1、【例题 1】 【基础、提高】判断下列方程是否一元二次方程：（1） （2）320x2030x（3） （4）4 24y（5） （6）21x21x【分析】 （1）不是。因为最高次数是 3（2）不是。因为二次项的系数是 0（3）是的。符合一元二次方程的定义（4）不是。含有两个未知数（5）不是。不是整式方程（6）不是。不是整式方程【精英】判断下列关于 的方程何时为一元二次方程：x（1） （2）320mx2030xm（3） （4）(1)4 2(4)(5)nyy【分析】 （1）当 时。最高次数是 ，是一元二次方程。（2）不是。因为二次项的系数是 0（3）当 ，即 时，符合一元二次方程的定义201m（4）这里
2、出现了 、 两个未知数比较特殊，如果未知数 前的系数均为 0，那xy y么就符合一元二次方程的定义。 ，解得 ，即当 、 均为 0 时，4350n0mnn其为一元二次方程。【例题 2】 【基础】方程 化成一元二次方程的一般式是 (1)2x【分析】 10x【提高、精英】把方程 化为一元二次方程的一般形式是 2(5)(1)0xx【分析】 原方程化为 ，整理得到 。22510x4注意：不能写为 ，因为两个方程的系数是不一样的。【例题 3】 【基础、提高】方程 是一元二次方程吗？2()xx【分析】 一个方程是一元二次方程，必须满足两个条件：它是整式方程，方程中含有一个未知数且含未知数项的最高次数是 。
3、判断一个只含一个未知数的整式方程是不2是一元二次方程时，通常应先将这个方程整理成所含各项的次数不同的形式，再观察含未知数项的最高次数是否为 。由于本题所讨论的这个方程经整理后为，其中含未知数项的最高次数是 ，所以它不是一元二次方程，而是一元310x1一次方程。【精英】已知方程 是关于 的一元二次方程，则对应 、 的值20abxxab有（ ）. 组 . 组 . 组 . 组A2B3C4D5【分析】 本题有 种情况： , , , , 这 个方程组52ab120ab102ab5都有解，且各不相同，所以选 。D【例题 4】 指出方程 ， 的二次项系数、一次项2(12)31xx()0()axbab系数及常
4、数项。【分析】 原方程可变形为 ，整理，得 ，所以，二次项22425310x系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。5原方程可变形为 ，所以，二次项系数是 ，一次项系数22()0abxxabab是 ，常数项是 。2ab【例题 5】 【基础】关于 的方程 当 时是一元二次方程，当 x2(1)()30axa a时是一元一次方程。【分析】 当 即 时，原方程为一元二次方程。210a当 而 时，即 时，原方程为一元一次方程。【提高】方程 是关于 的一元二次方程，则 的值为 21()30axxa【分析】 由题意可得： ，且 ，解得1a【精英】当 时，关于 的方程 是一元二次m22(4)()40mmx方程；
5、当 时，这个方程是一元一次方程。【分析】 由一元二次方程的定义，二次项的系数不等于零，即 ，可得 。若22原方程是一元一次方程，则二次项的系数等于零，且一次项系数不为零；即，解得 。240m2m【例题 6】 【基础】已知关于 的一元二次方程 有一个根是 ，求 的x2()340mx0m值。【分析】 把 代入方程 中，得到 ，解得 ，再将0x2()340m4代入原方程，得到 ，为一元二次方程，所以 。4mx m【提高、精英】已知 是一元二次方程 的一个根，则12()(3)10axxaa【分析】 将 代入方程，得 ，解得 ，但应有 ，因此1x2()(3)10a2。2【例题 7】 根据题意，列出方程（
6、不求解）（1）一个矩形花园，面积为 ，长比宽多 ，求花园的长和宽。210cm4cm（2）有一个矩形，面积为 ，若将它的一边剪短 ，另一边剪短 ，恰好变254m5m2m为一个正方形，求这个正方形的边长。（3）一个直角三角形的斜边长 ，一条直角边比另一条直角边长 ，求两条7c 4c直角边的长度。【分析】 （1）设长方形的宽为 ，其方程为x(4)10x（2）设正方形的边长为 ，其方程为 52（3）设直角三角形的较短的直角边的长为 ，其方程为cm22(4)7x【例题 8】 若方程 的一个根与它的倒数相等，则 的值为 210xaa【分析】 一个数与它的倒数相等的数是 ，因此方程 的根是 或 ，分别代12
7、10x1入得到。1a【例题 9】 【基础】已知 是关于 的方程 的一个解，求 的值。2x230xa21a【分析】 把 代入方程中得 ，解得 ，将 代入 ，得到x23214a【提高、精英】已知 是方程 的一个根，求 的值。a2081x220871aa【分析】 因为 是所说方程的根，所以 ，故 ，由此得到a2a2081222087(1)07(81)aaa(1)a温馨提示：求 也可用下面的方法：因 ，将 两边同除以a0a2081，易得到 ，故 。12081()7a【例题 10】 若方程 与方程 至少有一个相同的实数根，求实数 的值。2xb20xb b【分析】 假定这个相同的实数根为 ，则将它代入两个
8、方程，得到两个关于 、 的等0 0x式，视它们为关于 、 的方程组，即可求出 的值。0xbb设 是两个方程相同的根，则有0x， 。 （*）21b20xb两式相减，得 ，即 ，所以 或 。()100(1)bx1b0x当 时，两个方程都是 。这个方程无实根，故 不合题意。2x当 时，代入（ *）式中任何一式，都可以解得 ，所以 。01x 2b2b【例题 11】 （ 年浙江省竞赛题）一元二次方程 中，若 、 都是偶26 20axc()aa数， 是奇数，则这个方程（ ）c.有整数根 .没有整数根 AB.没有有理数根 .没有实数根CD【分析】 。假设有整数根，不妨设它的根是 或 （ 为整数） ，分别代入
9、原方程得B2k1k方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除 ；若 、 、 分别取 ， ， ，Aabc483则排除 。故选 。,DB【例题 12】 【基础、提高】方程 的根是 。(1)30x【分析】 或 ，所以 或 。10x3x【精英】 （ 年数学周报杯竞赛题）已知三个关于 的一元二次方程27 x， ， 恰有一个公共实数根，则2abc2bca2caxb的值为 【分析】 设 是它们的一个公共实数根，则 ， ，0x 200xc20bxca。把三个式子相加，并整理得 。因为2cab()(1)a，所以20013()04xx。于是abc23333()()3abcabcbabacc【练习 1】 【基础】下列
10、方程是关于 的一元二次方程的是（ ）x. . A2(1)(3)0axB()()2xxb. .C436D2130a【分析】 D【提高、精英】下列方程 20x()(123)xx(1)20x 其中是一元二次方程的有 。2(31)0xx31【分析】 【练习 2】 判断下列方程是不是一元二次方程如果不是，请说出为什么 ； ； ； ；2310x413x20x250x （ 和 都是未知数） ； ；2yy22(3)() （ 是系数） ；30mxm （ 是未知数） 2(1)()50axaxx【分析】 是分式方程，是二元方程，整理后是一元一次方程，当 时是一元二0m次方程，当 时是一元一次方程，因为 永远成立，所
11、以无论 为何0m210aa值，方程 都是一元二次方程，是一元2(1)()50axax二次方程【练习 3】 【基础】关于 的方程 当 ，它是一元二次方程。x2(1)0axa【分析】 1a【提高】 为何值时，方程 是一元二次方程，当 为何值时，m2(1)mm此方程是一元一次方程。【分析】 原方程可以化为 ，当 时，方程为一元二次方程，2(1)()0xx20即 ；当 时，方程为一元一次方程，即 。2m20 12m【精英】方程 是关于 的一元二次方程，求二次项系数、一次()310mxx项系数及常数项的积。【分析】 是关于 的一元二次方程,(2)310mx应满足 ，则2m当 时，原方程为 ，所以二次项系
12、数为 ，一次项系数为 ，常24610x46数项为 ，因此它们的积威 。14【练习 4】 【基础、提高】若一元二次方程 的常数项为零，则22()3(15)0mxxm的值为 _m【分析】 由题意得到: ，解得 。2402【精英】若 是关于 的一元二次方程，求 、 的值231ababx xab【分析】 分以下几种情况考虑： ， ，此时 ， ；432b ， ，此时 ， ；2ab11a0 ， ，此时 ， b【练习 5】 若关于 的一元二次方程 有一个根为 ，求 的值。x22()30mx0m【分析】 把 代入方程得 ， ，而 时， 不合题意，舍去。020m2所以， 。m【练习 6】 已知关于 的方程 有一
13、个根为 ，另一个根为 ，则 x20axbc11abc， ， abc【分析】 把 代入得 ，把 代入得 ，两式相加得 ，即1x0abc20。0【练习 7】 若 是方程 的一个根，则 的值为 ()a20yba【分析】 把 代入方程得， ，因为 ，所以 ，即 。y 0a10ab1ab【练习 8】 已知一元二次方程 的一个根是 ，且 、 满足 ，20axbc123试求方程 的根。2104yc【分析】 把 代入 得 ，又 成立，x2axb0abc23ba， ，当 时 ，把 代入 得 ，当023,30bc1时， 为 ，解得 。1c24yc2104y2y【练习 9】 已知 是方程 的一个根，试求 的值。a25x2214a【分析】 把 代入方程中，得 ，x210a522222215 14()()()54a 【补充 1】【分析】【补充 2】【分析】【补充 3】【分析】【补充 4】【分析】【补充 5】【分析】
