1、5.3 平面向量的数量积及其应用考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.数量积的定义 理解2017浙江,10;2016天津,7;2015湖北,11;2014课标,3选择题填空题 2.平面向量的长度问题 掌握2017课标全国,13;2017浙江,15;2016北京,4;2014浙江,8选择题填空题 3.平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用(1)平面向量的数量积理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量的数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(2)向量的应用
2、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题;会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题掌握2017课标全国,12;2017山东,12;2016山东,8;2015重庆,6;2014重庆,4选择题填空题 分析解读 1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.五年高考考点一 数量积的定义1.(2017浙江,10,5 分)如图,已知平面四边形 ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与 BD交于点 O.记 I1=,I2=,
3、I3=,则( )A.I1=.若 n(tm+n),则实数 t的值为( )A.4 B.-4C. D.-答案 B2.(2015山东,4,5 分)已知菱形 ABCD的边长为 a,ABC=60,则=( )A.-a2 B.-a2C.a2 D.a2答案 D3.(2015福建,9,5 分)已知,|=,|=t.若点 P是ABC 所在平面内的一点,且=+,则的最大值等于( )A.13 B.15 C.19 D.21答案 A4.(2017山东,12,5 分)已知 e1,e2是互相垂直的单位向量.若 e1-e2与 e1+e 2的夹角为 60,则实数 的值是 . 答案 教师用书专用(58)5.(2015重庆,6,5 分)
4、若非零向量 a,b满足|a|=|b|,且(a-b)(3a+2b),则 a与 b的夹角为( )A. B. C. D.答案 A6.(2015四川,7,5 分)设四边形 ABCD为平行四边形,|=6,|=4.若点 M,N满足=3,=2,则=( )A.20 B.15 C.9 D.6答案 C7.(2014重庆,4,5 分)已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,则实数 k=( )A.- B.0 C.3 D.答案 C8.(2014安徽,15,5 分)已知两个不相等的非零向量 a,b,两组向量 x1,x2,x3,x4,x5和 y1,y2,y3,y4,y5均由 2个 a和
5、 3个 b排列而成.记 S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5,Smin表示 S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). S 有 5个不同的值若 ab,则 Smin与|a|无关若 ab,则 Smin与|b|无关若|b|4|a|,则 Smin0若|b|=2|a|,S min=8|a|2,则 a与 b的夹角为答案 三年模拟A组 20162018 年模拟基础题组考点一 数量积的定义1.(2018北京朝阳期中,7)如图,在直角梯形 ABCD中,ABCD,ADDC,E 是 CD的中点,DC=1,AB=2,则=( )A.5 B.-5 C.1 D.-1答案 D2
6、.(2017福建龙岩二模,7)已知向量与的夹角为 60,且|=3,|=2,若=m+n,且,则实数的值为( )A. B. C.6 D.4答案 A3.(2017江西抚州七校联考,7)在 RtAOB 中,=0,|=,|=2,AB 边上的高线为 OD,点 E位于线段 OD上,若=,则向量在向量上的投影为( )A. B.1C.1或 D.或答案 D4.(2017广东惠州调研,13)已知|a|=4,|b|=2,且 a与 b的夹角为 120,则(a-2b)(a+b)= . 答案 12考点二 平面向量的长度问题5.(2018全国名校大联考,10)设向量 a,b,c满足|a|=|b|=2,ab=-2,=60,则|
7、c|的最大值等于( )A.4 B.2 C. D.1答案 A6.(2017福建漳州八校 4月联考,5)在ABC 中,|+|=|-|,|=|=3,则的值为( )A.3 B.-3 C.- D.答案 D7.(2017湖南永州一模,11)已知向量 a与向量 b的夹角为,且|a|=|b|=2,若向量 c=xa+yb(xR 且 x0,yR),则的最大值为( )A. B. C. D.3答案 A8.(2016江西赣南五校二模,6)ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,2=+且|=|,则向量在方向上的投影为( )A. B. C.- D.-答案 A考点三 平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用9.(2018福
8、建三明一中期中,8)已知 O是ABC 所在平面上一点,满足| 2+|2=|2+|2,则点 O( )A.在过点 C且与 AB垂直的直线上B.在A 的平分线所在直线上C.在边 AB的中线所在直线上D.以上都不对答案 A10.(2017豫南九校 4月联考,4)已知向量 a=(m,2),b=(2,-1),且 ab,则等于( )A.- B.1 C.2 D.答案 B11.(人教 A必 4,二,2-4A,7,变式)若 e1,e2是平面内夹角为 60的两个单位向量,则向量 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为( )A.30 B.60 C.90 D.120答案 D12.(2017河北衡水中学模考,15
9、)已知在ABC 所在平面内有两点 P、Q,满足+=0,+=,若|=4,|=2,S APQ =,则的值为 . 答案 4B组 20162018 年模拟提升题组(满分:40 分 时间:35 分钟)一、选择题(每小题 5分,共 20分)1.(2018广东广州华南师大附中,10)如图,半径为 1的扇形 AOB中,AOB=,P 是弧 AB上的一点,且满足 OPOB,M,N 分别是线段OA,OB上的动点,则的最大值为( )A. B. C.1 D.答案 C2.(2018四川成都七中期中)在ABC 中,BC=5,G,O 分别为ABC 的重心和外心,且=5,则ABC 的形状是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形C
10、.直角三角形 D.上述三种情况都有可能答案 B3.(2017湖南郴州质量检测,9)已知 A,B是单位圆 O上的两点(O 为圆心),AOB=120,点 C是线段 AB上不与 A、B 重合的动点,MN是圆 O的一条直径,则的取值范围是( )A. B.-1,1)C. D.-1,0)答案 A4.(2017湖北黄冈二模,10)已知平面向量 a,b,c满足|a|=|b|=1,a(a-2b),(c-2a)(c-b)=0,则|c|的最大值与最小值的和为( )A.0 B. C. D.答案 D二、填空题(每小题 5分,共 10分)5.(2017河南郑州一中模拟,14)如图,RtABC 中,C=90,其内切圆切 A
11、C边于 D点,O 为圆心.若|=2|=2,则= . 答案 -36.(2016福建福州 3月质检,14)已知在ABC 中,AB=4,AC=6,BC=,其外接圆的圆心为 O,则= . 答案 10三、解答题(共 15分)7.(2018湖南中原名校第四次质量考评,17)已知两个不共线的向量 a,b满足 a=(1,),b=(cos ,sin ),R.(1)若 2a-b与 a-7b垂直,求|a+b|的值;(2)当 时,若存在两个不同的 ,使得|a+b|=|ma|成立,求正数 m的取值范围.解析 (1)由条件知|a|=2,|b|=1,又 2a-b与 a-7b垂直,所以(2a-b)(a-7b)=8-15ab+
12、7=0,所以 ab=1.所以|a+b| 2=|a|2+2ab+|b|2=4+2+1=7,故|a+b|=.(2)由|a+b|=|ma|,得|a+b| 2=|ma|2,即|a| 2+2ab+3|b|2=m2|a|2,即 4+2ab+3=4m2,7+2(cos +sin )=4m 2,故 4sin=4m2-7.由 ,得 +,又 要有两解,结合三角函数图象可得,64m 2-74,即m 2,因为 m0,所以m.故正数 m的取值范围为.C组 20162018 年模拟方法题组方法 1 求向量长度的方法1.(2018四川双流中学期中,9)已知平面向量,满足|=|=1,=-,若|=1,则|的最大值为( )A.-
13、1 B.-1 C.+1 D.+1答案 D2.(2017河南高三 4月质检,9)在ABC 中,BAC=60,AB=5,AC=4,D 是 AB上一点,且=5,则|等于( )A.6 B.4 C.2 D.1答案 C3.(2017广东五校协作体联考,15)已知 a,b是两个互相垂直的单位向量,且 ca=cb=1,则对任意的正实数 t,的最小值是 .答案 2方法 2 求向量夹角问题的方法4.(2018云南玉溪模拟,4)已知向量 a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量 a,b的夹角余弦值为( )A. B.- C. D.-答案 C5.(2017河南天一大联考(一),7)已知|a|=,ab=-,且(a-b
14、)(a+b)=-15,则向量 a与 b的夹角 为( )A. B. C. D.答案 C6.(2017河南百校联盟 4月联考,14)已知非零向量 a,b满足:2a(2a-b)=b(b-2a),|a-b|=3|a|,则 a与 b的夹角为 . 答案 90方法 3 数形结合的方法和方程与函数的思想方法7.(2017广东七校 3月联考,11)在等腰直角ABC 中,ABC=90,AB=BC=2,M,N 为 AC边上的两个动点(M,N 不与 A,C重合),且满足|=,则的取值范围为( )A. B. C. D.答案 C8.(2018北京西城月考,16)如图,已知边长为 4的正方形 ABCD,E是 BC边上一动点(与 B、C 不重合),连接 AE,作 EFAE 交BCD的外角角平分线于 F.设 BE=x,设 f(x)=,则函数 f(x)的值域是 . 答案 (0,49.(2017湖南长郡中学六模,14)如图,点 O为ABC 的重心,且,|=6,则的值为 . 答案 72
