1、乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第一次诊断性检验理科数学第卷 （选择题 共 60 分）一、选择题：共 12 小题，每小 5 题分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则|0Mx 2,01NMN.D.A| B.C|20x 0,12. 在复平面内复数 对应的点在1iz第一象限 第二象限 第三象限 第四象限. . . .3. 设函数 满足 ，则()fx(sinco)sincof(0)f.A12.B0.C12.D14.“ ， ”是“ ”的xRxem2lg1充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件. . . .5. 将函数 （ ）的图象向
2、左平移 个单位后的图形关于原点对称，则函数 在()sinf|6()fx0,2上的最小值为 .A3 .B12.C12 .D36. 一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积为 .A3 .B23C1 D47. 已知 ， 分别是区间 内随机取的实数，则使得 的概率是xy0,2sinyx.A24 .B2C1 D28. 设 是公差不为零的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列，na2a13a9则数列 的前 项和 nS.A274 .B2n.C234n1 .D2n9. 执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印出的点在圆内的个数是20xy.A.B3.C
3、4.D510. 若双曲线 （ ）的渐近线与圆 相离，则其离心率 的取值范围是21ab0,ab2()1xye.e.152e.3e.5211. 过抛物线方程为 （ ）的焦点 的直线 交抛物线于 ， ，交其准线于点 ，若ypx0FlABC，2BCF，则抛物线的方程为|3A=.1yx.B29yx.C26yx.D23yx12. 设数列 的前 项和 ，且满足 ，则 的取值范围是nanS1naSn.(0,).(0,).,1)2.1,)2第卷 （非选择题 共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题 - 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题-第 24 题为选考题，考生根据要求
4、作答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13已知 ， 满足 ，则 的最小值为 .xy2,1.xy 2zxy14正三角形 的边长为 ，将它沿高 翻折，使点 与点 间的距离为 ，则四面体 外接球ABC23ADBC3ABCD的表面积为 .15. 在 中， ， ，则 面积的最大值为 .PQR7|6PQRPQR16. 已知函数 有且仅有一个零点 .若 ，则 的取值范围是 .32()63(0)fxaa0xa二、解答题：第 1721 题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在 中，角 ， ， 的斜边分别是 ， ， ，且 .ABCBCbc1osc2aBbA-
5、=（）求证： ；tan3t=（）若 ， ，求 的面积.45bA18如图，在直三棱柱 中，1ABC-， ，90BCA=2=， 分别是 ， 的中点.EF1（）求证： 平面 ；BCF（）求二面角 的平面角的余弦值. A-19某市现有居民 万人，每天有 的人选择乘坐出租车出行，记每位乘客的里程为 ， .由调301%()xkm12x 查数据得到的频率分布直方图（如图） ，在直方图的乘车里程分组中，可以用各组的区间中点值代表该组的各个值，里程落人该区间的频率作为里程取区间中点值的概率.现规定里程 时，乘车费用为 元；当 时，每超出x 03x（不足 时按 计算） ，乘车费用增加 元1km1km1.3（）试估
6、计乘客的乘车费用不超过 元的概率；52（）试估计出租车公司一天的总收入是多少？（精确到 万元）.0120. 已知椭圆 离心率为 ， ， 是其焦点，点 在椭圆上.21(0)xyaba+=21F2P（）若 ，且 的面积等于 ，求椭圆的方程； 129FP12PF（）直线 交椭圆于另一点 ，分别过点 ， 作直线 的垂线，交 轴于点 ， ， 当 取最QQxMN小值时，求直线 的斜率.P21. 已知曲线 .()ln)l()0fxaxa（）曲线 在点 处的切线方程 ，求 的值； y0,f 2yxa（）当 时， ，试求 的取值范围 .x32()xf a请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做
7、，则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 过以 为直径的圆上 点作直线交圆于 点，交 延长线于 点，ABCEABD过 点作圆的切线交 于 点，交 延长线于 点，且 .CDFGF=（）求证： ；A=（）设 为 的中点，求证： .HBHAFBD=22 （本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中， 是直线 上的一点， 是射线 上的一点，满足 .xOyP210xy+-QOP|=1OPQ（）求 点的轨迹； Q（）设点 是（）中轨迹上任意一点，求 的最大值.(,)Mxy 7xy24.（
8、本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 ， .()|fa=-0,2xemR22lg1m2或 ； “ ” “ ，或 ”故选 A.m2m+()241c-243c3e11.选 D.【解析 】分别过 点作准线的垂线，垂足分别为 ， , .又AB， 1AB， 1FAF，2BCF ， ,又 ,1160C 60DO=3A= ， ， ，抛物线方程为 .故选 D.32132p32p23yx12.选 C.【解析】已知 ，当 时，得 ；当 时， ,两式相减，得naS1n=1an1naS， ，由题意知， ， （ ） ，数列 是首项为 ，公比10nna-+=12n- 10n-12n-=na12为 的等比数
9、列，2 ， .故选 C.112nnnS-=-S1,2二、填空题共 4 小题 ，每小题 5 分，共 20 分.13.填 .【 解析】如图可知 的最小值是 2zxy14.填 .【解析】由题意得四面体 是底面边长为 的正三角形，侧棱 垂直底面，且 ，136pABD3AD3A， ，则外接球球心在过底面中心垂直于底面的垂线上，且到底面的3ABC3C距离等于 的一半， ， .D21R=+3341=26VRpp=球 x+2y=zx-2y=2o2x+y=4 x-y=1y x15填 .【解析 】在 中设 所对的边分别为 .由题意知：12PQRD,R,pqrcos7,qrP=，()36PQR-=即 ，可知 ， 又
10、 22cos36rq-+=A250rq+=227sin1cos1Pqr=-=- ，而 ，()()2211491in49PQRSr rrD-250qr+当且仅当 时等号成立 . 所以，当且仅当 时5qr= 5qr=()2max1491PQRSD=-16填 .【 解析】函数 有且仅有一个零点 ，当且仅当 的极大值小于3322a-+2()3fx-0x,a-则 在区间 单调递增，在区间 单调递减，在区间 单调递增.),a-(),a+故 即 ，解得：()0fa-22ca=22cab=-2b=， ， 1290FP1212FPSFD=由点 在椭圆上， ，在 中， a12RtPD2214FPc+可得 ， ，椭
11、圆的标准方程为 5 分2b=2axy+（）不妨设 是左焦点， ， ，依题意知 ,点 , 分别在 轴上，1F1(,)Pxy2(,)Q,QMN x直线 的倾斜角不等于 .PQ90设直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，则直线 的方程为:kqP()ykxc=+解方程组 ，得： 2()1yxcab=+ 22222() 0bakxckxab+-设此方程的两个根为 ，由韦达定理得12,x222121ckabk，-=+且 11(),()ykcykc=+=+可得 ()22 221 1124PQxykxx-()2 22 2214abkakcackbb+-=+-=+故 = ，又 ， MN()2221cosPakqea22
12、c2ab= ，令 ， 2324(1)ak+()2tt=+32()1)tft=-则 =()223431)()ttf-=24(1)3tt- ，得 ，或 ，或()0ftt2tt当 时， ，故函数 在 上为减函数， 来源:学.科.网 Z.X.X.K312t()0ft()ft31,2当 时， ，故函数 在 上为增函数，t()ft()ft,+ 有最小值 ，()ft327f= 取最小值 时， ，即 12 分MN64a231k+2k=21 （ 12 分）（）已知 则 ，()ln)l()0fxxa=- 21()afxax+=-，由题意知 ， 4分 20a2f=（II）令3()(0)xgxf-则32222() ()affxx=-=-=-4222(1xaaa-+-i)当 时， ，012-20- 时， ，0函数的图象为：当 时， ， 依题意， ，则2ax=min2ay-12a- 的取值范围是 10 分10以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分xoaa2y
