1、9.4 椭圆及其性质考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.椭圆的定义及其标准方程 掌握2016天津,19;2015 陕西,20;2014辽宁,15选择题解答题 2.椭圆的几何性质 掌握2017课标全国,10;2017 浙江,2;2016课标全国,11;2016 江苏,10;2016浙江,19填空题解答题 3.直线与椭圆的位置关系掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握2017天津,19;2016 四川,20;2016课标全国,20;2015 江苏,18解答题 分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、
2、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为 12分,难度较大.五年高考考点一 椭圆的定义及其标准方程1.(2014安徽,14,5 分)设 F1,F2分别是椭圆 E:x2+=1(0)的右焦点为 F,右顶点为 A.已知+=,其中 O为原点,e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点 A的直线 l与椭圆交于点 B(B不在 x轴上),垂直于 l的直线与 l交于点 M,与 y轴交于点 H.若 BFHF,
3、且MOAMAO,求直线 l的斜率的取值范围.解析 (1)设 F(c,0),由+=,即+=,可得 a2-c2=3c2,又 a2-c2=b2=3,所以 c2=1,因此 a2=4,所以,椭圆的方程为+=1.(2)设直线 l的斜率为 k(k0),则直线 l的方程为 y=k(x-2).设 B(xB,yB),由方程组消去 y,整理得(4k 2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得 x=2或 x=,由题意得 xB=,从而 yB=.由(1)知,F(1,0),设 H(0,yH),有=(-1,y H),=.由 BFHF,得=0,所以+=0,解得 yH=.因此直线 MH的方程为 y=-x+.设 M(xM,
4、yM),由方程组消去 y,解得 xM=.在MAO 中,MOAMAO|MA| |MO|,即(x M-2)2+,化简得 xM1,即1,解得 k-,或 k.所以,直线 l的斜率的取值范围为.3.(2015陕西,20,12 分)已知椭圆 E:+=1(ab0)的半焦距为 c,原点 O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为 c.(1)求椭圆 E的离心率;(2)如图,AB 是圆 M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆 E经过 A,B两点,求椭圆 E的方程.解析 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx+cy-bc=0,则原点 O到该直线的距离 d=,由 d=c,得 a=2b=2
5、,解得离心率=.(2)解法一:由(1)知,椭圆 E的方程为 x2+4y2=4b2.依题意得,圆心 M(-2,1)是线段 AB的中点,且|AB|=.易知,AB 与 x轴不垂直,设其方程为 y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-,x1x2=.由 x1+x2=-4,得-=-4,解得 k=.从而 x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x 1-x2|=.由|AB|=,得=,解得 b2=3.故椭圆 E的方程为+=1.解法二:由(1)知,椭圆 E的方程为 x2+4y2=4b2.依题意得,点
6、A,B关于圆心 M(-2,1)对称,且|AB|=.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b 2,+4=4b2,两式相减并结合 x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x 1-x2)+8(y1-y2)=0,易知 AB与 x轴不垂直,则 x1x 2,所以 AB的斜率 kAB=.因此直线 AB的方程为 y=(x+2)+1,代入得 x2+4x+8-2b2=0.所以 x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x 1-x2|=.由|AB|=,得=,解得 b2=3.故椭圆 E的方程为+=1.教师用书专用(4)4.(2014辽宁,15,5 分)已知椭圆 C:+=1,点 M与 C的焦
7、点不重合.若 M关于 C的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN的中点在 C上,则|AN|+|BN|= . 答案 12考点二 椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,5 分)椭圆+=1 的离心率是( )A. B. C. D.答案 B2.(2017课标全国,10,5 分)已知椭圆 C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切,则 C的离心率为( )A. B. C. D.答案 A3.(2016课标全国,11,5 分)已知 O为坐标原点,F 是椭圆 C:+=1(ab0)的左焦点,A,B 分别为 C的左,右顶点.P 为 C上一点,且P
8、Fx 轴.过点 A的直线 l与线段 PF交于点 M,与 y轴交于点 E.若直线 BM经过 OE的中点,则 C的离心率为 ( )A. B. C. D.答案 A4.(2016浙江,19,15 分)如图,设椭圆+y 2=1(a1).(1)求直线 y=kx+1被椭圆截得的线段长(用 a,k表示);(2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解析 (1)设直线 y=kx+1被椭圆截得的线段为 AP,由得(1+a 2k2)x2+2a2kx=0,故 x1=0,x2=-.因此|AP|=|x 1-x2|=.(2)假设圆与椭圆的公共点有 4个,由对称性可设 y轴左侧的
9、椭圆上有两个不同的点 P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线 AP,AQ的斜率分别为 k1,k2,且 k1,k20,k1k 2.由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)1+a 2(2-a2)=0.由于 k1k 2,k1,k20得 1+a2(2-a2)=0,因此=1+a 2(a2-2),因为式关于 k1,k2的方程有解的充要条件是 1+a2(a2-2)1,所以 a.因此,任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3个公共点的充要条件为 1b0)的右焦点,直线 y=与椭圆交于 B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是 . 答案 7.(2013福建,14,4 分)椭圆 :+=1
10、(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y=(x+c)与椭圆 的一个交点 M满足MF 1F2=2MF 2F1,则该椭圆的离心率等于 . 答案 -18.(2015安徽,20,13 分)设椭圆 E的方程为+=1(ab0),点 O为坐标原点,点 A的坐标为(a,0),点 B的坐标为(0,b),点 M在线段 AB上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM的斜率为.(1)求 E的离心率 e;(2)设点 C的坐标为(0,-b),N 为线段 AC的中点,点 N关于直线 AB的对称点的纵坐标为,求 E的方程.解析 (1)由题设条件知,点 M的坐标为,又 kOM=,从而=.进而得 a=b,
11、c=2b.故 e=.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线 AB的方程为+=1,点 N的坐标为.设点 N关于直线 AB的对称点 S的坐标为,则线段 NS的中点 T的坐标为.又点 T在直线 AB上,且 kNSkAB=-1,从而有解得 b=3.所以 a=3,故椭圆 E的方程为+=1.9.(2014天津,18,13 分)设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,上顶点为 B.已知|AB|=|F 1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设 P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB为直径的圆经过点 F1,经过原点 O的直线 l与该圆相切.求直线 l的斜率.解析 (1)设椭圆
12、右焦点 F2的坐标为(c,0).由|AB|=|F 1F2|,可得 a2+b2=3c2,又 b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率 e=.(2)由(1)知 a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c),有=(x 0+c,y0),=(c,c).由已知,有=0,即(x 0+c)c+y0c=0.又 c0,故有x0+y0+c=0.又因为点 P在椭圆上,故+=1.由和可得 3+4cx0=0.而点 P不是椭圆的顶点,故 x0=-c,代入得 y0=,即点 P的坐标为.设圆的圆心为 T(x1,y1),则 x1=-c,y1=c,进而圆的半径 r=c.设直
13、线 l的斜率为 k,依题意,直线 l的方程为 y=kx.由 l与圆相切,可得=r,即=c,整理得 k2-8k+1=0,解得 k=4.所以直线 l的斜率为 4+或 4-.考点三 直线与椭圆的位置关系1.(2016课标全国,20,12 分)设圆 x2+y2+2x-15=0的圆心为 A,直线 l过点 B(1,0)且与 x轴不重合,l 交圆 A于 C,D两点,过 B作AC的平行线交 AD于点 E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点 E的轨迹方程;(2)设点 E的轨迹为曲线 C1,直线 l交 C1于 M,N两点,过 B且与 l垂直的直线与圆 A交于 P,Q两点,求四边形 MPNQ面积的取值范围
14、.解析 (1)因为|AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆 A的标准方程为(x+1) 2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2 分)由题设得 A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点 E的轨迹方程为+=1(y0).(4 分)(2)当 l与 x轴不垂直时,设 l的方程为 y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(4k 2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则 x1+x2=,x1x2=.所以|MN|=|x 1-x2|=.(6分)
15、过点 B(1,0)且与 l垂直的直线 m:y=-(x-1),A到 m的距离为,所以|PQ|=2=4.故四边形 MPNQ的面积S=|MN|PQ|=12.(10分)可得当 l与 x轴不垂直时,四边形 MPNQ面积的取值范围为(12,8).当 l与 x轴垂直时,其方程为 x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形 MPNQ的面积为 12.综上,四边形 MPNQ面积的取值范围为12,8).(12 分)2.(2017天津,19,14 分)设椭圆+=1(ab0)的左焦点为 F,右顶点为 A,离心率为.已知 A是抛物线 y2=2px(p0)的焦点,F 到抛物线的准线 l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的
16、方程;(2)设 l上两点 P,Q关于 x轴对称,直线 AP与椭圆相交于点 B(B异于点 A),直线 BQ与 x轴相交于点 D.若APD 的面积为,求直线AP的方程.解析 (1)设 F的坐标为(-c,0).依题意,=,=a,a-c=,解得 a=1,c=,p=2,于是 b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为 x2+=1,抛物线的方程为 y2=4x.(2)设直线 AP的方程为 x=my+1(m0),与直线 l的方程 x=-1联立,可得点 P,故 Q.将 x=my+1与 x2+=1联立,消去 x,整理得(3m 2+4)y2+6my=0,解得 y=0或 y=.由点 B异于点 A,可得点 B.由 Q,可得
17、直线 BQ的方程为(x+1)-=0,令 y=0,解得 x=,故 D.所以|AD|=1-=.又因为APD 的面积为,故=,整理得 3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以 m=.所以,直线 AP的方程为 3x+y-3=0或 3x-y-3=0.教师用书专用(35)3.(2015江苏,18,16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,且右焦点 F到左准线 l的距离为 3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过 F的直线与椭圆交于 A,B两点,线段 AB的垂直平分线分别交直线 l和 AB于点 P,C,若 PC=2AB,求直线 AB的方程.解析 (1)由题意,得=且 c
18、+=3,解得 a=,c=1,则 b=1,所以椭圆的标准方程为+y 2=1.(2)当 ABx 轴时,AB=,又 CP=3,不合题意.当 AB与 x轴不垂直时,设直线 AB的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将 AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k 2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则 x1,2=,C的坐标为,且 AB=.若 k=0,则线段 AB的垂直平分线为 y轴,与左准线平行,不合题意.从而 k0,故直线 PC的方程为 y+=-,则 P点的坐标为,从而 PC=.因为 PC=2AB,所以=,解得 k=1.此时直线 AB方程为 y=x-1或 y=-x+1.4.(2
19、015山东,20,13 分)平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 C:+=1(ab0)的离心率为,左、右焦点分别是 F1,F2.以 F1为圆心以 3为半径的圆与以 F2为圆心以 1为半径的圆相交,且交点在椭圆 C上.(1)求椭圆 C的方程;(2)设椭圆 E:+=1,P为椭圆 C上任意一点.过点 P的直线 y=kx+m交椭圆 E于 A,B两点,射线 PO交椭圆 E于点 Q.(i)求的值;(ii)求ABQ 面积的最大值.解析 (1)由题意知 2a=4,则 a=2.又=,a 2-c2=b2,可得 b=1,所以椭圆 C的方程为+y 2=1.(2)由(1)知椭圆 E的方程为+=1.(i)设 P(x0,y0
20、),=,由题意知 Q(-x 0,-y 0).因为+=1,又+=1,即=1,所以 =2,即=2.(ii)设 A(x1,y1),B(x2,y2).将 y=kx+m代入椭圆 E的方程,可得(1+4k 2)x2+8kmx+4m2-16=0,由 0,可得 m2n0),曲线 C2:-=1(ab0).若 C1与 C2有相同的焦点 F1、F 2,且 P同在 C1、C 2上,则|PF1|PF2|=( )A.m+a B.m-a C.m2+a2 D.m2-a2答案 B3.(人教 A选 2-1,二,2-2-1,1,变式)平面内有一长度为 2的线段 AB和一动点 P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是
21、( )A.1,4 B.2,6 C.3,5 D.3,6答案 C4.(2017江西九江模拟,8)F 1,F2是椭圆+=1 的左、右焦点,A 为椭圆上一点,且AF 1F2=45,则AF 1F2的面积为( )A.7 B. C. D.答案 C5.(2017湖南东部六校 4月联考,15)设 P,Q分别是圆 x2+(y-1)2=3和椭圆+y 2=1上的点,则 P、Q 两点间的最大距离是 . 答案 考点二 椭圆的几何性质6.(2018四川凉山州模拟,4)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.答案 D7.(2018四川达州模拟,7)以圆 x2+y2=4与
22、 x轴的交点为焦点,以抛物线 y2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是( )A. B. C. D.答案 C8.(2017河南 4月质检,11)已知椭圆 C:+=1(ab0)的右焦点为 F2,O为坐标原点,M 为 y轴上一点,点 A是直线 MF2与椭圆 C的一个交点,且|OA|=|OF 2|=2|OM|,则椭圆 C的离心率为( )A. B. C. D.答案 D考点三 直线与椭圆的位置关系9.(2018安徽合肥模拟,8)已知椭圆 C:+y2=1,若一组斜率为的平行直线被椭圆 C所截线段的中点均在直线 l上,则 l的斜率为( )A.-2 B.2 C.- D.答案 A10.(2018广
23、东广州模拟,10)已知点 M(-1,0)和 N(1,0),若某直线上存在点 P,使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“椭型直线”.现有下列直线:x-2y+6=0;x-y=0;2x-y+1=0;x+y-3=0.其中是“椭型直线”的是( )A. B. C. D.答案 C11.(2017湖南百校联盟 4月联考,10)已知椭圆+=1(ab0)的右顶点和上顶点分别为 A、B,左焦点为 F.以原点 O为圆心的圆与直线 BF相切,且该圆与 y轴的正半轴交于点 C,过点 C的直线交椭圆于 M、N 两点.若四边形 FAMN是平行四边形,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.答案 A12.(2017湖
24、南益阳调研,20)已知椭圆+=1(ab0)的离心率 e=,点 P(0,)在椭圆上,A、B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 B作 BDx轴交 AP的延长线于点 D,F为椭圆的右焦点.(1)求椭圆的方程及直线 PF被椭圆截得的弦长|PM|;(2)求证:以 BD为直径的圆与直线 PF相切.解析 (1)椭圆过点 P(0,),b=,e=,=,结合 a2=b2+c2,得 a=2,c=1,椭圆的方程为+=1.则 F(1,0),结合 P(0,),可得直线 PF的方程为 y=-(x-1),与椭圆方程联立,得消去 y,得 5x2-8x=0,解得 x1=0,x2=.由弦长公式得|PM|=|x 1-x2|=.(2)证明
25、:易得 A(-2,0),B(2,0),直线 AP的方程为 y=(x+2),直线 BD的方程为 x=2,两方程联立,求得 D(2,2),所以以 BD为直径的圆的圆心为(2,),半径 R=,圆心到直线 PF的距离 d=,所以以 BD为直径的圆与直线 PF相切.B组 20162018 年模拟提升题组(满分:50 分 时间:50 分钟)一、选择题(每小题 5分,共 15分)1.(2018四川德阳模拟,9)设点 P为椭圆 C:+=1上一点,F 1、F 2分别是椭圆 C的左、右焦点,且PF 1F2的重心为点 G,若|PF1|PF2|=34,那么GPF 1的面积为 ( )A.24 B.12 C.8 D.6答
26、案 C2.(2018广东清远模拟,11)已知 m、n、s、tR *,m+n=3,+=1,其中 m、n 是常数且 mb0)的左、右焦点,A 是椭圆上位于第一象限内的一点,O 为坐标原点,直线 OA的斜率为,=| 2,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.答案 A二、填空题(共 5分)4.(2017安徽安庆二模,15)已知椭圆+=1(ab0)短轴的端点为 P(0,b)、Q(0,-b),长轴的一个端点为 M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若 PA、PB 的斜率之积等于-,则 P到直线 QM的距离为 . 答案 三、解答题(共 30分)5.(2018广东茂名模拟,20)已知椭圆 C:+
27、=1(ab0)的焦距为 2,设右焦点为 F,过原点 O的直线 l与椭圆 C交于 A,B两点,线段 AF的中点为 M,线段 BF的中点为 N,且=.(1)求弦 AB的长;(2)当直线 l的斜率 k=,且直线 ll 时,l交椭圆于 P,Q,若点 A在第一象限,求证:直线 AP,AQ与 x轴围成一个等腰三角形.解析 (1)由题意可知 2c=2,c=,设 F(,0),A(x0,y0),B(-x0,-y0),则 M,N,由=,则+=5,则|AB|=2=2.(2)证明:直线 l的斜率 k=,l:y=x,设 l:y=x+m(m0),y 0=x0,由+=5,得 A(2,1),由 c=,代入椭圆方程解得a=2,
28、b=,椭圆的方程为+=1,联立整理得 x2+2mx+2m2-4=0,=4m 2-4(2m2-4)0,即 m(-2,0)(0,2).设直线 AP,AQ的斜率分别为 k1,k2,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 k1=,k2=.由 x2+2mx+2m2-4=0,可得 x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,k1+k2=+=0,即 k1+k2=0.直线 AP,AQ与 x轴围成一个等腰三角形.6.(2017江西红色七校一联,21)已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x轴上,短轴长为 2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点 F与 x轴不垂直的直线 l交椭圆于 P,Q两
29、点.(1)求椭圆的方程;(2)当直线 l的斜率为 1时,求POQ 的面积;(3)在线段 OF上是否存在点 M(m,0)(0b0),根据题意得 b=c=1,所以 a2=b2+c2=2,所以椭圆的方程为+y 2=1.(2)根据题意得直线 l的方程为 y=x-1,联立得 P,Q的坐标为(0,-1),|PQ|=,易得点 O到直线 PQ的距离为,所以 SOPQ =.(3)存在.假设在线段 OF上存在点 M(m,0)(0b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2,左顶点为 A,若|F 1F2|=2,椭圆的离心率 e=.(1)求椭圆的标准方程;(2)若 P是椭圆上的任意一点,求的取值范围.解析 (1)|F 1F
30、2|=2,椭圆的离心率 e=,c=1,a=2,b=,椭圆的标准方程为+=1.(2)设 P(x,y),A(-2,0),F 1(-1,0),=(-1-x)(-2-x)+y 2=x2+3x+5,由椭圆方程得-2x2,二次函数图象开口向上,对称轴为 x=-6b0)和圆 O:x2+y2=b2,若 C上存在点 P,使得过点 P引圆 O的两条切线,切点分别为 A,B,满足APB=60,则椭圆 C的离心率的取值范围为 . 答案 5.(2017河南开封一模,20)已知平面直角坐标系 xOy中,椭圆的中心为坐标原点,焦点在 x轴上,其左、右焦点分别为 F1,F2,过椭圆右焦点 F2且斜率为 1的直线交椭圆于 A,
31、B两点,且+与 a=(3,-1)共线.(1)求椭圆的离心率;(2)若椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为,直线 l与椭圆 C交于 P,Q两点,坐标原点 O到直线 l的距离为,求POQ 面积的最大值.解析 (1)设椭圆的方程为+=1(ab0),右焦点 F2(c,0)(c0),则直线 AB的方程为 y=x-c.设 A(x1,y1),B(x2,y2).由得(b 2+a2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0,x 1+x2=,x1x2=,y 1+y2=x1-c+x2-c=-,由+与 a=(3,-1)共线,得 3(y1+y2)+(x1+x2)=0,3+=0,即 a2=3b2,a=b,c=b,e=.(2
32、)由椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为及(1),得 a=,b=1,故椭圆的方程为+y 2=1.当 PQx 轴时,|PQ|=;当 PQ与 x轴不垂直且不与 x轴平行时,设直线 l的方程为 y=kx+m(k0),由=得 m2=(k2+1),把 y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k 2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,设 P(x3,y3),Q(x4,y4),则 x3+x4=,x3x4=,|PQ| 2=(1+k2)(x4-x3)2=(1+k2)(x4+x3)2-4x3x4=(1+k2)=3+=3+3+=4,当且仅当 9k2=,即 k=时等号成立.当 PQ与 x轴平行,即 k=0时,|PQ|=,综
33、上,|PQ| max=2.当|PQ|最大时,POQ 的面积取得最大值,为2=.方法 3 解决直线与椭圆位置关系问题的方法6.(2017湖南六校 4月联考,16)过椭圆+=1(ab0)上的动点 M作圆 x2+y2=的两条切线,切点分别为 P和 Q,直线 PQ与 x轴和 y轴的交点分别为 E和 F,则EOF 面积的最小值是 . 答案 7.(2018四川凉山州模拟,20)若 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 E:+y2=1上位于 x轴上方的两点,且 x1+x2=2.(1)若 y1+y2=1,求线段 AB的垂直平分线的方程;(2)求直线 AB在 y轴上截距的最小值.解析 (1)设 AB的中点为
34、 M,则 M,由得+(y 1-y2)(y1+y2)=0,(x 1-x2)+(y1-y2)=0=-,即 kAB=-,线段 AB的垂直平分线的斜率为.线段 AB的垂直平分线的方程为 y-=(x-1),即 9x-2y-8=0.(2)设直线 AB:y=kx+m.由得(1+9k 2)x2+18kmx+9m2-9=0,x 1+x2=-=29k2+9km+1=0.A(x 1,y1),B(x2,y2)是椭圆 E:+y2=1上位于 x轴上方的两点,k0,=(18km) 2-4(1+9k2)(9m2-9)09k2-m2+10.结合得 m=(-k)+,当且仅当 k=-时取到等号.此时,k=-,m=满足.直线 AB在 y轴上截距的最小值为.
