1、1.对于数列u n，若存在常数 M0，对任意的 nN*，恒有|un+1u n|+|unu n1 |+|u2u 1|M，则称数列u n为 B数列.(1)首项为 1，公比为 q(|q|b0)段 OF2 的中点，且 +5 =0.AF2 BF2 (1)求椭圆 E 的方程；(2)若 M 为椭圆上的动点 (异于点 A、B)，连接 MF1 并延长交椭圆 E 于点 N，连接 MD、ND 并分别延长交椭圆 E 于点P、Q，连接 PQ.设直线 MN、PQ 的斜率存在且分别为k1、k 2，试问是否存在常数 ，使得 k1+k2=0 恒成立?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)易知 c=2，因为 +5
2、 ，即 a+c=5(ac) ，解得：a=3，所以：b 2=a2c 2=5.AF2 BF2 所以：椭圆 E 的方程为 .x29+y25=1(2)设直线 MN 的方程为 x=ty2，M( x1，y 1)，N (x2，y 2)，所以：直线 MP 的方程为 y= (x1)，联立椭圆方程和直线方程可得：y1x1 1消去 y 得：(5 x 1)x2(9 )x+9x15 =0，x29+y25=1，y1x (x1 1)y y1=0， ) x x由根与系数的关系可得：x P= ，9 5x15 x1于是 P ，同理可得：Q ，(9 5x15 x1， 4y15 x1) (9 5x25 x2， 4y25 x2)所以：
3、k 2= = ，即：k 1+2825t 2825k1 2528k2=0所以：存在 = 满足题意.25283.已知函数 f (x)=lnxax + ，其中 a 为常数.ax(1)若 f(x)的图象在 x=1 处的切线经过点(3 ，4)，求 a 的值；(2)若 00；(a22)(3)当函数 f (x)存在三个不同的零点时，求 a 的取值范围.【解析】(1)f (x )= ，所以 f(1)=12a，1x a ax2因为切点坐标为(1，0)，所以 k=2，所以：12a=2，解得：a= .12(2)证明：原题即证 2lnaln2 0 对任意的 a(0 ，1)成立.a32+2a令 g(a)= 2lnaln
4、2 ，所以：g( a)= = ，a32+2a 2a 3a22 2a24a 3a4 42a2令 h(a)=4a3a 44，则 h(a)=412a 3，则 h(a)在 单调递增，在 上单调递减，(0， 133) (133， 1)而 h(a)max=h = 4g(1)=ln2+ 0.32(3)显然 x=1 是函数的一个零点，则只需 a= 有两个不等的实数解即可.xlnxx2 1令 g(x)= ，x0 且 x1.xlnxx2 1则 g(x)= ，令 (x)=lnx ，x2 1x2+1则 (x)= = 0，1x 4x(x2+1)2 (x2 1)2x(x2+1)2于是 (x)在(0，+ ) 上单调递增，同
5、时注意到 (1)=0.所以 g(x)在(0，1)上单调递增，在 (1，+)单调递减.因为 = = = ，limx 1xlnxx2 1lim x 1lnxx 1xlim x 11x1+1x2lim x 1 xx2+1=12又因为 = = =0， = =0，limx 0xlnxx2 1lim x 0lnxx 1xlim x 0 x1+x2 lim x + xlnxx2 1lim x 01x+1x所以：00，使得 f (x)=h(x)(x2ax+1)，则称函数 f (x)具有性质 P(a).(1)设函数 f (x)=lnx+ (x1)，其中 b 为常数；b+2x+1求证函数 f (x)具有性质 P(a)；求函数 f (x)的单调区间；(2)已知函数 g(x)具有性质 P(2)，给定 x1，x 2(1 ，+)， x11， 1，若| g()g()|0 恒成立， h(x)= 0 恒成立.1x(x+1)2由知，f (x )= ，当 b2 时，f (x)0 恒成立，此时 f (x)在(0 ，+)单调递增，x2 bx+1x(x+1)2当 b2 时，f (x )在(1，+)上有一个零点 x0= ，b+ b2 42函数 f (x)在 上单调递减，在 单调递增.(1，b+ b2 42 ) (b+ b2 42 ， + )
