1、1一元一次方程的解法（提高篇）【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称 具体做法 注意事项去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号 先去小 括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号移 项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项 把方程化成 axb (a0) 的形式 字母及其指数不变系数化成 1在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解 xa 不要把分子、分母写颠倒要点诠释：（1）解方程时，表中有
2、些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义要点诠释：此类问题一般先把方程化为 axbc的形式，分类讨论：(1)当 0c时，无解；（2）当 0c时，原方程化为： 0axb；（3）当 0
3、c时，原方程可化为： axbc或 x.2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式 axb，再分三种情况分类讨论：（1） 当 a0时， xa；（2）当 a0，b0 时，x 为任意有理数；（3）当 a0，b0 时，方程无解（2）【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程1解方程：2(1) 253x； (2)15.4320.6xx【答案与解析】 解：(1) 移项，合并得 186x系数化为 1，得 x48(2)15.4x+32-0.6x移项，得 15.4x+0.6x-32合并，得 16x-32系数化为 1，得 x-2【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：(1)移
4、项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项( 常数项)放在等式的右边(2)合并：即通过合并将方程化为 axb(a0)(3)系数化为 1：即根 据等式性质 2：方程两边都除以未知数系数 a，即得方程的解 bxa举一反三：【变式】下列方程的解法对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？3x+27x+5解：移项得 3x+7x2+5，合并得 10x7，系数化为 1得 70x【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也 就是说将方程中 右边的 7x 移到方程左边应变为-7x，方程左边的 2 移到方程右边应变为-2 正确解法：解：移项得 3x-7x5-2， 合并得-4
5、x3，系数化为 1 得 34x类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程： 12()(1)2xx【答案与解析】解法 1：先去小括号得： 23再去中括号得： 1243xx移项，合并得： 52系数化为 1，得： x解法 2：两边均乘以 2，去中括号得： 4()(1)33去小括号，并移项合并得： 516x，解得： 15x解法 3：原方程可化为： 12()()()23 去中括号，得 14xx移项、合并，得 5()1解得 x【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便例如本题的方法 3：方程左、右两边都含( x-1
6、)，因此将方程左边括号内的一项 x 变为(x-1)后，把(x-1) 视为一个整体运算3解方程： 1102x【答案与解析】解法 1：(层层去括号)去小括号 1024x，去中括号 8，去大括号 110642x，移项、合并同类项，得 58x，系数化为 1，得 x30解法 2：(层层去分母)移项，得 112，两边都乘 2，得 2x，移项，得 113，两边都乘 2，得 6x移项，得 17，两边都乘 2，得 14x，4移项，得 152x，系数化为 1，得 x30【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思 路做 举一反三：【变式】解方程 116412345x【答案】解：方程两边同乘 2，得
7、2x，移项、合并同类项，得 16345，两边同乘以 3，得 x移项、合并同类项，得 1045，两边同乘以 4，得 x，移项，得 15，系数化为 1，得 x5类型三、解含分母的一元一次方程4解方程： 1.50.812.xx【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的 失误【答案与解析】解法 1：将分母化为整数得： 40158120xx约分，得：8x-3-25x+412-10x移项，合并得： 7x解法 2：方程两边同乘以 1，去分母得： 8x-3-25x+412-10x移项，合并得： 【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，如解法 1；但有时直接去分母更简便
8、一些，如解法 2举一反三：5【变式】解方程 0.4.930.215yy【答案】解：原方程可化为 去分母，得 3(4y+9)-5(3+2y)15去括号 ，得 12y+27-15-10y15移项、合并同类项，得 2y3系数化为 1，得 2y类型四、解含绝对值的方程5解方程： 3|2x|-20【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求 x 的值【答案与解析】解：原方程可化为： 23x当 x 0时，得 ，解得： 1x，当 x 0 时，得 2x，解得： 3， 所以原方程的解是 x 3或 x 【总结升华】此类问题一般先把方程化为 abc的形式，再根据（ axb）的正负分类讨论，注意不要漏
9、解举一反三：【变式】解方程|x-2|-10【答案】解：原方程可化为：|x-2|=1，当 x-20，即 x2时，原方程可化为 x-21，解得 x3；当 x-20，即 x2 时，原方程变形为 -(x-2)=1，解得 x1 K所以原方程的解为 x3 或 x1类型五、解含字母系数的方程6. 解关于 x的方程： mxn 【答案与解析】解：原方程可化为： ()1当 0mn，即 n时，方程有唯一解为： 1xmn；当 ，即 时，方程无解【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式 ab，再根据 x系数 a是否为零进行分类讨论6举一反三：【变式】若关于 x 的方程( k-4)x=6 有正整数解，求自然数 k
10、 的值.【答案】解：原方程有解， 40k原方程的解为： 6为正整数， 4k应为 6 的正约数，即 4可为：1，2，3，6 k为：5，6，7，10答：自然数 k 的值为：5，6，7，10.巩固练习题一、选择题1关于 x 的方程 3x+50 与 3x+3k1 的解相同，则 k 的值为( )A-2 B C2 D43432下列说法正确的是 ( )A由 7x4x-3 移项得 7x-4x-3B由 去分母得 2(2x-1)1+3(x-3)12xC由 2(2x-1)-3(x-3)1 去括号得 4x-2-3x-94D由 2(x-1)x+7 移项合并同类项得 x53将方程 去分母得到方程 6x-3-2x-26，其
11、错误的原因是( )23xA分母的最小公倍数找错B去分母时，漏乘了分母为 1 的项C去分母时，分子部分的多项式未添括号，造成符号错误D去分母时，分子未乘相应的数4解方程 ，较简便的是( )53074xA先去分母 B先去括号 C先两边都除以 D先两边都乘以45455小明在做解方程作业时，不小心将方程中一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：，怎么办呢? 小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是 ，于是12y 3y小明很快补上了这个常数，并迅速完成了作业同学们，你们能补出这个常数吗?它应是( )A1 B2 C3 D46. （山东日照）某道路一侧原有路灯 106 盏，相邻两盏灯的距离为 36米，现
12、计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为 70 米，则需更换的新型节能灯有（ ）A54 盏 B55 盏 C56 盏 D57 盏7. “”表示一种运算符号，其意义是 ，若 ，则 等于 （ ） 。2ab(13)2xx7A1 B C D2 238.关于 的方程 无解，则 是 （ ）x(8)70mnxmnA正数 B非正数 C负数 D非负数 二、填空题9.（福建泉州）已知方程 |x2，那么方程的解是 . 10. 当 x= _ 时，x 的值等于 2.3111已知关于 x 的方程的 解是 4，则 _2ax2()a12若关于 x 的方程 ax+3=4x+1 的解为正整数，则整数 a 的值是 13已知
13、关于 的方程 的解满足 ，则 的值是3()m30xm_14a、b、c、d 为有理数，现规定一种新的运算： ，那么当abdcc时，则 x_ 24185x三、解答题15解下列方程:（1） 5210423yy（2） 123344xxx（3） 。0.15.020.3.1732xxx17. 如图所示，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形 ABCD，其中，GH=2cm，GK=2cm，设 BF=xcm，（1）用含 x 的代数式表示 CM= cm，DM= cm8（2）若 DC=10cm，求 x 的值（3）求长方形 ABCD 的面积【答案与解析】一、选择题1 【答案】C 【解析】方程 3x+5
14、0 的解为 ，代入方程 3x+3k1，再解方程可求出 k53x2 【答案】 A【解析】由 7x4x-3 移项得 7x-4x-3；B 去分母得 2(2x-1)6+3(x-3) ；23xC把 2(2x-1)-3(x-3)1 去括号得 4x-2-3x+91；D 2(x-1) x +7，2x-2x+7，2x-x7+2，x93 【答案】C【解析】把方程 去分母，得 3(2x-1)-2(x-1)6，6x-3-2x+26 与 6x-3-2x-23x26 相比较，很显然是符号上的错误4 【答案】B 【解析】 因为 与 互为倒数，所以去括号它们的积为 1.455 【答案】B 【解析】设被污染的方程的常数为 k，
15、则方程为 ，把 代入方程得12yk53y，移项得 ，合并同类项得-k -2，系数化为 1 得 k2，故选10326k10623B6 【答案】B【解析 】设有 盏，则有 个灯距，由题意可得： ，解得：x(1)36(0)7()x5x7 【答案】B【解析】由题意可 得：“” 表示 2 倍的第一个数减去第二个数，由此可得：，1321而 ，解得：()()xx1x8 【答案】B【解析】原方程可化为： ，将“ ”看作整体，只有 时(38)7mn38mn380mn原方程才无解，由此可得 均为零或一正一负，所以 的值应为非正数,二、填空9 【答案】 12x，910 【答案】 213x11 【答案】24 【解析】
16、把 x4 代入方程，得 ，解得 a6，从而(-a) 2-2a24342a12 【答案】2 或 3【 解析】由题意，求出方程的解为： 31x， ，因为解为正整数，所以 ，即 或 )(xa4a 214a或a313 【答案】 或51【解析】由 ，得： ，即 为 。当 时，代入23023-x或 x-5或 5x得， ；当 时，代入得 3()mxm1m14 【答案】3 【解 析】由题意， 得 25-4(1-x)18，解得 x3三、解答题15. 【解析】解：（1）原方程可化为： 21y解得： 4（2）原方程可化为： 2332xxx移项，合并得： 194解得： 29x（3）原方程可化为： 1532317xx去
17、分母，化简得： 解得： 3x16. 【解析】解：(1)原方程可化为： (4)8axb当 时，方程有唯一解： ；4a4a当 ， 时，方程无解；8b当 ， 时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解(2) (1)()2mx10当 ，即 时，方程有唯一的解： 10m12xm当 ，即 时，原方程变为 原方程的解为任意有理数，即有无穷多0解(3) ()2x当 时，原方程有唯一解： ；1,12xm当 时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解；m当 时，原方程无解217. 【解析】解：（1） ,x （或 3x）.（2） 10. 解得 2x.（3）从两个角度 表示线段 DM 长度时可得：3x=2x+2, 解得 2x.长方形的长为： 14cm, 宽为： cm.40所以长方形的面积为： 21cm
