1、小学六年级奥数专题训练：博弈问题 12012-08-10 15:10 来源： 网络编辑整理 作者： 网络编辑整理 标签： 奥数试题 小学奥数题 例 1：一个木盒中有 101 个塑料球，甲乙两人轮流从中取球，但每人每次只能从中取走 1 个球或 2 个球，谁能先取得木盒中最后一个球就谁胜。例 2：有两堆相等的棋子，甲乙两人轮流在其中任意一堆里取，多取不限制，但是不能不取。谁取到最后一枚棋子为胜。如果甲先取，他一定能获胜吗？例 3：在一张有 40 个小方格的棋盘上（如图 1），甲持黑子置于 A 处，乙持白子置于B 处，随后两人轮流走，每次可沿一条横线或一条纵线至少走一格，并要遵守如下规则：（1）不可
2、和对方的棋子处在同一条线上；（2）走时不能越过对方所在棋子的线。轮到谁无路可走就算失败。怎样才能取胜？例 4：甲乙两人轮流地往一张圆桌面上放一枚伍分硬币，规定任何硬币不能重叠。谁放完一枚之后而使得对方无法再往桌子面上放硬币时，谁就是胜利者。设想甲放第一枚硬币，问：甲有没有一种稳操胜券的策略？1、两人轮流从 1 开始，依次报数，每人每次只能报 1 个数或 2 个数，谁先报到 30 获胜。怎样才能取胜？2、有 200 枚棋子放在盒子里，甲、乙两人轮流各取 1 枚或 2 枚，取到最后 1 枚的为胜。必胜的策略是什么？3、黑板上有一排数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3、 15 16 17 18 19 20甲乙两人轮流划掉任意相邻的两个数。如果甲划过之后乙再也划不成了，甲就算胜了。甲有必胜的方法吗？4、有 1996 个球，甲乙两人进行取球比赛，规则是两人轮流取，每人每次最少取 1 个，最多取 4 个，取到最后一个球的人为胜。如果甲先取，如何取法才能保证取胜？5、有三行棋子如图两人轮流取，每人每次必须在同一行中至少取走 1 枚，谁最后取完为胜。试问：要想获胜应先取还是后取？6、一盘糖果，一共有 1997 粒，两人轮流从中取糖果，每次最多取 7 粒，可以少取，但不能不取，取得最后一粒糖果为胜，是先取者胜，还是后取者胜？怎样取法才能保证获胜？小学六年级奥数专题训练：
4、博弈问题 22012-08-10 15:09 来源： 网络编辑整理 作者： 网络编辑整理 标签： 奥数试题 小学奥数题 【1】有 1001 根火柴放在盒子里，甲、乙两人轮流各取 1 根或 2 根，取到最后一根者为胜。必胜的最佳对策是什么？【2】在黑板上写下一列连续的自然数：2、3、4、1999、2000，甲先擦去其中一个数，然后乙再擦去一个数。如此轮流地擦下去。若最后剩下两个质数时，甲取胜；若最后剩下两个数不互质时，乙取胜。这个游戏中谁取胜的可能性最大？【3】两人轮流在圆桌面上摆硬币，每次摆一枚，各个不能互相重叠，也不能有一部分在桌面的边缘以外。这样经过反复多次以后，谁先摆不下硬币就算输。谁有
5、必胜的策略？取胜的策略是什么？【4】请你参加一种游戏：有 1996 个棋子，两人轮流取棋子，每次允许取其中 2 个、4 个或 8 个，谁最后把棋子取完，就算获胜。如果你先取，那么第一次你取多少个？先取的人有一个必胜的方法，如果你已想出这个办法，请写出来。【5】桌子上有 a 颗棋子，甲、乙两人轮流拿棋子，他们规定：假如甲先拿，可以拿任意颗棋子，但不能拿光。接着乙拿，乙拿的棋子数最多只能比甲拿 的多一个。接着甲拿，最多只能比乙刚才拿的数目多一个。接着乙拿，最多只能比甲刚才拿的数目多一个。如此下去，最后一步谁把棋子拿光就算胜者。【6】两人按自然数轮流报数，每人每次只能报 1 或 2 个数，比如第 1
6、 个人可以报 1，第 2 个人可以报 2 或 2、3；第 1 个人也可以报 1、2，第 2 个人可以报 3 或 3、4，这样继续下去，谁报到 30，谁就胜。请问谁有必胜的策略？【7】 甲、乙两人在计算机上玩如下游戏，两人轮流从数中减去该数的一个非零数字得一个数，然后再从新数中减去它的一个非零整数，重复以上过程直至一人无数可减时，则此人为负，试，最终是先开始游戏的人获胜还是后开始的人获胜？有无必胜的对策？【8】 n 个“一”排成一行，甲、乙轮流改写“”为“”，每次只准改一个或相邻的两个，先得全部“”者胜，若甲先改，请问甲是否有必胜的策略？【9】 m、n 是自然数，甲、乙二人轮番在 mn 的方棋盘
7、的每个格内放棋子，甲先放第一个棋子，乙只能在与上述棋子相邻的某格内放棋子（相邻格 指有一条公共边的两个格），甲再放时又必须在与乙所放的棋子相邻的某格内放棋子，以后轮番放棋子时也遵守这个规则，谁无法放棋子时谁失败，为避免失误，你 愿意先放还是后放？【10】 在 nn 的方格盘中，把其中 n1 个方格染成黑色，其余中不染色，染完后，允许按下述操作把某些未染色的方格染上黑色，规则是：只要 是某个未染色的方格与两个黑色方格相邻（如果两个方格有一条公共边，就称这两个方格相邻），就把这个方格染黑，证明：按照这种规则操作下去，不能把整个棋 盘全染成黑色。小学六年级奥数专题训练：博弈问题 32012-08-1
8、0 15:06 来源： 网络编辑整理 作者： 网络编辑整理 标签： 奥数试题 小学奥数题 例 1 100 名同学按编号 1100 号从右到左顺次排成一行，然后“1、2”报数，凡是报1 的就出队，剩下的 50 人向右看齐再从头开始 1、2 报数，报 1 的再出队这样继续下去，问报了几轮后只留下 1 人，他是几号？规定从排头报到尾算一轮。练习：1甲、乙两人轮流报数，必须报大于 6 的自然数，把两个人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是 2000，谁就获胜，如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？2. 将例中的 100 人改成人，最后站出来的人是第几号？如果是人，最后站出来的人是第几号？
9、例 2 将例 1 中的“1、2”报数改为“1、2、3”报数，凡报 1、2 的出队，问站在哪号位置上最后一个出队？练习：名同学从左到右按编号从到排成一排，然后从左到右报数，凡报的同学留下，其余的同学都离开；留下的同学按原顺 序向左看齐后再报数，凡报的同学留下，其余的同学都离开。直到留下的同学的人数比少为止。问最后留下的同学原是多少号？例 3 将例 1 中凡报 1 的出队，改为报 2 的出队，直到留下两个人为止，问这两个人的号码是多少？例 4 哥哥拿着一副扑克牌对妹妹说：“我会变魔术，你想要哪张牌我就给你剩下哪张牌”。妹妹说：“我要大王”。哥哥洗好牌后让妹妹从下往上取出所有第奇数张牌， 取完后哥哥
10、手里还剩下 27 张牌，规定从下取到上算一轮；哥哥又让妹妹从下往上取出手里牌的第奇数张牌，这样继续下去，经过几轮后哥哥手里只剩下一张 牌，妹妹一看果然是大王，你能帮妹妹算一算一共进行了几轮吗？开始时哥哥把大王放在了从上往下数的第几张？3 轮后还剩下几张牌？例 5 植树节到了，老师要从二（1）班的 45 名同学中抽取若干人去平谷山区植树。老师让这 45 名同学从左到右排成一排 1、2、3 报数，凡是报 1 的同学向前走 1 步；报 3 的同学向后退一步；报 2 的同学原地不动。这时全班 45 名同学由 1 行变成了 3 行，老师又要这 3 行同学从左到右 1、2、3 报数。老师最后说：“在两次
11、报数中都报 1，都报 2 或者都报 3 的同学去植树，其余的同学在校内劳动”。你知道有多少人去植树了吗？小聪非常想去植树，报数前他应该站在哪些位置上？例 6 1994 名学生从左至右按编号从 1 到 1994 排成一排，先今奇数号位上的学生离队，余下的学生顺序不变，向左靠拢后，再令偶数号位的学生离队（重新编队后的），余下的学生的顺序不变，向左靠拢，如此反复，则最后留下的一个学生原编号是几？练习：1994 名学生从左至右按编号从 1 到 1994 排成一排，先今偶数号位上的学生离队，余下的学生顺序不变，向左靠拢后，再令奇数号位的学生离队（重新编队后的），余下的学生的顺序不变，向左靠拢，如此反复，
12、则最后留下的一个学生原编号是几？小学六年级奥数专题训练：博弈问题 42012-08-10 15:04 来源： 网络编辑整理 作者： 网络编辑整理 标签： 奥数试题 小学奥数题 例 有名战士被敌人俘虏了，敌人都今他们围成一个圆圈，编上号码、，敌人先把号，号，号号杀了，敌人是杀一个隔一个转着圈杀，最后只剩下一个人，问这个人是多少号？例 有一副扑克牌共张，小明拿着它从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第张牌舍去，把下一张牌放在这摞牌的最下面。再 把原来的第张牌舍去，把下一张牌放在这摞牌的最下面反复这样地做，直到手中只剩下一张牌，那么剩下的这张牌是原来那一摞牌的第几张？例 枚棋子围成一个
13、圆圈，依次编上号码、，顺时针方向每隔一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止，如果剩下的这枚棋子的号码是，那么第一个被取走的棋子是多少号？例 名同学排成一圈，进行、报数，凡报、的出队，报的留下，报数一圈一圈地循环进行，直到只剩下一个人为止，问这个人与第一个报 1 的同学之间有多少名同学例 多个小朋友围成一圈练习数数，按顺时针方向一圈一圈循环报数，如果报和报的是同一个人，问共有多少个小朋友？例 个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行报数，如果报数一圈一圈地循环进行下去，问： 有没有人这个数都报过？ 第个小朋友报过几个数？ 数字至多有几个人报过？ 是否有小朋友同时报过和？作业个小朋友围成一圈，进行报数，
14、如果报数一圈一圈地循环下去，问报和报几的小朋友是同一个人？至少写出个数。把这个数依次均匀排成一个首尾相接的大圆圈，从开始，留划掉，再留划掉，接下去把余下的数每隔一个划掉一个，转圈划下去，直到最后剩下一个数为止。问最后剩下的这个数是几？名同学围成一圈，顺次从编到号，从号开始“、”报数，凡报、的离开，报的不动，直到剩下一个人为止，问这名同学一开始站在多少号位置上？个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行报数，如果报数一圈一圈地循环进行下去，问至多有多少个小朋友报过数字？有没有人同时报过和？为什么？块积木围成一个大圆圈，依次编上号码，从某块积木开始顺时针方向每隔一块拿掉一块，直到剩下一块积木为止，剩下
15、的这块积木的号码是号，那么第一个被取走的积木是多少号？小学六年级奥数专题训练：博弈问题 52012-08-10 15:03 来源： 网络编辑整理 作者： 网络编辑整理 标签： 奥数试题 小学奥数题 有 3 堆火柴，根数分别为 12、9、6.。甲乙两人轮番从其中一堆中取出 1 根或几根火柴，取到最后一根者获胜。先取者还是后取者有必胜策略，如何取胜？（1）两人从 1 开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，谁先报到 30，谁就为胜方。（2）两人从 1 开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，同时把两个人报出的所有数累加，谁先使这个累加数最先达到 30，谁就为胜方。解决最个问题的一般
16、策略是用倒推法。以（1）为例，要抢到 30，必须抢到 27；要抢到 27，必须抢到 24。如此倒推回去，可得到一系列关键数 30、27、24、21、18、9、6、3。根据以上分析，抢 30 游戏本身并不是一个公平的游戏，初始数和先后顺序已经决定了最后的结果，因为只有后报数者才能抢到 3 的倍数，后报数者有必胜策略。练习：1、桌上有 30 根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取 13 根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？2、甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报 14 个数，谁报到第 888 个数谁胜。谁将获胜？怎样获胜？3、有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意
17、一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗？4、有三行棋子，分别有 1，2，4 枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走 1 枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜是先取还是后取？5、黑板上写着一排相连的自然数 1，2，3，51。甲、乙两人轮流划掉连续的 3 个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？小学六年级奥数专题训练：博弈问题 52012-08-10 15:03 来源： 网络编辑整理 作者： 网络编辑整理 标签： 奥数试题 小学奥数题 有 3 堆火柴，根数分别为 12、9、6.。甲乙两人轮
18、番从其中一堆中取出 1 根或几根火柴，取到最后一根者获胜。先取者还是后取者有必胜策略，如何取胜？（1）两人从 1 开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，谁先报到 30，谁就为胜方。（2）两人从 1 开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，同时把两个人报出的所有数累加，谁先使这个累加数最先达到 30，谁就为胜方。解决最个问题的一般策略是用倒推法。以（1）为例，要抢到 30，必须抢到 27；要抢到 27，必须抢到 24。如此倒推回去，可得到一系列关键数 30、27、24、21、18、9、6、3。根据以上分析，抢 30 游戏本身并不是一个公平的游戏，初始数和先后顺序已经决定了最后的
19、结果，因为只有后报数者才能抢到 3 的倍数，后报数者有必胜策略。练习：1、桌上有 30 根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取 13 根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？2、甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报 14 个数，谁报到第 888 个数谁胜。谁将获胜？怎样获胜？3、有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗？4、有三行棋子，分别有 1，2，4 枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走 1 枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜是先取还是后取？5、黑
20、板上写着一排相连的自然数 1，2，3，51。甲、乙两人轮流划掉连续的 3 个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？小学六年级奥数专题训练：博弈问题 62012-08-10 15:00 来源： 网络编辑整理 作者： 网络编辑整理 标签： 奥数试题 小学奥数题 1对于 324 和 612，把第一个数加上 3，同时把第二个数减 3，这算一次操作，操作_次后两个数相等.2. 对自然数 n,作如下操作：各位数字相加，得另一自然数，若新的自然数为一位数，那么操作停止，若新的自然数不是一位数，那么对新的自然数继续上面的操作，当得到一个一位数为止，现对 1,2,3,1998
21、 如此操作,最后得到的一位数是 7 的数一共有_个.3. 在 1,2,3,4,5,59,60 这 60 个数中,第一次从左向右划去奇数位上的数；第二次在剩下的数中，再从左向右划去奇数位上的数；如此继续下去，最后剩下一个数时，这个数是_.4. 把写有 1,2,3,，25 的 25 张卡片按顺序叠齐，写有 1 的卡片放在最上面，下面进行这样的操作：把第一张卡片放到最下面，把第二张卡片扔掉；再把第一 张卡片放到最下面，把第二张卡片扔掉；按同样的方法，反复进行多次操作，当剩下最后一张卡片时，卡片上写的是_.5. 一副扑克共 54 张,最上面的一张是红桃 K.如果每次把最上面的 4 张牌,移到最下面而不
22、改变它们的顺序及朝向,那么,至少经过_次移动,红桃 K 才会出现在最上面.6. 写出一个自然数 A,把 A 的十位数字与百位数字相加,再乘以个位数字,把所得之积的个位数字续写在 A 的末尾,称为一次操作.如果开始时 A=1999,对 1999 进行一次操作得到 19992，再对 19992 进行一次操作得到199926，如此进行下去直到得出一个 1999 位数为止，这个 1999 位数的各位数字之和是_.7. 黑板上写有 1987 个数:1,2,3,，1986，1987.任意擦去若干个数,并添上被擦去的这些数的和被 7 除的余数,称为一个操作.如果经过若干次这种操作,黑板上只剩下了两个数,一个
23、是 987,那么,另一个数是_.8. 黑板上写着 8,9,10,11,12,13,14 七个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减 1.例如,擦掉 9 和 13,要写上 21.经过几次后,黑板上就会只剩下一个数,这个数是_.9. 口袋里装有 99 张小纸片,上面分别写着 199.从袋中任意摸出若干张小纸片,然后算出这些纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中.经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是_.10. 用 110 十个数随意排成一排.如果相邻两个数中,前面的大于后面的,就将它们变换位置.如此操作直到前面的数都小于后面的数为止.已知 10 在这列数中的第 6 位,那么最少要实行_次交换.最多要实行_次交换.
