1、一、问题的重述 近年来，诸如地震、火灾等突发事件时常发生。虽然人们在很多情况下还不能准确预报这些突发事件，但当灾难发生时，尽可能在灾难中减少伤亡人数是人们应对突发事件的首选。在突发事件中，身处灾难环境的人员快速撤离灾难地点可以有效减少伤亡人数。本着居安思危的态度，假设某一天上午，学生正在我校3号教学楼上课，突然该楼发生火灾， 1： 用数学建模的方法，给出一种使学生快速撤离 3号教学楼的方案。 2： 针对我校 3 号教学楼，用 设计的 方案给出其第一、二层学生快速撤离的具体方案和所用时间。 二、 模型假设 1) 发生险情 人员撤离时， 由于时间所限 一楼的一号二号门开启， 楼梯后安全门只开启 1
2、# 和 2#， 其他为关闭状态； 2) 队伍行进时连续无间断，并 忽略撤离人员的差异性，认为 撤离时 所有人员的 有效活动空间 相等 。 3) 疏散 时 人员 保持 清醒， 忽略心理因素的影响， 在疏散 时 井然有序地进行疏散，且在疏散过程中不会出现中途返回选择其它疏散路径 ； 4) 忽略各个教室内第一个人到达门口的时间 ； 5) 走廊左右两、两边教室人员各自列队独立行进，互不影响； 6) 考虑三号教学楼为左右对称结构（不考虑附属楼），两侧相互独立撤离，只计算一侧。 7) 按最不利因素考虑， 学生均匀分布于各个楼层和教室。 三、 符号说明 a) Nij为第 i层第 j个教室的人数； b) Li
3、j为第 i层第 j个教室的门到走廊出口的距离； c) V1为人流 水平 移动速度； d) V2为人流在楼梯道内下行速度； e) 为人流密度； f) d0为人员的有效活动空间宽度； g) f 为走廊宽度； h) f0 为走廊有效宽度； i) tij0为第 i层第 j个教室撤空所用时间； j) tij为第 i层第 j个 教室所有人员撤离至安全地带所用时间； k) Ti为第 i层所有人员撤离至安全地带所用时间； l) T0为反应时间； m) S0为教室 长度 。 四、 问题分析 人流密度是影响人流速度主要因素 ， 根据武汉大学与中国香港城市大学发展的 SGEM模型，人群的疏散速度与人群密度的关系可以
4、表示 Vi = 1.4 4.2 调查研究显示 ，当疏散通道空间中人均占有面积 S=0.28m2 /人时，就可能出现人 群 迁移流动的 情况； 当人均占有面积 S=0.25m2 /人时，则会出现人体前后紧贴相互推挤 的危险，因此为保证人员安全 则必须控制人均占有最小面积 S=0.28m2 /人， 本模型中人均占有面积以 0.50.6矩形计算，取 S=0.3m2/人 ， 得到相应的人群密度 =3.33人 / m2，则 人流 水平 疏散 速度 V1= 0.359 m/s 人流沿楼道下行速度 近似为 V2= *V1 = 0.434 m/s 其中 ： =1.21 五、 模型建立 一般撤离时间包括两部分：
5、反应时间和疏散时间。反应时间 T0取 45秒，疏散时间为 Ti。 考虑 不发生拥挤的走廊安全撤离队列数 m*=int（ f0-0.3） /b ，则走廊两侧教室出来列数各为 m=m*/2 鉴于实际情况，一楼均为大教室能容纳 5X30=150 人 ， S0 N11d03 = 30m 即从后门撤离的人员到达前门口之前，前门还未撤离完毕，为防止发生混乱，后面人员必须等待前面人员撤离完毕后方可继续行进。 1) 采用图 1撤离，则撤空 1号教室用时 t 11o =1m N11d0V1 1号 教室 全部撤至安全地带所需时间 t 11 t 11 = t 11o +S0+L0+L11V1 = N11d0m V1
6、 + S0+L0+L11V1 2号 教室全部撤离至安全地带用时 t 12 t 12 = (N11+N12)d0m V1 + L0+L12V1 2) 采用图式 2撤离方式，则撤空 1号教室用时 t11o = 1m N11d0 V1 + 1m N11d0 V1 S0V1 = 2m N11d0 V1 S0V1 1号 教室 全部撤至安全地带所需时间 t11 = 2N11d0m V1 + L0+L11V1 2号 教室撤空所需时间 t120 = 2N12d0m V1 S0V1 2号 教室全部撤离至安全地带用时 t12 t12 = 2N12d0m V1 + L0+L12V1 可见如果两个教室的人数大致相等，
7、则两种方案所用时间也相等。为防止撤离时发生混乱，我们采用第二种方案， 类似地，可以得到 走廊左边两个 教室撤空所需时间 t13 t13 = 2N13d0m V1 + L0+L13V1 即得到一楼全部撤离所用最短时间为 T1=MAX t12 ， t13 再考虑 2至 6楼的情况。 由于一楼第二个教室撤空所需时间 t120 = 2N12d0m V1 S0V1约为 117s， 二楼 3号教室第一个人下至一楼所用时间约为 25s小于 t120 ， 为避免混乱，后面的人员需等一楼 2号教室撤空后方可继续行进，从而，二楼 3号 撤至安全地带所需时间 t23 t23 = (2N12+N23)d0m V1 +
8、 L0+L12V1 因 3号撤离时间最长，故二楼撤离时间由 t23决定，即 T2 = (2N12+N23)d0m V1 + L0+L12V1 考虑到 3至 6楼层走廊左侧比右侧多一个教室，撤离路线如下 ， 这样撤离时间就由左边决定， 得到第 i（ 2） 层 全部撤离所需时间为 Ti =(2N13+N24+ Nij5j=46i=3 )d0m V1 + L0+L13V1 至此，我们得到整个教学楼全部撤离所需时间 ， T*= T6 + T0 = (2N13+N24+ Nij5j=46i=3 )d0m V1 +L0+L13V1 + T0 模型求解 实际测得教室长度 17.5m，走廊宽度 f 为 3.5
9、0m ，有效宽度 f0=3.5-20.15=3.2m，人均占有面积为 0.5X0.6 m2，楼梯道长度为 19.2m， 人员分布按最不利状态考虑，大教室容纳能力为 5X30 人，小教室容量为 4X30，走廊尽头到出口距离 12为 m，一楼第一个教室门到走廊尽头的距离为 4.2m，第二个教室到走廊尽头距离为 33m。 对模型求解得到第一层快速撤离所用最短时间为 194s，第二层撤离最短用时为 361s 模型 评价 本模型采取了较保守的估算，据统计，三号教学楼平时只有 53%的教室用于教学，空教室自习学生平均 31人 /室，且 8座楼梯口均有安全玻璃门，在出现险情是均可打开，以迅速撤离人员 。 参考文献 1 陈曦， 人员疏散速度模型综述，河北， 2010 2 王卫华，吴淑，娴程建，建筑物人员疏散的数学模型研究，武汉理工大学学报， 2010
