1、2018 年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1 （4 分）行列式 的值为 2 （4 分）双曲线 y2=1 的渐近线方程为 3 （4 分）在（1+x） 7 的二项展开式中，x 2 项的系数为 （结果用数值表示） 4 （4 分）设常数 aR，函数 f（x）=1og 2（x +a） 若 f（x）的反函数的图象经过点（3，1） ，则 a= 5 （4 分）已知复数 z 满足（ 1+i）z=17i（i 是虚数单位） ，则|z|= 6 （4 分）记等差数列a n的前 n 项和为 S
2、n，若 a3=0，a 6+a7=14，则 S7= 7 （5 分）已知 2，1， ，1 ，2，3，若幂函数 f（x）=x 为奇函数，且在（0，+）上递减，则 = 8 （5 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（ 1，0） 、B（2，0） ，E 、F 是 y 轴上的两个动点，且| |=2，则 的最小值为 9 （5 分）有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是 （结果用最简分数表示） 10 （5 分）设等比数列a n的通项公式为 an=qn1（n N*） ，前 n 项和为 Sn若= ，则 q= 11 （5
3、分）已知常数 a0，函数 f（x ）= 的图象经过点 P（p， ） ，Q（ q， ） 若 2p+q=36pq，则 a= 12 （5 分）已知实数 x1、x 2、y 1、y 2 满足：x 12+y12=1，x 22+y22=1，x 1x2+y1y2= ，则 + 的最大值为 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13 （5 分）设 P 是椭圆 =1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A2 B2 C2 D414 （5 分）已知 aR，则“a1” 是“ 1” 的（ ）A充分非必要
4、条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件15 （5 分） 九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设 AA1 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以 AA1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A4 B8 C12 D1616 （5 分）设 D 是含数 1 的有限实数集，f（x）是定义在 D 上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（ ）A B C D0三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17 （14 分）已
5、知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2（1）设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积；（2）设 PO=4，OA、OB 是底面半径，且AOB=90 ，M 为线段 AB 的中点，如图求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小18 （14 分）设常数 aR，函数 f（x ）=asin2x +2cos2x（1）若 f（x）为偶函数，求 a 的值；（2）若 f（ ）= +1，求方程 f（x）=1 在区间，上的解19 （14 分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当 S 中 x%（0x100）的成员自驾时，自驾群
6、体的人均通勤时间为f（x）= （单位：分钟） ，而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g（x ）的表达式；讨论 g（x ）的单调性，并说明其实际意义20 （16 分）设常数 t2在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（2，0） ，直线l：x=t ，曲线 ：y 2=8x（0xt，y 0） l 与 x 轴交于点 A、与 交于点BP、 Q 分别是曲线 与线段 AB 上的动点（1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离；（2）设 t
7、=3，|FQ|=2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求AQP 的面积；（3）设 t=8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在 上？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由21 （18 分）给定无穷数列a n，若无穷数列b n满足：对任意 nN*，都有|bnan|1，则称b n与 an“接近”（1）设a n是首项为 1，公比为 的等比数列，b n=an+1+1，n N*，判断数列b n是否与a n接近，并说明理由；（2）设数列a n的前四项为： a1=1，a 2=2，a 3=4， a4=8，b n是一个与a n接近的数列，记集合 M=x|x=bi，i=1，2，3
8、，4，求 M 中元素的个数 m；（3）已知a n是公差为 d 的等差数列，若存在数列b n满足：b n与a n接近，且在 b2b1，b 3b2， ，b 201b200 中至少有 100 个为正数，求 d 的取值范围2018 年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1 （4 分）行列式 的值为 18 【解答】解：行列式 =4521=18故答案为：182 （4 分）双曲线 y2=1 的渐近线方程为 【解答】解：双曲线 的 a=2，b=1 ，焦点在 x 轴上而双
9、曲线 的渐近线方程为 y=双曲线 的渐近线方程为 y=故答案为：y=3 （4 分）在（1+x） 7 的二项展开式中，x 2 项的系数为 21 （结果用数值表示） 【解答】解：二项式（1+x） 7 展开式的通项公式为Tr+1= xr，令 r=2，得展开式中 x2 的系数为 =21故答案为：214 （4 分）设常数 aR，函数 f（x）=1og 2（x +a） 若 f（x）的反函数的图象经过点（3，1） ，则 a= 7 【解答】解：常数 aR，函数 f（x）=1og 2（x +a） f（x）的反函数的图象经过点（3，1） ，函数 f（x ）=1og 2（x +a）的图象经过点（1，3） ，log
10、2（1+a） =3，解得 a=7故答案为：75 （4 分）已知复数 z 满足（ 1+i）z=17i（i 是虚数单位） ，则|z|= 5 【解答】解：由（1+i）z=1 7i，得 ，则|z|= 故答案为：56 （4 分）记等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a3=0，a 6+a7=14，则 S7= 14 【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 3=0，a 6+a7=14， ，解得 a1=4，d=2，S 7=7a1+ =28+42=14故答案为：147 （5 分）已知 2，1， ，1 ，2，3，若幂函数 f（x）=x 为奇函数，且在（0，+）上递减，则 = 1 【解答】解： 2
11、，1， ，1，2，3，幂函数 f（x ）=x 为奇函数，且在（ 0，+）上递减，a 是奇数，且 a0，a=1故答案为：18 （5 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（ 1，0） 、B（2，0） ，E 、F 是 y 轴上的两个动点，且| |=2，则 的最小值为 3 【解答】解：根据题意，设 E（0，a） ，F（0，b） ； ；a=b+2，或 b=a+2；且 ； ；当 a=b+2 时， ；b 2+2b2 的最小值为 ； 的最小值为3，同理求出 b=a+2 时， 的最小值为3故答案为：39 （5 分）有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则
12、这三个砝码的总质量为 9 克的概率是 （结果用最简分数表示） 【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3 个数中含有 1 个 2；2 个 2，没有 2，3 种情况，所有的事件总数为： =10，这三个砝码的总质量为 9 克的事件只有：5，3，1 或 5，2，2 两个，所以：这三个砝码的总质量为 9 克的概率是： = ，故答案为： 10 （5 分）设等比数列a n的通项公式为 an=qn1（n N*） ，前 n 项和为 Sn若= ，则 q= 3 【解答】解：等比数列a n的通项公式为 a =qn1（n N*） ，可得 a1=1，因
13、为 = ，所以数列的公比不是 1，a n+1=qn可得 = = = = ，可得 q=3故答案为：311 （5 分）已知常数 a0，函数 f（x ）= 的图象经过点 P（p， ） ，Q（ q， ） 若 2p+q=36pq，则 a= 6 【解答】解：函数 f（x） = 的图象经过点 P（p， ） ，Q（q， ） 则： ，整理得： =1，解得：2 p+q=a2pq，由于：2 p+q=36pq，所以：a 2=36，由于 a0，故：a=6故答案为：612 （5 分）已知实数 x1、x 2、y 1、y 2 满足：x 12+y12=1，x 22+y22=1，x 1x2+y1y2= ，则 + 的最大值为 1
14、【解答】解：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，=（x 1，y 1） ， =（x 2，y 2） ，由 x12+y12=1， x22+y22=1， x1x2+y1y2= ，可得 A，B 两点在圆 x2+y2=1 上，且 =11cosAOB= ，即有AOB=60，即三角形 OAB 为等边三角形，AB=1，+ 的几何意义为点 A，B 两点到直线 x+y1=0 的距离 d1 与 d2 之和，显然 d1+d2AB=1，即 + 的最大值为 1，故答案为：1二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格
15、涂黑.13 （5 分）设 P 是椭圆 =1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A2 B2 C2 D4【解答】解：椭圆 =1 的焦点坐标在 x 轴， a= ，P 是椭圆 =1 上的动点，由椭圆的定义可知：则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=2 故选：C14 （5 分）已知 aR，则“a1” 是“ 1” 的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件【解答】解：aR，则“a1”“ ”，“ ”“a 1 或 a0” ，“a1”是“ ”的充分非必要条件故选：A15 （5 分） 九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设 AA
16、1 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以 AA1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A4 B8 C12 D16【解答】解：根据正六边形的性质可得 D1F1A 1F1，C 1A1A 1F1，D1B1A 1B1，E 1A1A 1B1，则 D1A1ABB1，D 1A1AFF1 满足题意，而 C1，E 1，C ， D，E 和 D1 一样，故有 26=12，故选：C16 （5 分）设 D 是含数 1 的有限实数集，f（x）是定义在 D 上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（ ）A B C D0【解答】解：
17、设 D 是含数 1 的有限实数集，f（x）是定义在 D 上的函数，若 f（x）的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，故 f（1）=cos = ，故选：B三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17 （14 分）已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2（1）设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积；（2）设 PO=4，OA、OB 是底面半径，且AOB=90 ，M 为线段 AB 的中点，如图求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小【解答】解：（1）圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长为 4，圆锥的体积 V= =
18、（2）PO=4，OA，OB 是底面半径，且AOB=90 ，M 为线段 AB 的中点，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，P（0 ，0，4） ，A（2，0，0） ，B（0，2，0） ，M（1，1，0） ，O（0，0， 0） ，=（1，1，4） ， =（0 ，2，0） ，设异面直线 PM 与 OB 所成的角为 ，则 cos= = = =arccos 异面直线 PM 与 OB 所成的角的为 arccos 18 （14 分）设常数 aR，函数 f（x ）=asin2x +2cos2x（1）若 f（x）为偶函数，求 a 的值；（2）若 f（ ）= +
19、1，求方程 f（x）=1 在区间，上的解【解答】解：（1）f（x ）=asin2x +2cos2x，f（ x）= asin2x+2cos2x，f（ x）为偶函数，f（ x）=f（x） ，asin2x+2cos 2x=asin2x+2cos2x，2asin2x=0，a=0；（2）f（ ）= +1，asin +2cos2（ ）=a +1= +1，a= ，f（ x）= sin2x+2cos2x= sin2x+cos2x+1=2sin（x+ ）+1，f（ x）=1 ，2sin（x+ ）+1=1 ，sin （x + ）= ，x+ = +2k，或 x+ = +2k，k Z，x= +2k，或 x= +2k，
20、k Z，x， ，x= 或 x= 19 （14 分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当 S 中 x%（0x100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）= （单位：分钟） ，而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g（x ）的表达式；讨论 g（x ）的单调性，并说明其实际意义【解答】解；（1）由题意知，当 30x 100 时，f
21、（x）=2x+ 9040，即 x265x+9000，解得 x20 或 x45，x（45 ，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当 0x30 时，g（ x）=30x% +40（1x%） =40 ；当 30x100 时，g（ x）= （2x+ 90）x%+40 （1 x%）= x+58；g （x）= ；当 0x32.5 时，g（x）单调递减；当 32.5x100 时，g （x）单调递增；说明该地上班族 S 中有小于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为 32.5%时，人均通勤时间最少20 （16
22、 分）设常数 t2在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（2，0） ，直线l：x=t ，曲线 ：y 2=8x（0xt，y 0） l 与 x 轴交于点 A、与 交于点BP、 Q 分别是曲线 与线段 AB 上的动点（1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离；（2）设 t=3，|FQ|=2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求AQP 的面积；（3）设 t=8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在 上？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设 B（t，2 t） ，则|BF|= =t+2，|BF|=t +2；方法二：由题意可知：设
23、 B（t，2 t） ，由抛物线的性质可知：|BF|=t+ =t+2，|BF|=t +2；（2）F（2，0） ，|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，|AQ |= ， Q（3， ） ，设 OQ 的中点 D，D（ ， ） ，kQF= = ，则直线 PF 方程：y= （x 2） ，联立 ，整理得：3x 220x+12=0，解得：x= ， x=6（舍去） ，AQP 的面积 S= = ；（3）存在，设 P（ ，y） ，E （ ，m） ，则 kPF= = ，k FQ= ，直线 QF 方程为 y= （x 2） ，y Q= （82）= ，Q（8，） ，根据 + = ，则 E（ +6， ） ，（ ） 2=8（
24、+6） ，解得：y 2= ，存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在 上，且 P（ ， ） 21 （18 分）给定无穷数列a n，若无穷数列b n满足：对任意 nN*，都有|bnan|1，则称b n与 an“接近”（1）设a n是首项为 1，公比为 的等比数列，b n=an+1+1，n N*，判断数列b n是否与a n接近，并说明理由；（2）设数列a n的前四项为： a1=1，a 2=2，a 3=4， a4=8，b n是一个与a n接近的数列，记集合 M=x|x=bi，i=1，2，3，4，求 M 中元素的个数 m；（3）已知a n是公差为 d 的等差数列，若存在数列b n满足
25、：b n与a n接近，且在 b2b1，b 3b2， ，b 201b200 中至少有 100 个为正数，求 d 的取值范围【解答】解：（1）数列b n与a n接近理由：a n是首项为 1，公比为 的等比数列，可得 an= ，b n=an+1+1= +1，则|b nan|=| +1 |=1 1，nN *，可得数列b n与a n接近；（2）b n是一个与a n接近的数列，可得 an1b na n+1，数列a n的前四项为： a1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，可得 b10，2，b 21，3，b 33，5，b 47，9，可能 b1 与 b2 相等，b 2 与 b3 相等，但 b1 与 b3
26、不相等，b 4 与 b3 不相等，集合 M=x|x=bi，i=1，2，3，4，M 中元素的个数 m=3 或 4；（3）a n是公差为 d 的等差数列，若存在数列b n满足：b n与a n接近，可得 an=a1+（n1 ）d，若 d0，取 bn=an，可得 bn+1bn=an+1an=d0，则 b2b1，b 3b2， ，b 201b200 中有 200 个正数，符合题意；若 d=0，取 bn=a1 ，则 |bnan|=|a1 a1|= 1，n N*，可得 bn+1bn= 0，则 b2b1，b 3b2， ，b 201b200 中有 200 个正数，符合题意；若2d0，可令 b2n1=a2n11，b 2n=a2n+1，则 b2nb2n1=a2n+1（a 2n11） =2+d0，则 b2b1，b 3b2， ，b 201b200 中恰有 100 个正数，符合题意；若 d2，若存在数列b n满足：b n与a n接近，即为 an1b na n+1，a n+11b n+1a n+1+1，可得 bn+1bna n+1+1（a n1）=2+d0，b2b1，b 3b2， ，b 201b200 中无正数，不符合题意综上可得，d 的范围是（ 2，+）
