1、专题层级快练( 二十八)1.如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B 不共线的一点 C(ABC 的角 A，B ，C 所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量 A，C，b；测量 a，b，C ；测量 A，B，a ，则一定能确定 A，B 间的距离的所有方案的序号为( )A BC D答案 D解析 由题意可知，在三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出 AB.故选 D.2.(2017广东中山上学期期末) 如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，
2、CAB105后，就可以计算出 A，B 两点的距离为( )A50 m B50 m2 3C25 m D. m22522答案 A解析 由题意，得 B30.由正弦定理，得 ，AB ABsinACB ACsinB ACsinACBsinB50 (m)故选 A.502212 23某人在 C 点测得某塔在南偏西 80，塔顶仰角为 45，此人沿南偏东 40方向前进10 米到 D，测得塔顶 A 的仰角为 30，则塔高为( )A15 米 B5 米C10 米 D1 米答案 C解析 如图所示，设塔高为 h，在 RtAOC 中，ACO45，则OCOAh.在 Rt AOD 中，ADO30 ，则 OD h，在OCD 中，3
3、OCD120，CD10，由余弦定理得 OD2OC 2CD 22OCCDcos OCD，即( h)32h 210 22h10cos120，h 25h500，解得 h10 或 h5( 舍去)4有一长为 1 千米的斜坡，它的倾斜角为 20，现要将倾斜角改为 10，则斜坡长为( )A1 千米 B2sin10 千米C2cos10 千米 Dcos20 千米答案 C解析 由题意知 DCBC1，BCD160，BD 2DC 2CB 22DCCBcos16011211cos(18020)22cos204cos 210，BD2cos10.5.(2017湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时可以测量与
4、塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得BCD15 ，BDC 30，CD30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB( )A5 B156 3C5 D152 6答案 D解析 在BCD 中，CBD18045135.由正弦定理得 ，所以BCsin30 30sin135BC15 .在 RtABC 中，ABBCtanACB 15 15 .故选 D.2 2 3 66在 200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为 30，60，则塔高为( )A. m B. m4003 40033C. m D. m20033 2003答案 A解析 如图，在 RtBAC 中，ABC30，A
5、B200，BC .ABcos30 4003 3EBD30，EBC60 ，DBC30，BDC 120.在BDC 中， .DCsin30 BCsin120DC (m)BCsin30sin1204003 31232 40037(2018广东佛山二模)某沿海四个城市 A，B，C ，D 的位置如图所示，其中ABC60，BCD 135，AB 80 n mile，BC (4030 ) n mile，CD250 n 3 6mile，D 位于 A 的北偏东 75方向现在有一艘轮船从城市 A 出发以 50 n mile/h 的速度向城市 D 直线航行，60 min 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市 C 直线航
6、行，收到指令时城市 C 对于轮船的方位角是南偏西 ，则 sin_答案 6 24解析 设轮船行驶至 F 时收到指令，则 AF50 n mile.连接 AC，CF ，过 A 作 AEBC 于E，则 AEABsin6040 (n mile)，BEABcos6040(n mile)，3CEBCBE30 (n mile)，AC 50 (n mile)，所以3 AE2 CE2 3cosACE ，sinACE ，所以 cosACDcos(135ACE) 35 45 22 35 22 45 ，所以 CAD90.因为 AF50 n mile，AC50 n mile，可得AFC 60，210 ACCD 3所以 7
7、5AFC15，故 sin .6 248要测底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30，并测得水平面上的 BCD 120，CD40 m，求电视塔的高度答案 40 米解析 如图设电视塔 AB 高为 x，则在 RtABC 中，由ACB45，得 BCx.在 RtADB 中，ADB30 ，BD x.3在BDC 中，由余弦定理，得BD2BC 2CD 22BCCDcos120.即( x)2x 2 4022x40cos120，3解得 x40，电视塔高为 40 米9.衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三
8、角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC，ABD，经测量 ADBD7 米，BC5 米，AC8 米，CD.(1)求 AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为 5 000 元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？( 1.732， 1.414)3 2答案 (1)7 米(2)小李的设计建造费用低，86 600 元解析 (1)在ABC 中，由余弦定理，得cosC .AC2 BC2 AB22ACBC 82 52 AB2285在ABD 中，由余弦定理，得cosD .72 72 AB2277由CD，得 cosCcosD.AB7，AB 长为 7
9、米(2)小李的设计建造费用较低，理由如下：SABD ADBDsinD，12SABC ACBCsinC.12ADBDACBC，S ABD SABC .故选择ABC 建造环境标志费用较低ADBDAB7，ABD 是等边三角形，D60.S ABC10 101.73217.32.3总造价为 5 00017.3286 600(元) 10(2017盐城一模)如图所示，经过村庄 A 有两条夹角为 60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，N(异于村庄 A)，要求 PMPN MN2(单位：千米)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄
10、的距离最远)?答案 当设计AMN60时，工厂产生的噪声对居民影响最小解析 设AMN，在AMN 中， .MNsin60 AMsin（120 ）因为 MN2，所以 AM sin(120)433在APM 中，cos AMPcos(60)AP2AM 2MP 22AMMPcosAMP sin2(120)422 sin(120)163 433cos(60) sin2(60) sin(60)cos(60)4 1cos(2120)163 1633 83 sin(2120 )4 sin(2120)cos(2 120)833 83 3 sin(2150)，(0 ，120)203 203 163当且仅当 2150270，即 60时，AP 2 取得最大值 12，即 AP 取得最大值 2 .3所以设计AMN60时，工厂产生的噪声对居民影响最小
