出规律，即可得出结果【解答】解：D 是边 BC 的中点，DE AB ，E 为 AC 的中点，设ABC 的高是 h，过 E 作 EMBC 于 M，BD=DC，DE AB ，AE=EC ，ADBC，EMBC ，ADEM，DM=MC，第 17 页（共 26 页）EM=AD=h，S 1=BCAD=，DEAB，D 1E1AB，=2=，S 2=AEhAEh=，同理 S3=，Sn=，故答
26、案为：；【点评】本题主要考查对三角形的面积，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据求出的结果找出规律是解此题的关键三、全面答一答（本大题共 7 小题，共 66 分）17 （6 分）一个不透明的布袋里装有 4 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球，1 个白球（1）从布袋中任意摸出 1 个球，求摸出是红球的概率；（2）从布袋里摸出 1 个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出 1 个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（请用“画树状图” 或“列表” 等方法写出分析过程） 【分析】 （1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有 16
27、 种等可能的结果数，找出两次摸出的球恰好颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）从布袋中任意摸出 1 个球，摸出是红球的概率=；（2）画树状图为：第 18 页（共 26 页）共有 16 种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为 6，所以两次摸出的球恰好颜色不同的概率=【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率18 （8 分）如图，已知等边ABC（1）用直尺和圆规作出ABC 的外接圆；（2）若 AB=4，求ABC 的外接圆半径 R【分析
28、】 （1）分别作出 AC 和 BC 的垂直平分线，两线的交点就是圆心 O 的位置，再以 CO 长为半径画圆即可；（2）当ABC 是正三角形时， BC 的垂直平分线过 A 点，首先根据等腰三角形三线合一的性质计算出OCF=30，再根据勾股定理计算出 CO 的长度即可【解答】解：（1）如图所示：O 即为所求；（2）当ABC 是正三角形时， BC 的垂直平分线过 A 点，连接 AO，CO，ABC 是正三角形，AFBC，第 19 页（共 26 页）FAC=BAC=30 ，CF=BC=2，AO=CO，ACO=30，OCF=60 30=30，OF=OC，设 OC=2x，则 OF=x，x2+（ 2） 2=（
29、2x） 2，解得：x=2 或 x=2（舍） ，R=2OF=4【点评】此题主要考查了三角形外接圆以及利用勾股定理，基本作图，关键是掌握如何确定三角形外接圆的圆心：其中两条边的垂直平分线的交点19 （8 分）某市备受关注的地铁六号线正紧张施工，为了缓解一些施工路段交通拥挤的现状，交警队设立了如图所示的交通略况显示牌，已知立杆 AB 的高度是 3m，从侧面 D 点测得显示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是 60和 45，求路况显示牌 BC 的高度【分析】在 RtABD 中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边 AD 的长；同理在 RtABC 中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边 A
30、C 的长，进而由 BC=ACAB 得解【解答】解：在 RtADB 中，BDA=45 ，BAD=90，AB=3m ，AD=3m 第 20 页（共 26 页）在 RtADC 中， CDA=60，tan60=，AC=3 BC=ACAB=（33 ）m 答：路况显示牌 BC 的高度是（3 3）m【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路20 （10 分）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为 t（秒）时该足球距离地面的高度 h（米）适用公式 h=20t5t2（0t4） （1）经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？（2）足球从开
31、始踢至回到地面需要多少时间？（3）若存在两个不想等的实数 t，能使足球距离地面的高度都为 m（米） ，请直接写出 m 的取值范围【分析】 （1）根据抛物线的顶点式即可得；（2）求得 h=0 时 t 的值即可；（3）根据 h 的最大值即可得【解答】解：（1）h=20t 5t2=5（t2） 2+20，t=2 时，h 最大，最大值为 20m，答：经过 2s 足球能到达最大高度，最大高度是 20 米；（2）令 h=0，得：20t5t 2=0，解得：t=0 或 t=4，足球从开始踢至回到地面需要 4 秒；（3）由（1）知足球的最大高度为 20 米，0m20第 21 页（共 26 页）【点评】本题主要考查
32、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键21 （10 分）如图所示，AB 是O 的直径，弦 AC、BD 相交于点 E，且 C 为弧BD 的中点若 EC=2，tanCEB=2（1）求证：ABEDCE ，并求出 BE 的长；（2）求O 的面积【分析】 （1）由圆周角定理得出A=D，B= C ，即可得出ABE DCE；连接 BC，由圆周角定理得出ACB=90，由三角函数定义得出 BC=2EC=4，由勾股定理求出 BE 即可；（2）由已知得出，得出 DC=BC=4，由相似三角形的性质得出，求出 AB=4，得出 AO=2，由圆的面积公式即可得出结果【解答】 （1）证明：A=D，B= C，
33、ABEDCE；连接 BC，如图所示：AB 是O 的直径，ACB=90 ，tanCEB=2，BC=2EC=4，BE=2；（2）解：C 为弧 BD 的中点，DC=BC=4，第 22 页（共 26 页）ABEDCE，即，AB=4，AO=2，O 的面积=（2） 2=20【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、圆的面积公式；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似是解决问题的关键22 （12 分）如图，已知一张直角三角形纸片 ACB，其中ACB=90 ，AC=4，BC=3 ，E 、F 分别是 AC、AB 边上的点，连接 EF（1）如图，若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在
34、AB 边上的点D 处，已知 AE=2.5，求AEF 的面积（2）如图，若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 BC 边上的点M 处，且使 MFCA试证明：四边形 AEMF 是菱形求 CM 的长【分析】 （1）首先证明AEFABC，可得=（） 2=（） 2=，由此即可解决问第 23 页（共 26 页）题（2）只要证明 AE=EM=MF=AF 即可设 AE=x，则 EM=x，CE=4 x，由四边形 AEMF 为菱形，推出 EMAB，推出CEM CAB，可得=，即=，求出 x 的值，再利用勾股定理即可解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，由折叠可知，EFAB，AEFDEF ，A
35、FE=ACB=90，A=A，AEFABC，= （） 2=（） 2=，S AEF =34=（2）如图 2 中，由折叠可知，AE=EM，AF=FM， AFE=MFE，MF CA，AEF=MFE ，AEF=AFE，AE=AF，AE=EM=MF=AF，四边形 AEMF 是菱形设 AE=x，则 EM=x，CE=4 x，四边形 AEMF 为菱形，EMAB，CEM CAB，= ，即 =，解得 x=，第 24 页（共 26 页）AE=EM=，CE=，CM=【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用此时构建方程解决问题，
36、属于中考常考题型23 （12 分）如图，二次函数 y=ax2+2x+c 的图象与 x 轴交于点 A（ 1，0）和点B，与 y 轴交于点 C（0，3） ，过点 A 的直线 ADBC，交抛物线于另一点 D（1）求该二次函数的解析式；（2）求直线 AD 的解析式及点 D 的坐标；（3）在 x 轴上是否存在一点 P，使得以 B、C、P 为顶点的三角形与ABD 相似？若存在；求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由【分析】 （1）把 A（1，0） ，C（0，3）代入 y=ax2+2x+c 即可得到结果；（2）在 y=x2+2x+3 中，令 y=0，则 x2+2x+3=0，得到 B（3，0） ，由已知条件
37、得第 25 页（共 26 页）直线 BC 的解析式为 y=x+3，由于 ADBC，设直线 AD 的解析式为 y=x+b，即可得到结论；解方程组得 D（4， 5） ；（3）由 BCAD，得到DAB=CBA，只要当=或=时，PBCABD，求出AD=5， AB=4，BC=3，代入比例式解得 BP 的长度，即可得到 P（，0）或P（， 0） 【解答】解：（1）次函数 y=ax2+2x+c 的图象经过点 A（1，0）和点C（ 0，3） ，解得 ，二次函数的表达式为 y=x2+2x+3；（2）在 y=x2+2x+3 中，令 y=0，则 x2+2x+3=0，解得：x 1=1，x 2=3，B（3，0） ，由已
38、知条件得直线 BC 的解析式为 y=x+3，ADBC，设直线 AD 的解析式为 y=x+b，0=1+b，b=1，直线 AD 的解析式为 y=x1由，得或，D（4，5） ；第 26 页（共 26 页）（3）BCAD，DAB=CBA ，又D（4，5） ，ABD45，点 P 在点 B 得到左侧，只可能ABD BPC 或ABD BCP，= 或=，A（1 ，0） ，B（3 ，0） ，C （0 ，3） ，D （4，5） ，AD=5 ，AB=4，BC=3，即 =或 =，解得 BP=或 BP=，3 =，3=，P（， 0）或 P（，0 ） 【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法，锐角三角函数，最值的求法，相似三角形的判定和性质，解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解或错解
