1、专题层级快练( 七十三)1(2018重庆一中期中)当曲线 y 与直线 kxy2k40 有两个不同的交点时，4 x2实数 k 的取值范围是( )A(0， ) B( ， 34 512 34C( ，1 D( ， )34 34答案 C解析 曲线 y 表示圆 x2y 24 的下半部分，直线4 x2kxy2k40 过定点(2 ，4) 由 2，解得 k ，所以|2k 4|k2 1 34过点(2，4)且斜率 k 的直线 y x 与曲线 y 相切，如图所示过点34 34 52 4 x2(2，4) 与点(2 ，0)的直线的斜率为 1.所以曲线 y 与直线 4 0 2 2 4 x2kxy2k0 有两个不同的交点时，
2、实数 k 的取值范围是( ，1 故选 C.342设抛物线 x22py(p0)， M 为直线 y2p 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B，记 A，B，M 的横坐标分别为 xA，x B，x M，则( )Ax Ax B2x M Bx AxBx M2C. D以上都不对1xA 1xB 2xM答案 A解析 由 x22py 得 y ，所以 y ，所以直线 MA 的方程为 y2p (xx M)，直x22p xp xAp线 MB 的方程为 y2p (xx M)，所以 2p (xAx M) xBp xA22p xAp， 2p (xBx M) ，由可得 xAx B2x M，故选 A.xB22p
3、xBp3(2016浙江，文)设双曲线 x2 1 的左、右焦点分别为 F1，F 2.若点 P 在双曲线上，y23且F 1PF2 为锐角三角形，则|PF 1|PF 2|的取值范围是_答案 (2 ，8)7解析 由题意不妨设点 P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当 PF2x 轴时，|PF1|PF 2|有最大值 8；当 P 为直角时，|PF 1|PF 2|有最小值 2 .因为F 1PF2 为锐角三角7形，所以|PF 1| |PF2|的取值范围为 (2 ，8)74已知圆 C 的半径为 2，圆心在直线 yx2 上，E(1，1)，F(1，3)，若圆上存在点Q，使|QF| 2|QE| 232，则圆心的横
4、坐标 a 的取值范围为_答案 3，1解析 根据题意，可设圆 C 的方程为 (xa) 2(y a 2) 24，设 Q(x，y) ，由|QF|2|QE| 232 ，得到(x 1) 2(y3) 2(x1) 2(y1) 232，得 y3，故点 Q 在直线y3 上，又点 Q 在圆(xa) 2(ya2) 24 上，所以圆 C 与直线 y3 必须有公共点因为圆心的纵坐标为a2，半径为 2，所以圆 C 与直线 y3 有公共点的充分条件是1a25，即3a 1.所以圆心的横坐标 a 的取值范围是 3，15(2018江西红色七校二模) 已知椭圆的焦点坐标为 F1(1，0)，F 2(1，0) ，过 F2 垂直于长轴的
5、直线交椭圆于 P，Q 两点，且|PQ| 3.(1)求椭圆的方程；(2)过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M，N，则F 1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线 l 的方程；若不存在，请说明理由答案 (1) 1 (2) 存在，最大值为x24 y23 916解析 (1)设椭圆方程为 1(ab0) ，由焦点坐标可得 c1，由|PQ|3，可得 3.x2a2 y2b2 2b2a又 a2b 21，解得 a2，b ，3故椭圆方程为 1.x24 y23(2)设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，不妨设 y10，y 20，得|k| .12设 A(x1，y 1)，
6、B(x2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 .16k4k2 3 44k2 3|EA|EB|，( ) 0.EA EB AB 又 (x 1x 2，k(x 1 x2)42t)， (x 2x 1， k(x2x 1)，EA EB AB (x 2x 1，k(x 2x 1)(x1x 2，k(x 1x 2)42t)0，展开化简，得(1k 2)(x1x 2)4k2kt0，将 x1x 2 代入化简，得 t ，16k4k2 3 24k2 3又|k| ，t ( ，0) 12 24k2 3 12综上，存在符合题意的点 E，且实数 t 的取值范围为( ，0127(2018贵州贵阳考试)已知抛物线 E：y 24x 的
7、焦点为 F，准线为 l，准线 l 与 x 轴的交点为 P，过点 P 且斜率为 k 的直线 m 交抛物线于不同的两点 A，B.(1)若|AF|BF|8，求线段 AB 的中点 Q 到准线的距离；(2)E 上是否存在一点 M，满足 ？若存在，求出直线 m 的斜率；若不存在，请PA PB PM 说明理由答案 (1)4 (2)不存在解析 (1)由抛物线 E 的方程为 y24x，可得 F(1，0)，准线 l：x1，P(1，0)过点 A 作 AAl，过点 B 作 BBl，垂足分别为 A，B.由抛物线的定义得|AF|AA|，|BF|BB|，由|AF|BF| 8 得|AA |BB|8.过 AB 的中点 Q 作
8、QQl，垂足为 Q，故 QQ是直角梯形 AAB B 的中位线，|QQ | 4，即线段 AB 的中点 Q 到准线的距离为 4.|AA| |BB|2 82(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)， M(x，y)，则 (x 11，y 1)(x 21，y 2)(x 1x 22，y 1y 2)(x 1，y) ，PA PB PM 故 即x1 x2 2 x 1，y1 y2 y， ) x1 x2 x 1，y1 y2 y. )设直线 m 的方程为 yk(x1)，联立 得 k2x2(2k 24)xk 20，y k（x 1），y2 4x，k0， )(2k 24) 24k 41616k 20，x 1x 2
9、.4 2k2k2 x1，x .4 2k2k2 4 k2k2y 1y 2k(x 1x 2)2kk 2k .4 2k2k2 4ky .M( ， )4k 4 k2k2 4k点 M 在抛物线上，( )24 ，4k 4 k2k2即 4，此方程无解16k2 16k2不存在满足条件的点 M.8(2018吉林普通中学第一次调研) 如图，已知椭圆E： 1(00，所以 x1x 2 ，x 1x2 . 8k4k2 3 84k2 3从而 OA OB PA PB x 1x2y 1y2x 1x2(y 11)(y 21)(1)(1k 2)x1x2k(x 1x 2)1 8（1 ）（1 k2） 4k2 34k2 3 23.4 2
10、4k2 3所以当 2 时， 237，4 24k2 3即 7 为定值OA OB PA PB 当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 即直线 CD.此时 2 347.OA OB PA PB OC OD PC PD 故存在常数 2，使得 为定值7.OA OB PA PB 1已知抛物线 y22px(p0) ，O 是坐标原点，F 是抛物线的焦点，P 是抛物线上一点，则使得POF 是直角三角形的点 P 共有( )A0 个 B2 个C4 个 D6 个答案 B解析 当OFP 为直角时，作出图形如图所示，过焦点 F 作 PFx 轴，交抛物线于点 P，P ，则OFP ，OFP都是直角三角形显然POF 不可能为直
11、角若OPF90，易知 F( ，0)，设 P( ，y)，p2 y22p可得 ( ，y)， ( ，y) ， ( )OP y22p FP y22p p2 OP FP y22py22p p2y 2 . 0， 0， 0，cosOPF0，OPF 为锐角，不可y44p2 3y24 y44p2 3y24 OP FP 能为直角综上，使得POF 是直角三角形的点 P 有且有 2 个2(2018江苏盐城中学摸底) 命题 p：已知椭圆 1(ab0)，F 1，F 2 是椭圆的两个焦x2a2 y2b2点，P 为椭圆上的一个动点，过 F2 作F 1PF2 外角的平分线的垂线，垂足为 M，则 OM 的长为定值类比此命题，在双
12、曲线中也有命题 q：已知双曲线 1(a0，b0)，x2a2 y2b2F1，F 2 是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过 F2 作F 1PF2 的_的垂线，垂足为 M，则 OM 的长为定值_答案 内角平分线 a解析 F 1，F 2 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过 F2 作F 1PF2 外角的平分线的垂线，垂足为 M，点 F2 关于F 1PF2 的外角平分线 PM 的对称点 Q 在 F1P 的延长线上，|F 1Q|PF 1|PF 2|2a( 椭圆长轴长)，又 OM 是F 2F1Q 的中位线，故|OM|a.不妨设点 P 在双曲线右支上，当过 F2 作F 1PF2 的内角平分
13、线的垂线，垂足为 M 时，点 F2 关于F 1PF2 的内角平分线 PM 的对称点 Q 在 PF1 上，|F 1Q| |PF1|PF 2|2a，又 OM 是F2F1Q 的中位线，故|OM|a.3(2018海南海口三模)已知椭圆 C： y 21(a1)的左、右焦点分别为 F1(c，0)，x2a2F2(c，0)，P 为椭圆 C 上任意一点，且 的最小值为 0.PF1 PF2 (1)求椭圆 C 的方程；(2 )若动直线 l1，l 2 均与椭圆 C 相切，且 l1l 2，试探究在 x 轴上是否存在定点 B，使得点B 到 l1，l 2 的距离之积恒为 1？若存在，请求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理
14、由答案 (1) y 21 (2) 略x22解析 (1)设 P(x，y) ，则有 (xc，y)， (x c ，y)，F1P F2P x 2y 2c 2 1c 2，x a ，a，PF1 PF2 （a2 1）x2a2由 的最小值为 0，得 1c 20，c 1，a 22，PF1 PF2 椭圆 C 的方程为 y 21.x22(2)当直线 l1，l 2 斜率存在时，设其方程分别为 ykxm，ykxn，把 l1 的方程代入椭圆方程得(12k 2)x24mkx2m 220.直线 l1 与椭圆 C 相切，16k 2m24(12k 2)(2m22)0，化简得 m212k 2，同理， n212k 2，m 2n 2.
15、若 mn，则 l1，l 2 重合，不合题意，m n.设在 x 轴上存在点 B(t，0)，点 B 到直线 l1，l 2 的距离之积为 1，则 1，即|k 2t2m 2|k 21，|kt m|k2 1 |kt m|k2 1把 12k 2m 2 代入并去绝对值，整理得 k2(t23) 2 或 k2(t21)0，前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的 kR 恒成立，则 t210，解得 t1.当直线 l1，l 2 斜率不存在时，其方程为 x 和 x ，定点(1，0) 或(1，0)到直线2 2l1，l 2 的距离之积为( 1)( 1) 1，2 2综上所述，满足题意的定点 B 为(1，0)和(1 ，0)4(
16、2018吉林一中二模)已知抛物线 C：y 22px(p0) 与直线 x y40 相切2(1)求该抛物线的方程；(2)在 x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点 M，过该点的动直线 l 与抛物线 C 交于A，B 两点，使得 为定值？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，请说1|AM|2 1|BM|2明理由答案 (1)y 28x (2) 略解析 (1)联立方程，有 消去 x，得 y2 2 py8p0，由直线与抛物线相x 2y 4 0，y2 2px， ) 2切，得 8p 232p0，解得 p4.所以抛物线的方程为 y28x.(2)假设存在满足条件的点 M(m，0)(m0) 直线 l：xtym，由
17、 得 y28ty 8m0，x ty m，y2 8x，)设 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)，有 y1y 28t ，y 1y28m.|AM|2(x 1m) 2y 12(t 21)y 12，|BM|2(x 2m) 2y 22(t 21)y 22. ，1|AM|2 1|BM|2 1（t2 1）y12 1（t2 1）y22 1t2 1 y12 y22y12y22 1t2 1 4t2 m4m2当 m4 时， 为定值，所以 M(4，0)1|AM|2 1|BM|25(2018浙江温州第一次考试) 如图，动圆 C 过点 F(1，0)，且与直线x1 相切于点 P.(1)求圆 C 的轨迹 的方程；(2)过
18、点 F 任作一直线交轨迹 于 A，B 两点，设 PA，PF，PB 的斜率分别为 k1，k 2，k 3，问： 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由k1 k3k2答案 (1)y 24x (2) 定值为 2解析 (1)由题意，圆心 C 到点 F(1，0)的距离与到直线 x1 的距离相等由抛物线的定义，可知圆心 C 的轨迹是以 F(1，0)为焦点，以直线 x1 为准线的抛物线，其中 1，所以 p2.p2故圆心 C 的轨迹 的方程是 y24x.(2)设直线 AB 的方程为 xmy1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)联立方程，得 整理得 y24my 40，x my 1，y2 4x，)则 y1y 24m，y 1y24.设 P(1，t)，则 k1 ，k 3 ， k2 .y1 tx1 （ 1） y1 tmy1 2 y2 tmy2 2 t 1 1 t2k1k 3 （y1 t）（my2 2） （y2 t）（my1 2）（my1 2）（my2 2） 2my1y2 （2 tm）（y1 y2） 4tm2y1y2 2m（y1 y2） 4 t ，则 2，故 为定值，定2m（ 4） （2 tm）4m 4tm2（ 4） 2m4m 4 4t（m2 1）4（m2 1） k1 k3k2 t t2 k1 k3k2值为 2.
