1、运用联想探究圆锥曲线的切线方程 现行人教版统编教材高中数学第二册上、第 75 页例题 2，给出了经过圆上一点 的切线方程为 ；当 在圆外22ryx),(0yxM0ryx),(0yxM时，过 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为 。那么，20r在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。联想一：（1）过椭圆 上一点 切线方程为)(12baa ),(0yx；（2）当 在椭圆 的外部时，过 引切线有两02byax),(0yx12yx条，过两切点的弦所在直线方程为： 2ba证明：（1） 的两边对 求导，得 ，得 ，21xyabx20xy020xbyay由点斜式得切线方程为 ，即 。200
2、()ay20021ab（2）设过椭圆 外一点 引两条切线，切点分12bax ),(0yxM别为 、 。由（1）可知过 、 两点的切线方程分别为：),(1yxA),(BAB、 。又因 是两条切线的交点，所以有21ba2y),(0yx、 。观察以上两个等式，发现 、00bax ),(1yxA满足直线 ，所以过两切点 、 两点的直线方程为),(2yxB120yB。10ba评注：因 在椭圆 上的位置（在椭圆上或椭圆),(0yxM)0(12bayax外）的不同，同一方程 表示直线的几何意义亦不同。2b联想二：（1）过双曲线 上一点 切线方程)0,(1byax ),(0yxM为 ；（2）当 在双曲线 的外
3、部时，过 引切线02byax),(012yax有两条，过两切点的弦所在直线方程为： 。 （证明同上）20b联想三：（1）过圆锥曲线 （A，C 不全为零）上的点2AxCyDxEF的切线方程为 ；（2）当),(0yxM0002xyAxCyDEF在圆锥曲线 （A ，C 不全为零）的外部时，过2引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： 000xyAxCyDEF证明：（1）两边对 求导，得 20AxyDE得 ，由点斜式得切线方程为002xyy0002()AxCy化简得 .2 200002CEyx因为 2AxyDxF由2 可求得切线方程为： 0002xyAxCyDEF（2）同联想一（2）可证。结论亦成立
4、。根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点 的切线),(0yxM方程为：把原方程中的 用 代换， 用 代换。若原方程中含有 或 的一次项，2x02y0把 用 代换， 用 代换，得到的方程即为过该点的切线方程。当点x02y在曲线外部时，过 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：),(0MM002xAxCyDEF通过以上联想可得出以下几个推论：推论 1：（1）过抛物线 上一点 切线方程为)(pxy ),(0yxM；（2）过抛物线 的外部一点 引两条)(00xpy2 ),(0yx切线，过两切点的弦所在直线方程为： 00y推论 2：（1）过抛物线 上一点 切线方程为)(),(0；（
5、2）过抛物线 的外部一点 引两)(00 )(2px),(0条切线，过两切点的弦所在直线方程为： 。00推论 3：（1）过抛物线 上一点 切线方程为)(2pyx ),0yxM；（2）过抛物线 的外部一点 引两)(00ypx )(2),(0yx条切线，过两切点的弦所在直线方程为： 。00ypx推论 4：（1）过抛物线 上一点 切线方程为)(2),(0；（2）过抛物线 的外部一点 引两)(00 )(2),(0条切线，过两切点的弦所在直线方程为： 。00在以上的研究中，我们成功的运用了联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现了知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得了事半功倍的效果。
