1、课时作业 30 等比数列及其前 n 项和一、选择题1(2018东北三省四市联考二模) 等比数列a n中各项均为正数，Sn是其前 n 项和，且满足 2S38a 13a 2，a 416，则 S4( )A9 B15C 18 D30解析：本题考查等比数列的通项及前 n 项和公式设数列a n的公比为 q(q0)，则由条件得Error!解得 q2，a 12，所以 S4 30，故选 D.21 241 2答案：D2(2018福建模拟 )已知递增的等比数列a n的公比为 q，其前n 项和 Sn1C a10,00，q1解析：S nan，且|a n|an1 |，则a na n1 0，则 q (0,1) ， an 1
2、 ana 10)的等比数列an的前 n 项和为 Sn.若 S23a 22，S 43a 42，则 a1( )A2 B1C. D.12 23解析：由 S23a 22，S 43a 42 得 a3a 43a 43a 2，即qq 23q 23，解得 q1(舍)或 q ，将 q 代入 S23a 22 中32 32得 a1 a13 a12，解得 a11，故选 B.32 32答案：B4(2017新课标全国卷) 等差数列 的首项为 1，公差不为an0.若 a2，a 3，a 6 成等比数列，则 前 6 项的和为( )anA24 B3C 3 D8解析：由已知条件可得 a11，d0，由 a a 2a6可得(12d)
3、2(1 d)(15d)，解得 d2.23所以 S661 24.65 22故选 A.答案：A5(2018云南 11 校跨区调研考查) 已知数列a n是等比数列，若 a11，a 33，a 55 依次构成公比为 q 的等比数列，则 q( )A2 B1C 1 D2解析：依题意，注意到 2a3a 1a 5,2a36a 1a 55，即有2(a3 3)(a 11)( a55)，即 a11，a 33 ，a55 成等差数列；又a11， a3 3，a55 依次构成公比为 q 的等比数列，因此有a11a 33a 55(若一个数列既是等差数列又是等比数列， 则该数列是一个非零的常数列)，q 1，选 C.a3 3a1
4、1答案：C6(2018湖南三湘名校联盟三模) 一个等比数列a n的前三项的积为 2，最后三项的积为 4，且所有项的积为 64，则该数列有( )A13 项 B12 项C 11 项 D10 项解析：设首项为 a1，共有 n 项，公比为 q.前三项之积为 a q32，最后三项之积为 a q3n6 4，31 31两式相乘得 a q3(n1) 8，即 a qn1 2，61 21又 a1a1qa1q2a1qn 164，a q 64， 则(a qn1 )n64 2，n1nn 12 212 n64 2，n12，故选 B.答案：B7(2018福州毕业班检测) 设等差数列a n的公差 d0，且a2d，若 ak是
5、a6 与 ak6 的等比中项，则 k( )A5 B6C 9 D11解析：本题考查等差数列、等比数列由 a2a 1dd，得a12d0， 则 ana 1(n1)d(n3)d.又由 ak是 a6与 ak6 的等比中项，得 a a 6ak 6，则(k 3) 2d23d(k 3)d，d0，解得 k9，故2k选 C.本题的突破点是灵活应用等差数列的通项公式答案：C8(2017新课标全国卷) 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯(
6、)A1 盏 B3 盏C 5 盏 D9 盏解析：设塔的顶层的灯数为 a1，七层塔的总灯数为 S7，公比为q，则由题意知 S7381，q2， S7 381，解a11 q71 q a11 271 2得 a13.故选 B.答案：B9(2018湖南省五市十校高三联考) 已知数列a n的前 n 项和SnAq nB( q0)，则 “AB”是“数列 an是等比数列”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：若 AB 0， 则 Sn0，故数列a n不是等比数列；若数列an是等比数列，则 a1AqB，a 2Aq 2Aq，a 3Aq 3Aq 2，由 a3a2，得 AB.故选 B.
7、a2a1答案：B10(2018 陕西省宝鸡市高三质检一) 正项等比数列a n中，a2016a 20152a 2014，若 aman16a ，则 的最小值等于( )214m 1nA1 B.32C. D.53 136解析：先由通项公式列式求公比，再代入已知条件确定 n，m 的大小关系式，最后用基本不等式求最小值a 2014q2a 2014q2a 2014，q 2q20，q2 或 q1( 舍去)，又 a1qm1 a1qn1 16a ，q mn2 16，mn24，m n6，21 ，当且仅当(4m 1n)m n6 16(5 4nm mn) 16(5 24nmmn) 32m4，n2 时等号成立，故选 B.
8、答案：B二、填空题11(2018 合肥检测二) 等比数列a n满足 an0，且 a2a84，则log2a1log 2a2log 2a3log 2a9_.解析：本题考查等比数列由题意可得 a2a8a 4，a 50，所以25a52， 则原式log 2(a1a2a9)9log 2a59.答案：912(2017 江苏卷)等比数列a n的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知 S3 ，S 6 ，则 a8_.74 634解析：设a n的首项为 a1，公比为 q，则Error!解得Error!所以 a8 272 532.14答案：3213(2018 陕西省高三质检一) 已知数列a n，a n0，它的前
9、n项和为 Sn，且 2a2 是 4a1 与 a3 的等差中项若a n为等比数列，a1，则 S7_.解析：本题考查等比数列的前 n 项和公式、等比数列的应用根据题意可得 4a24a 1a 3，设a n的公比为 q，则 4a1q4a 1a 1q2，整理得 q24q40，解得 q2，所以 S7 127.11 271 2答案：12714若等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 5，则S4S2_.S8S4解析：设数列a n的公比为 q，由已知得1 5,1q 25，所以S4S2 a3 a4a1 a2q24， 1 1q 411617.S8S4 a5 a6 a7 a8a1 a2 a3 a4答案：17能力挑战
10、15(2017 新课标全国卷文科) 已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，等比数列b n的前 n 项和为 Tn，a 1 1，b 11，a 2b 22.(1)若 a3b 35，求b n的通项公式；(2)若 T321，求 S3.解析：设a n的公差为 d，bn的公比为 q，则 an1(n1)d，bnq n1 .由 a2b 22 得 dq3.(1)由 a3b 35 得 2dq 26.联立和解得Error!(舍去)，Error!因此b n的通项公式为 bn2 n1 .(2)由 b11 ，T321 得 q2q200.解得 q5 或 q4.当 q5 时，由得 d8，则 S321.当 q4 时，由得 d1，则 S36.
