1、题组层级快练( 四十四)1已知 a，b(0 ，1)且 ab，下列各式中最大的是( )Aa 2b 2 B2 abC2ab Da b答案 D解析 只需比较 a2b 2 与 ab.由于 a，b(0 ，1)，a 20，且 b0，若 2ab4，则 的最小值为( )1abA. B414C. D212答案 C解析 42ab2 ， ab 2， ，当且仅当 a1，b2 时取等号2ab1ab 127若 x0，b0，ab b2a 2 ，ab2 .ab 2ab 2方法二：由题设易知 a0，b0， 2 ，即 ab2 ，当且仅当 b2a 时取ab1a 2b 2ab 2“”号，选 C.9(2017金山模拟)函数 y (x1
2、)的最小值是( )x2 2x 1A2 2 B2 23 3C2 D23答案 A解析 x1，x10.y x2 2x 1 x2 2x 2x 2x 1 x2 2x 1 2（x 1） 3x 1 x1 22 22 2.（x 1）2 2（x 1） 3x 1 3x 1 （x 1）（ 3x 1） 3当且仅当 x1 ，即 x1 时，取等号3x 1 310已知不等式(xy)( )9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( )1x ayA2 B4C6 D8答案 B解析 (xy)( )1a a1a2 ( 1) 2，1x ay xy yx a a当且仅当 a ，即 ax2y 2 时“”成立xy yx(x
3、y)( )的最小值为( 1) 29.1x ay aa4.11设实数 x，y，m，n 满足 x2y 21，m 2n 23，那么 mxny 的最大值是( )A. B23C. D.5102答案 A解析 方法一：设 xsin， ycos，m sin，n cos，其中 ，R .3 3mxny sinsin coscos cos()故选 A.3 3 3方法二：由已知(x 2y 2)(m2 n2)3，即m2x2n 2y2n 2x2m 2y23，m 2x2n 2y22(nx)(my)3，即(mxny) 23，mxny.312已知 x，y，z(0 ，) ，且满足 x2y3z 0，则 的最小值为( )y2xzA3
4、 B6C9 D12答案 A13(2017四川成都外国语学校) 若正数 a，b 满足： 1，则 的最小值为( )1a 1b 1a 1 9b 1A16 B9C6 D1答案 C解析 方法一：因为 1，所以 abab，即(a1)(b1) 1，所以 21a 1b 1a 1 9b 1236.1a 1 9b 1方法二：因为 1，所以 abab， b9a 10(b9a)1a 1b 1a 1 9b 1 b 1 9a 9ab a b 1( )1016106.1a 1b方法三：因为 1，所以 a1 ，所以 (b 1) 2 236.1a 1b 1b 1 1a 1 9b 1 9b 1 914(1)当 x1 时，x 的最
5、小值为 _；4x 1(2)当 x4 时，x 的最小值为_4x 1答案 (1)5 (2)163解析 (1)x1，x10.x x1 12 15.4x 1 4x 1 4(当且仅当 x1 .即 x 3 时“”号成立)4x 1x 的最小值为 5.4x 1(2)x4，x13.函数 yx 在3，)上为增函数，4x当 x13 时，y(x1) 1 有最小值 .4x 1 16315若 a0，b0，ab1，则 ab 的最小值为_1ab答案 174解析 ab( )2 ，a b2 14当且仅当 ab 时取等号12yx 在 x(0， 上为减函数1x 14ab 的最小值为 4 .1ab 14 17416已知 ab0，求 a
6、2 的最小值16b（a b）答案 16思路 由 b(ab)求出最大值，从而去掉 b，再由 a2 ，求出最小值64a2解析 ab0，ab0.b(a b) 2 .b （a b）2 a24a 2 a 2 2 16.16b（a b） 64a2 a264a2当 a2 且 ba b，即 a 2 ，b 时等号成立64a2 2 2a 2 的最小值为 16.16b（a b）17(2017江西重点中学盟校联考) 设 x，y 均为正实数，且 ，求 xy 的最小12 x 12 y 13值答案 16解析 由 ，化为 3(2y) 3(2x) (2y)(2x) ，整理为12 x 12 y 13xyxy8.x，y 均为正实数
7、，xyxy82 8，( )22 80，解xy xy xy得 4，即 xy16，当且仅当 xy4 时取等号，xy 的最小值为 16.xy18(2018辽宁抚顺一中月考) 某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心 x(00)的最小值为 244x 3D函数 y23x (x0)的最大值为 244x 3答案 D解析 yx 的定义域为x|x0 ，当 x0 时，有最小值 2，当 x0 时，3x 2 4 ，4x 3x4x 3当且仅当 3x ，即 x 时取“” ，4x 233y2(3x )有最大值 24 ，故 C 项不正确，D 项正确4x 32(2014重庆)若 log4(3a4b)l
8、og 2 ，则 ab 的最小值是( )abA62 B723 3C64 D743 3答案 D解析 因为 log4(3a4b)log 2 ，所以 log4(3a4b)log 4(ab)，即 3a4bab，且ab即 a0，b0 ，所以 1(a0 ，b0)，a b(a b)( )3a 4b0，ab0， ) 4a 3b 4a 3b7 72 74 ，当且仅当 时取等号，选择 D 项4ba 3ab 4ba3ab 3 4ba 3ab3(2016人大附中月考)设 a，b，c 均大于 0，则“abc 1”是“ abc”的1a 1b 1c( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
9、答案 A解析 ，1a 1b 1c bc ca ababc当 abc1 时， (bc)(ca) (ab) abc.bc ca ababc 12故 abc1 abc.1a 1b 1c反过来，若 ab1，c 4，有 abc ，但 abc1，1a 1b 1c“abc1”是“ abc”的充分不必要条件1a 1b 1c4(2017山东师大附中月考) 已知 a，b，cR ，且 ab bcca 1，那么下列不等式中正确的是( )Aa 2b 2c 22 B(abc) 23C. 2 Dabc(abc) 1a 1b 1c 3 13答案 B解析 a 2b 22ab ，b 2c 22bc，c 2a 22ac，三式相加可
10、知 2(a2b 2c 2)2(bc abac)，a 2b 2c 21.a 2b 2c 22ab2bc2ca12.(a bc) 23.5已知 a0，b0，a，b 的等比中项是 1，且 mb ，na ，则 mn 的最小值是( )1a 1bA3 B4C5 D6答案 B解析 由题意知 ab1，则 mb 2b，na 2a，1a 1bmn2(a b)4 4(当且仅当 ab1 时，等号成立) ab6已知 x，y 为正实数，3x2y10，则 W 的最大值为_3x 2y答案 2 5解析 方法一：由 可得 2 ，a b2 a2 b22 3x 2y 2（3x）2 （2y）2 23x 2y 5当且仅当 3x2y，即
11、x ，y 时等号成立53 52方法二：易知 W0，W 23x2y2 102 10( )2( )3x 2y 3x 2y 3x 2y210(3x2y)20，W 2 ，当且仅当 3x2y，即 x ，y 时等号成立553 527已知三个正数 a，b，c 成等比数列，则 的最小值为_a cb ba c答案 52解析 由条件可知 a，b，c0 且 b2ac，即 b ，故 2，当且仅当 abcaca cb 2acb时取等号，令 t，则 yt 在2，) 上单调递增，故其最小值为 2 ，即a cb 1t 12 52 的最小值为 .a cb ba c 528(2018河南郑州外国语学校月考) 某城镇人口第二年比第
12、一年增长 m%，第三年比第二年增长 n%，若这两年的平均增长率为 p%，则 p 与 的大小关系为( )m n2Ap Bpm n2 m n2Cp Dpm n2 m n2答案 C解析 依题意得(1m%)(1 n%)(1p%) 2，所以 1p% （1 m%）（1 n%）1 ，当且仅当 mn 时等号成立，所以 p ，故选 C.1 m% 1 n%2 m% n%2 m n29已知不等式 x25axb0 的解集为x|x4 或 x0 的解集为x|x4 或 x0， 0，所以 f(x)52 9，当且仅当 1 xx 4x1 x 1 xx 4x1 x 1 xx，即 x 时等号成立4x1 x 13所以 f(x)的最小值
13、为 9.10.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽 2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为a m，高度为 b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比现有制箱材料 60 m2，问 a，b 各为多少 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔面积忽略不计)答案 a6 m， b3 m解析 设 y 为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y ，其中 k 是比例系数且 k0.kab依题意要使 y 最小，只需求 ab 的最大值由题设，得 4b2ab2a 60(a0，b0)，即 a2bab30(a
14、0，b0)a2b2 ，2 ab30.2ab 2 ab当且仅当 a2b 时取“”号，ab 有最大值当 a2b 时有 2 ab30，即 b22b150.2 ab解之得 b13，b 25(舍去 )，a2b6.故当 a6 m， b3 m 时经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小11某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6 吨，每吨面粉的价格为 1 800 元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元，每次购买面粉需支付运费 900 元(1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于 210 吨时，其价格可享受 9 折优惠( 即原价
15、的 90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由答案 (1)10 天 (2) 应该接受此优惠条件解析 (1)设该厂应每隔 x 天购买一次面粉，则其购买量为 6x 吨由题意知，面粉的保管等其他费用为 36x6(x1)6261 9x(x1)设每天所支付的总费用为 y1 元，则y1 9x(x1)90061 8001x 9x10 8092 10 80910 989，900x 900x9x当且仅当 9x ，即 x10 时取等号900x所以该厂每隔 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔 35 天购买一次面粉设该厂接受此优惠条件后，每隔 x(x35) 天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为 y2，则y2 9x(x1)90061 8000.90 9x9 729(x35)令 f(x)x (x35)，1x 900x 100xx2x135，则 f(x1)f(x 2)(x 1 )(x 2 )100x1 100x2 .因为 x2x135，（x1 x2）（x1x2 100）x1x2所以 x1x 2100，即 x1x21000.所以 f(x1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x2)所以 f(x)x 在35，)上为增函数100x所以当 x35 时，y 2 有最小值，约为 10 069.7.此时 y210 989，所以该厂应该接受此优惠条件
