1、题组层级快练( 八十五)1下列表中能成为随机变量 X 的分布列的是( )答案 C2袋中有大小相同的红球 6 个、白球 5 个，从袋中每次任意取出 1 个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量 ，则 的可能值为( )A1，2，6 B1，2，7C1，2，11 D1，2，3，答案 B解析 除白球外，其他的还有 6 个球，因此取到白球时取球次数最少为 1 次，最多为 7次故选 B.3若某一随机变量 X 的概率分布如下表，且 m2n1.2，则 m 的值为( )n2X 0 1 2 3P 0.1 m n 0.1A.0.2 B0.2C0.1 D0.1答案 B解析 由 mn0.21，m2n1.
2、2，可得 mn0.4，m 0.2.n24已知随机变量 X 的分布列为 P(Xk) ，k1，2，则 P(2X4)等于( )12kA. B.316 14C. D.116 516答案 A解析 P(2X4) P(X 3) P(X4) .123 124 3165若随机变量 X 的分布列为X 2 1 0 1 2 3P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1则当 P(Xa)0.8 时，实数 a 的取值范围是( )A(，2 B1，2C(1，2 D(1 ， 2)答案 C解析 由随机变量 X 的分布列知： P(X1) 0.1，P(X0)0.3，P(X1)0.5，P(X2)0.8，则当 P(Xa)0.8 时
3、，实数 a 的取值范围是(1，26袋中有大小相同的 5 只钢球，分别标有 1，2，3，4，5 五个号码，任意抽取 2 个球，设 2 个球号码之和为 X，则 X 的所有可能取值个数为( )A25 B10C7 D6答案 C解析 X 的可能取值为123，134，14523，15642，25734，358，459.7甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得 0 分，抢到题并回答正确的得 1 分，抢到题但回答错误的扣 1 分(即得1 分)若 X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分 (分数高者胜)，则 X 的所有可能取值是_答案 1，0，1，2，3解析 X1，
4、甲抢到一题但答错了； X0，甲没抢到题，或甲抢到 2 题，但答时一对一错；X1 时，甲抢到 1 题且答对或甲抢到 3 题，且一错两对；X 2 时，甲抢到 2 题均答对；X3 时，甲抢到 3 题均答对8已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球设 为取出的 4 个球中红球的个数，则 P(2)_答案 310解析 可能取的值为 0，1，2，3，P(0) ，C32C42C42C62 15P(1) ，又 P(3) ，C31C42 C32C21C41C42C62 715 C31C42C62 130P(2)1P(0)P(
5、1) P(3)1 .15 715 130 3109一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，编号分别为 1，2，3，4；白色卡片3 张，编号分别为 2，3，4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同) (1)求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率；(2)在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X，求随机变量 X 的分布列与数学期望答案 (1) (2)67 175解析 (1)设“取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片” 为事件 A，则 P(A) .C21C53 C22C52C74 67所以取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概
6、率为 .67(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4.P(X1) ，P(X2) ，C33C74 135 C43C74 435P(X3) ，P(X4) .C53C74 27 C63C74 47则随机变量 X 的分布列是X 1 2 3 4P 135 435 27 47故随机变量 X 的数学期望 E(X)1 2 3 4 .135 435 27 47 17510在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖某顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该
7、顾客获得的奖品总价值 X 元的概率分布列答案 (1) (2)略23解析 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的 4 张奖券中抽到了 1 张或 2 张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P .C41C61 C42C102 3045 23(或用间接法，即 P1 1 )C62C102 1545 23(2)依题意可知，X 的所有可能取值为 0，10，20，50，60(元)，且P(X0) ，P(X 10) ，P(X20) ，P(X 50)C40C62C102 13 C31C61C102 25 C32C102 115 ，C11C61C102 215P(X60) .C11C31C102 115所以 X 的分
8、布列为：X 0 10 20 50 60P 13 25 115 215 11511.在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品从这 10 件产品中任取 3 件，求：(1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列；(2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率答案 (1)略 (2)31120解析 (1)由于从 10 件产品中任取 3 件的结果数为 C103，从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的结果数为 C3kC73k ，那么从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的概率为 P(Xk) ，k0，1，2，3.C3kC73 kC103
9、所以随机变量 X 的分布列是X 0 1 2 3P 724 2140 740 1120(2)设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A， “恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品”为事件 A1， “恰好取出 2 件一等品”为事件 A2， “恰好取出 3 件一等品”为事件 A3.由于事件 A1，A 2，A 3 彼此互斥，且 AA 1A 2A 3，而P(A1) ，P(A 2) P(X2) ，P(A 3)P(X 3) ，C31C32C103 340 740 1120取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)P(A 1)P(A 2)P(A 3) .340 740 1
10、120 3112012(2017大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为 ， .1213 23(1)求该高中获得冠军个数 X 的概率分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加 5 分，否则加 2 分，求该高中得分 Y 的概率分布列答案 (1)略 (2) 略解析 (1)由题意知 X 的可能取值为 0，1，2，3，则 P(X0)(1 )(1 )(1 ) ，12 13 23 19P(X1) (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) ，12 13 23 12 13 23 12 13 23 718P(X2) (1 )(1 ) (1 ) ，P(
11、X 3) .12 13 23 12 13 23 12 13 23 718 12 13 23 19X 的分布列为X 0 1 2 3P 19 718 718 19(2)得分 Y 5X2(3X)63X，X 的可能取值为 0，1，2， 3.Y 的可能取值 6，9，12， 15.则 P(Y6)P(X0) ，19P(Y9)P(X1) ，P(Y12)P(X2) ，P(Y 15) P(X3) .718 718 19Y 的分布列为Y 6 9 12 15P 19 718 718 1913.(2018河南豫北名校联盟) 中国新歌声是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于 2012
12、年 7 月 13 日正式在浙江卫视播出每期节目有四位导师参加导师背对歌手，若每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练已知某期中国新歌声 ，6 位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：导师转身人数(人) 4 3 2 1获得相应导师转身的选手人数(人) 1 2 2 1现从这 6 位选手中随机抽取 2 人考查他们演唱完后导师的转身情况(1)求选出的 2 人导师为其转身的人数和为 4 的概率；(2)记选出的 2 人导师为其转身的人数之和为 X，求 X 的分布列及数学期望 E(X)答案 (1) (2)E(X)515解析 (1)设 6 位选手中
13、，A 有 4 位导师为其转身，B ，C 有 3 位导师为其转知，D，E 有 2位导师为其转身，F 只有 1 位导师为其转身从 6 人中随机抽取两人有 C6215 种情况，其中选出的 2 人导师为其转身的人数和为 4 的有 C22C 21C113 种，所求概率为P .315 15(2)X 的所有可能取值为 3，4 ，5，6，7.P(X3) ；P(X4) ；P(X 5) ；P(X6)C21C11C62 215 15 1 C21C21C62 515 13 ；P(X7) .C21C11 C22C62 315 15 C21C11C62 215X 的分布列为X 3 4 5 6 7P 215 15 13 1
14、5 215E(X)3 4 5 6 7 5.215 15 13 15 2151由于电脑故障，使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失( 以“x，y”代替)，其分布列如下：X 1 2 3 4 5 6P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20则丢失的两个数据 x，y 依次为_答案 2，5解析 由于 0.200.10(0.1x0.05) 0.10(0.10.01y)0.201，得 10xy25，又因为 x，y 为正整数，故两个数据依次为 2，5.2一实验箱中装有标号为 1，2，3，3，4 的 5 只白鼠，若从中任取 1 只，记取到的白鼠的标号为 Y，则随机变量 Y 的分布列是_答案
15、 Y 1 2 3 4P 15 15 25 15解析 Y 的所有可能值为 1， 2，3，4.P(Y1) ，P(Y2) ，15 15P(Y3) ，P(Y4) .25 15Y 的分布列为Y 1 2 3 4P 15 15 25 153.一个袋子中装有 7 个小球，其中红球 4 个，编号分别为 1，2，3，4，黄球 3 个，编号分别为 2，4，6，从袋中任取 4 个球(假设取到任何一个球的可能性相同) (1)求取出小球中有相同编号的概率；(2)记取出的小球的最大编号为 X，求随机变量 X 的分布列答案 (1) (2) 略1935解析 (1)设“取出的小球中有相同编号的”为事件 A，编号相同可分成一个相同
16、和两个相同，则 P(A) .2（C21C31 C32） 1C74 1935(2)随机变量 X 的可能取值为： 3，4，6.P(X3) ，P(X4) ，1C74 135 C21C43 C42C74 25P(X6) ，C63C74 47随机变量 X 的分布列为：X 3 4 6P 135 25 474.一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 .79(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 X，求随机变量 X 的分布列答案 (1)5 个 (2) 略解析 (1)记“从袋中任意摸出 2 个球，至少得 1 个白球” 为
17、事件 A，设袋中白球的个数为x，则 P(A)1 ，得到 x5.故白球有 5 个C10 x2C102 79(2)X 服从超几何分布，P(Xk) ，k0，1，2，3.C5kC53 kC103于是可得其分布列为X 0 1 2 3P 112 512 512 1125.(2015福建，理)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(
18、2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望答案 (1) (2)分布列略，E(X)12 52解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A，则 P(A) .56 45 34 12(2)依题意得，X 所有可能的取值是 1，2，3.又 P(X1) ，P(X2) ，P(X3) 1 .16 56 15 16 56 45 23所以 X 的分布列为X 1 2 3P 16 16 23所以 E(X)1 2 3 .16 16 23 526某中学动员学生在春节期间至少参加一次社会公益活动(下面简称为“活动”) 该校合唱团共有 100 名学生，他们参加活动的次数统计如图所示(1)
19、求合唱团学生参加活动的人均次数；(2)从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；(3)从合唱团中任选两名学生，用 表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列答案 (1)2.3 (2) (3) 略4199解析 根据统计图知参加活动 1 次、2 次、3 次的学生数分别为 10，50，40.(1)该合唱团学生参加活动的人均次数为 2.3.x 110 250 340100(2)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率 P C102 C502 C402C1002.4199(3)的取值为 0，1，2， 的分布列为 0 1 2P 4199 5099 8997.(2
20、013重庆)某商场举行的 “三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额一等奖 3 红 1 蓝 200 元二等奖 3 红 0 蓝 50 元三等奖 2 红 1 蓝 10 元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列答案 (1) (2) 略1835解析 设 Ai 表示摸到 i 个红球，B j 表示摸
21、到 j 个蓝球，则 Ai(i0，1，2，3) 与 Bj(j0，1)独立(1)恰好摸到 1 个红球的概率为 P(A1) .C31C42C73 1835(2)X 的所有可能的值为： 0， 10，50，200，则 P(X200)P(A 3B1)P(A 3)P(B1) ，C33C73 13 1105P(X50)P(A 3B0)P(A 3)P(B0) ，C33C73 23 2105P(X10)P(A 2B1)P(A 2)P(B1) ，C32C41C73 13 12105 435P(X0)1 .1105 2105 435 67综上知 X 的分布列为X 0 10 50 200P 67 435 2105 11
22、058.某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量(件) 0 1 2 3频数 1 5 9 5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变 )，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；(2)设 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和均值答案 (1) (2)310 114解析 (1)P( “当天商店不进货”) P(“当天商品销售量为 0 件”)P(“当天商品销售量为1 件”) .120 520 310(2)由题意知，X 的可能取值为 2，3.P(X2
23、)P(“当天商品销售量为 1 件”) ；520 14P(X3)P(“当天商品销售量为 0 件”)P( “当天商品销售量为 2 件”)P(“当天商品销售量为 3 件”) .120 920 520 34故 X 的分布列为X 2 3P 14 34X 的均值为 E(X)2 3 .14 34 1149设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1.(1)求概率 P( 0)；(2)求 的分布列，并求其数学期望 E()解析 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个，过任意 1 个顶点恰有 3
24、 条棱，所以共有 8C32 对相交棱，因此 P(0) .8C32C122 8366 411(2)若两条棱平行，则它们的距离为 1 或 ，其中距离为 的共有 6 对，故 P( )2 2 2 .6C122 111于是 P(1)1P(0)P( )1 .2411 111 611所以随机变量 的分布列是 0 1 2P() 411 611 111因此 E()1 .611 2 111 6 21110(2018贵州遵义联考)2016 年巴西奥运会的周边商品有 80%左右为“中国制造” ，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分
25、层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共 98 件中分别抽取 9 件和 5 件，测量产品中的微量元素的含量(单位：毫克) 下表是从乙厂抽取的 5 件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81(1)求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素 x，y 满足 x175，且 y75，该产品为优等品用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数 的分布列及其均值(即数学期望)答案 (1)35 (2)14 (3)45解析 (1)乙厂生产的产品总数为 5 35.1498(2)样品中优等品的频率为 ，估计乙厂生产的优等品的数量为 35 14.25 25(3)0，1，2 ，P(i) (i0，1，2)，C2iC32 iC52 的分布列为 0 1 2P 310 35 110均值 E()0 1 2 .310 35 110 45
