1、数学课本中的定理、公式、结论的证明数学必修一第一章 集合（无）第二章 函数（无）第三章 指数函数和对数函数1对数的运算性质：如果 a 0 ， a 1， M 0 ， N 0， 那么（1） ；log()llogaaN（2） ；-a（3） ll()naR根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质证明：（性质 1）设 ， ，由对数的定义可得 logaMplogaNq， ，pqN ，qMa ，log()p即证得 loglaaaNN证明：（性质 2）设 ， ， 由对数的定义可得 Mplogaq， ，pq ，qpaNM ，alog即证得 log-laaN证明（性质 3）设 ，由对数的定义可得 ，MppMa ，n
2、p ，loga即证得 logna第四章 函数应用（无）数学必修二第一章 立体几何初步直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明1、直线与平面平行的判定定理若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行3、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直4、平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直证明：设直线 的方向向量为 a,平面 的法向量分别为 u，r（ 建立立体几何l ，问题与向量
3、之间的联系 ） ，因为 ，所以 a|r，即 a= r( )（ 把立体几何问题转化为空间向量问题 ）l kR,又 所以 a u a u=0（ 把立体几何问题转化为空间向量问题 ） ，l所以 u r=0 u r （ 把空间向量的结果转化为几何结论 ） ，k所以平面 与平面 互相垂直，5、直线与平面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行6、平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行7、直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行另法8、平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂
4、直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面， :ABMN如 图 所 示 已 知 ,=,在 内 ， 于 点 。求 证 ： .9 三垂线定理及逆定理另法证明：已知：如图，直线 l与平面 相交与点 A， l在 上的射影 OA 垂直于a,求证： l 证明： 过 P 作 PO 垂直于 PO PO 又 aOA ，POOA=O 平面 POA l （三垂线定理的逆定理）若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则它垂直于这条直线在C - AB =90 MN 证 明 ： 在 平 面 内 做 直 线 ，则 是 二 面 角 的平 面 角 ， ， ，又 ，xyP(x,y)P(x-y)MO(4-5-2)
5、180xyP(x,y)P(-x-y)MMO(4-5-1)该平面内的投影第二章 解析几何初步（无）数学必修三数学必修四第一章 三角函数 诱导公式公式： 如图：设 的终边与单位圆（半径为单位长度 1 的圆）交于点 P(x，y)，则角- 的终边与单位圆的交点必为P(x，-y)由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin =y， cos =x, sin(-)=-y, cos(-)=x, 所以：sin(- )= -sin , cos(- )= cos由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的- 诱导公式， 公式： -sinsin(） -coscos(） tanta(） 它刻画了角 + 与角 的正弦值（或余弦值）
6、之间的关系，这个关系是：以角 终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角 的正弦值（或余弦值）关系，设角 终边圆交于点 P( x，y)，则角 终边的反向延长线，即 + 角的终边与单位圆的交点必为 P(-x，-y)（如图 4-5-1） 由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y， cos =x, sin( +)=-y, cos( + )=-x, 所以 :sin( + )=-sin ，cos( + )=-cos 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。相关诱导公式公式一： 设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k+）=sin kz cos（2k+）=cos
7、 kz tan（2k+）=tan kz 公式二：sin（+）=sin cos（+） =cos tan（+）=tan 公式三：sin（）=sin公式四： 利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系： sin（）=sin cos（）=cos tan（）=tan公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2- 与 的三角函数值之间的关系： sin（2）=sin cos（2）=cos tan（2）=tan 公式六： /2 与 的三角函数值之间的关系： sin（/2+）=cos cos（/2+）=sin tan（/2+）=cot sin（/2）=cos cos（/2）=sin tan（/2）=
8、cot 第二章 平面向量coss(） tanta(）-sinsi(）1、共线向量定理（p82 例 3）内容：如图 A,B,C 为平面内的三点，且 A,B 不重合，点 P 为平面内任一点，若 C 在直线 AB 上，则有 PBAPC)1(证明：由题意， B与 共线，)(,PBAPCB化简为： 12、平面向量基本定理(p83)内容：如果 21,e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量 a，存在唯一一对实数 21,，使得 .21ea证明：如图过平面内一点 O，作 aOCBeA,，过点 C 分别作直线 OA 和直线 OB 的平行线，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N，有且只有
9、一组实数，使得 BNAOM21, C21即 .ea3、平行向量定理（p88）内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行，证明：设 ba,是非零向量，且 ),(),(21yxbya若 /，则存在实数 使 ，且由平面向量基本定理可知 .)(221 jyixjyixjyix2， 1 2 2x得： 0121yx若 0,21y（即向量 ba,不与坐标轴平行）则 21y4、余弦定理证明(p93)CBAPa CNMBAOe2e1内容：在 ABC中， cba,分别为角 CBA,的对边，则abcbacos2222证明：如图在 ABC中，设 则bAC
10、aBc,)(22a22cosABACbc2 同理可证： CabcAcaos22所以CabcBcbAaos22225、点到直线距离公式证明（p99）向量法定义法证：如图,根据定义，点 M 到直线 l的距离是点 M 到直线 l的垂线段的长，如图 1，设点 M 到直线 l的垂线为 l，垂足为 Q，由 l可知 l的斜率为 BAl的方程： 00()ByxA与 l联立方程组解得交点220022(,)CyxBQ2220 00 022222 20002| )( )()BxyPxyAABCyCxB02|xyPQA第三章 三角恒等变形 1、两角差的余弦公式证明 cos（）=coscos+sinsin证明 ：如图，
11、在平面直角坐标系中，以原点为圆心， 作一单位圆，再以原点为顶点，x 轴非负半轴为始边分别作角 ，且 若 ， 均为锐角时，设它们的终边分别交单位圆于点 P1（cos，sin） ，P2（cos，sin） ，即有两单位向量 ，它们的所成角是 ，根据向量数量积的性质得：又根据向量数量积的坐标运算得：=coscos+sinsin 由得 cos（）=coscos+sinsin 由诱导公式可证明当 ， 均为任意角时式仍成立，xPQl1图 2、两角和的余弦公式证明 cos()cs()=（略）3、两角和（差）的正弦公式证明内容： sincosin)si(,ncosin)si( 证明： i)2i(co)2()2(
12、)(2co)in( sisnsscosss ncoi4、两角和（差）的正切公式证明内容： tan1)tan(， tan1)t(证明： cosincosssisincosi)cos(i)tan(tan1t cosincosssinsincosi)cos(i)tan(tan1t考题（2010 四川理 19） 证明两角和的余弦公式 ； 1 C:cos()cossin由 推导两角和的正弦公式 . 2 C Sincosi解：如图，在直角坐标系 xOy 内做单位圆 O，并作出角、 与-，使角 的始边为 Ox，交O 于点 P1，终边交O于 P2；角 的始边为 OP2，终边交O 于 P3；角- 的始边为OP1
13、，终边交O 于 P4则 P1（1，0），P 2（cos，sin） ，P3（cos（+），sin（+），P 4（cos（-），sin（-）由 P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得cos（+）-1 2+sin2（+）=cos（-）-cos 2+sin（-）-sin 2展开并整理得：2-2cos（+）=2-2（coscos-sinsin）cos（+）=coscos-sinsin；由易得 cos（-）=sin，sin（2-）=cossin（+）=cos -（+）=cos（ -）+（-） 22=cos（ -）cos（-）-sin（ -）sin（-）2=sincos+cossin；数学必修五第一章 数
14、列1、 等差数列通项公式已知等差数列 的首项为 ，公差为 d，证明数列 的通项公式为na1anadan)1(1证明：由等差数列的定义可知:说明：用“叠加法”证明等差数列的通项公式，需要验证对 同样成立1a2、 等差数列前 n项和内容： na是等差数列，公差为 d，首项为 1a， nS为其前 n 项和，则2)(2)1(11 nn adS证明：由题意， )1(.)2()(11 dnadaaSn 反过来可写为： nn+得：2 nS个n111.所以， 2)(1na，把 dan)(1代入中，得3、等比数列通项公式已知等比数列 的首项为 ，公比为 q，证明数列 的通项公式为na1ana-1nqa类比等差数
15、列通项公式的证明，用“叠乘法”证明3、 等比数列前 n 项和内容： na是等比数列，公比为 q，首项为 1a， nS为其 前项和，则 nS=)1(,1)(,1qnn证明：1211.nn qaaS13.得：nnq1)(， 当 1时， nSqan)(把1nqa代入中，得 nSqan1当 q时，很明显 1所以， nS=)(,1)(,1qaqnn考题（2013 陕西文） 17.设 Sn表示数列 na的前 n 项和. () 若 na为等差数列, 推导 Sn的计算公式; () 若 1,0q, 且对所有正整数 n, 有 1nnq. 判断 na是否为等比数列. 解：() 设公差为 d,则 dan)(1 )()
16、()(2 111211212 aaaSaS nnnnnnn )()()( 11 dannn .（北师大版数学必修五-课本证明方法）() 1,01qa由 题 知， ， nnnnnn qqSaSN 111*，*2111 Nnqanqann ， .所以, 数 列 是首项 1,公比 的等比数列，2、 （2013 陕西理）17.设 是公比为 q 的等比数列. na() 推导 的前 n项和公式; na() 设 q1, 证明数列 不是等比数列. 1na解：() 分两种情况讨论， .1 111 naaSnn 的 常 数 数 列 ， 所 以是 首 项 为时 ， 数 列当 .nn qqaaSq 2121 时 ，当
17、上面两式错位相减: .)()()()- 113121 nnnnqq（，aSnn-(.-11综上， )1(,)(,1qqnn（北师大版数学必修五-课本证明方法）() 使用反证法，设 是公比 q1 的等比数列, 假设数列 是等比数列.则na 1na当 =0 成立，则 不是 等比数列，1*naN， 使 得当 成立，则0*nn， 使 得 恒 为 常 数11nnqa，这与题目条件 q1 矛盾，,111 qaqa时当综上两种情况，假设数列 是等比数列均不成立，所以当 q1 时, 数列 不是等比n 1na数列，第二章 解三角形 1、正弦定理证明（p45 ）内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
18、即 .sinisinCcBbAa已知：在 中， a,分别为角 CBA,的对边，求证：.siisic证明：方法 1 利用三角形的高证明正弦定理（1）当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据锐角三角函数的定义，有 sinDbA sinCaB，abDABC由此，得 siniabAB，同理可得 sinicbCB， 故有 iiicC.从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当 ABC 是钝角三角形时，过点 C 作 AB 边上的高，交 AB 的延长线于点 D，根据锐角三角函数的定义，有 sinsiCDaBA， sinbA ，由此，得 iib，同理可得 iicB故有 siniACsinc.
19、（3）在 BRt中，,i,cbBaAcbAasin，.1,90C.sinsinCBbAa由(1)(2)（3）可知，在 ABC 中， iiabsinc成立.方法 2. 外接圆证明正弦定理在 ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作 ABC 的外接圆, O 为圆心,连结 BO 并延长交圆于 B ,设BB =2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 BAB =90， C = B ，sin C=sinB = .RcB2sini .Rc2sin同理,可得 .bAasin,i .CcB2si这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式.bainiin
20、方法 3. 向量法证明正弦定理A BCDb a方法 4. 等面积法（略）2、余弦定理证明（p49 ）内容：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍，即证明：方法 1 向量法证明方法 2 三角形证明 （过程如下考题）考题（陕西 2011 年文、理 18）叙述并证明余弦定理，解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍，或：在 ABC 中，a,b,c 为 A,B,C 的对边，有证法一 如图 2aBC()()ABCA22CAB2cosb即 22cosabA同理可证 aB 22coscabC证法二 已知 ABC 中 A,
21、B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点，AB 所在直线为 x轴，建立直角坐标系，则 (cos,in),(0CbAc,222s(sin)aBbA2cco同理可证 22sbaB第三章 不等式 （无） 2OScocbC数学选修 2-1第一章 常用逻辑用语（无）第二章 空间向量与立体几何1、空间向量基本定理：2、线面垂直判定定理（p40 例 1）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直3、面面平行判定定理（p40 例 2）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行4、三垂线定理（p41 例 3）考题（2012 陕西理 18 题） （1）如图
22、，证明命题“ a是平面 内的一条直线， b是 外的一条直线（ b不垂直于） ， c是直线 b在 上的投影，若 b，则 ac”为真（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）【解析】 （）证法一 如图，过直线 b上一点作平面 的垂线 n，设直线 a， b， c， n的方向向量分别是 a， b， c，n，则 ， c， n共面.根据平面向量基本定理，存在实数 ， 使得 nb，则)()()(aa，因为 ，所以 0，又因为 ， ，所以 0n，故 c，从而 ca . 证法二 如图，记 Abc,P为直线 b上异于点 A的任意一点，过 P作 O,垂足为 ,则 cO. aP,，直线 ，又 ， 平面 O
23、, ,a平面 A，又 c平面 PA， . （）逆命题为： 是平面 内的一条直线， b是平面 外的一条直线（ b不垂直于 ） ， c是直线 b在 上的投影，若 ab，则 c.逆命题为真命题第三章 圆锥曲线与方程1、椭圆标准方程 （ ）的推导解、以 和 所在直线为 轴，线段 的中点为原点建立直角坐标系；（建系）设 是椭圆上任意一点，设 ，则 ， ；（设点）由 得 ；（列式、代换）移项平方后得 ，整理得， ，两边平方后整理得， （化简）由椭圆的定义知， ，即 ， ，令 ，其中 ，代入上式，得 ，两边除以 ，得： （ ）2、抛物线标准方程 y2=2px（p0）的推导解：如图所示，建立直角坐标系系，设|
24、KF|= （ 0）,p那么焦点 F 的坐标为 ，准线 的方程为 ，)0,(pl2x设抛物线上的点 M（x,y） ，则有 奎 屯王 新 敞新 疆|)(2y化简方程得 奎 屯王 新 敞新 疆02pxy3、双曲线标准方程12bya(a, 0b)的推导解、取过焦点 F1、F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系。设 M（x,y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2c（c0） ，则 F1（c，0） 、F2（c，0） ，又设点 M 与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a（2a2c）.由定义可知,双曲线上点的集合是 P=M|MF1|MF2|=2a.即:xy
25、 (1)MKFOD化简，整理得：移项两边平方得两边再平方后整理得由双曲线定义知考题（课本 p76 习题 3-2 第 9 题）（2012 陕西理 13.文 14）右图是抛物线形拱桥，当水面在 l时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位 下降 1 米后，水面宽 米【答案】 62【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点 O 的坐标为（0,0） ，设 l 与抛物线的交点为 A、B，根据题意知 A（-2，-2） ，B（2，-2）设抛物线的解析式为 2axy，则有 a， 1a抛物线的解析式为 1水位下降 1 米，则 y=-3，此时有 6x或此时水面宽为 62米，数学选修 2-2第一章 推理与证明直线与平面平行的性质定理（p15 例 6）如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行yO xMF1 F2数学选修 2-3数学选修 4-4数学选修 4-5柯西不等式：若 a、b、c、d 为实数，则 222()()abcdacb或 22|acbdcdA证法：（综合法） 22222()()()acbdcabd.
