1、2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法方程2260xyxy是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程其中 , , 叫做这个方程的二次项, , 叫做一次项,6 叫做常数项xy我们看下面的两个方程组：24310,;xy22,56.xy第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解例 1 解方程组240,.xy分
2、析：二元二次方程组对我们 来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式注意到方程是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题解：由,得x2y 2， 把代入,整理,得8y28y 0，即 y(y1) 0解得 y10，y 21把 y10 代入, 得 x12；把 y21 代入, 得 x20所以原方程组的解是1x， 2,.y说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解例 2 解方程组7,12.xy解法一：由，得把代入，整理，得270y解这个方程，得 123,4y把 代
3、入，得 ；1yx把 代入，得 24所以原方程的解是14,3y， 2,4.y解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把 看作一,xy个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求 ,xy这个方程组的 是一元二次方程,x2710z的两个根，解这个方程，得，或 34所以原方程组的解是 1,;xy23,.练 习1下列各组中的值是不是方程组 23,5xy的解? （1） （2） （3） （4） ,3;,;1,;xy2,3;xy2解下列方程组:（1） （2） 25,6;yx ,10;x（3） （4）1,43;yx2,8.y2.3.2 一元二次不等式解法二次函数 y x2x6 的对应
4、值表与图象如下：x 3 2 1 0 1 2 3 4y 6 0 4 6 6 4 0 6由对应值表及函数图象(如图 2.31)可知当 x2，或 x3 时，y0，即 x2x60；当 x2，或 x3 时，y0，即 x2x60；当2x3 时，y 0，即 x2x60这就是说，如果抛物线 y= x2x6 与 x 轴的交点是 (2，0)与(3，0)，那么一元二次方程x2x60的解就是x12，x 23；同样，结合抛物线与 x 轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是x 2，或 x3 ；一元二次不等式x2x60的解是2x 3上例表明：由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二
5、次不等式的解集那么，怎样解一元二次不等式 ax2bxc 0( a0)呢？我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数 yax 2bxc( a0)的图象来解一元二次不等式 ax2bx c 0(a0)xO2 3yx 2x6yy0 y0y0图 2.31为了方便起见，我们先来研究二次项系数 a0 时的一元二次不等式的解我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc 0( a0)，设b 24ac，它的解的情形按照0，=0，0 分别为下列三种情况有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线 yax 2bx c（a0）与 x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图 2.3 2
6、所示) ，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax2bx c 0（a 0）与 ax2bxc0（a0 ）的解（1）当 0 时，抛物线 yax 2bx c（a0）与 x 轴有两个公共点(x 1，0) 和(x 2，0) ，方程 ax2bxc 0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2(x1x 2)，由图 2.32可知不等式 ax2bxc 0 的解为xx 1，或 x x2；不等式 ax2bx c 0 的解为x1x x 2（2）当 0 时，抛物线 yax 2bx c（a0）与 x 轴有且仅有一个公共点，方程ax2bxc0 有两个相等的实数根 x1x 2 ，由图 2.32可知b2a不等式
7、ax2bxc 0 的解为x ；b2a不等式 ax2bx c 0 无解（3）如果0，抛物线 yax 2bx c（a0）与 x 轴没有公共点，方程ax2bxc0 没有实数根 ， 由图 2.32可知不等式 ax2bxc 0 的解为一切实数；不等式 ax2bxc 0 无解今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式例 3 解不等式：（1）x 22x 30； （2）x x260；（3）4x 24x 10； （4）x 26x90 ；（5）4xx 20解：（
8、1）0，方程 x22x30 的解是x13，x 21不等式的解为3x1（2）整理，得x2x 60 0，方程 x2x 6=0 的解为 （1）xyOx1 x2xyO x1= x2yxO图 2.32 x12，x 23所以，原不等式的解为x 2，或 x3（3）整理，得(2x1) 20.由于上式对任意实数 x 都成立，原不等式的解为一切实数（4）整理，得(x3) 20.由于当 x3 时，(x 3) 20 成立；而对任意的实数 x，(x3) 20 都不成立，原不等式的解为x3（5）整理，得x2x 4 00，所以，原不等式的解为一切实数例 4 已知不等式 的解是 求不等式2()abca2,3x或的解2bxac
9、解：由不等式 的解为 ，可知0x,或，且方程 的两根分别为 2 和 3，02 ，5,6a即 5,6bca由于 ，所以不等式 可变为020x，即 256,整理，得0x所以，不等式 的解是2bacx1，或 x 65说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题例 5 解关于 的一元二次不等式 为实数).210(a分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式 的符号,而这里的 是关于未知系数的代数式, 的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对 的符号进行分类讨论.解: ,24a当 02a
10、即 或 时 10xa2方 程 的 解 是1 4,.xx所以,原不等式的解集为 或 ； 2,24ax当 0，即 a2 时，原不等式的解为x ；a2当 为一切实数 . ,即 时 原 不 等 式 的 解综上,当 a2，或 a2 时，原不等式的解是或 ；24,24ax当 为一切实数,时 原 不 等 式 的 解例 6 已知函数 yx 22ax1(a 为常数) 在2x 1 上的最小值为 n，试将 n 用 a 表示出来分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论解：y( x a)21a 2，抛物线 yx 22ax 1 的对称轴方程是 xa（1）若2a
11、1，由图 2.3-3可知,当 xa 时，该函数取最小值n1a 2；(2)若 a-2 时, 由图 2.3-3可知, 当 x-2 时，该函数取最小值n4a+5；(2)若 a1 时, 由图 2.3-3可知, 当 x1 时，该函数取最小值n-2a+2.综上,函数的最小值为25,11,.a图 2.33yO2 1xax xyO2 1xaxyO2 1xa练 习1解下列不等式：（1）3x 2x40； （2）x 2x120；（3）x 23x40； （4）168x x202.解关于 x 的不等式 x22x 1a 20（a 为常数） 习题 23A 组1解下列方程组：（1） （2）21,40;xy 2()9,0;xy
12、（3）2,.xy2解下列不等式：（1）3x 22x 10； （2）3x 240；（3）2xx 21； （4）4x 20B 组1 取什么值时,方程组m24,yxm有一个实数解?并求出这时方程组的解2解关于 x 的不等式 x2(1a)xa0（a 为常数） C 组1已知关于 x 不等式 2x2bxc0 的解为 x1，或 x3试解关于 x 的不等式bx2cx402试求关于 x 的函数 yx 2mx 2 在 0x2 上的最大值 k2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法练 习1.（1） （2）是方程的组解； （3） （4）不是方程组的解2 （1） （2）15,0xy2,1;15,2xy,;（3
13、） （4） ,4.y1,2,.2.3.2 一元二次不等式解法练 习1 （1）x1，或 x ； （2）3 x4； （3）x 4，或 x1；43（4）x42不等式可以变为(x1a)( x1a)0，（1）当1a1a，即 a0 时，1ax1a；（2）当1a1a，即 a0 时，不等式即为(x 1) 20，x1；（3）当1a1a，即 a0 时，1ax1a综上，当 a0 时，原不等式的解为1ax1a；当 a0 时，原不等式的解为 x1；当 a0 时，原不等式的解为1ax1a习题 23A 组1 （1） （2） 12,0xy210,34.xy10,xy24,51.xy（3） 1,2,32;x（4） 1 423,
14、 3,11.xxyy2 （1）无解 （2） 2（3）1 x1 （4）x2，或 x2 2 2B 组1消去 ，得 y224(1)0m当 ,即 时，方程有一个实数解6()将 代入原方程组，得方程组的解为21,4.xy2不等式可变形为(x1)( xa) 0当 a1 时，原不等式的解为 1xa；当 a1 时，原不等式的无实数解；当 a1 时，原不等式的解为 ax1C 组1由题意，得 1 和 3 是方程 2x2bxc 0 的两根，13 ，13 ， 即 b4，c6b2 c2等式 bx2cx40 就为4 x 26x 40，即 2 x23x20， x2122yx 2mx2( x )22 ，m2 m24当 0 2，即 0m4 时，k2 ；m2 m24当 0，即 m0 时，k2；m2当 2，即 m4 时，k2m2m2,02,4.k
