1、数独数独（，Sudoku）是一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏。玩家需要根据 99 盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均含 1-9，不重复。 每一道合格的数独谜题都有且仅有唯一答案，推理方法也以此为基础，任何无解或多解的题目都是不合格的。起源既然“数独”有一个字是“数” ，人们也往往会联想到数学，那就不妨从大家都知道的数学家欧拉说起，但凡想了解数独历史的玩家在网络、书籍中搜索时，共同会提到的就是欧拉的“拉丁方块（Latin square） ”，如下图：拉丁方块的规则：每一行（Row） 、每一列（Column）均含 1-N（N 即盘面的规格） ，
2、不重复。这与前面提到的标准数独非常相似，但少了一个宫的规则。其实说到这里，有些人会想到 易经当中的洛书九宫图：洛书九宫图横、竖、斜方向的三数之和均是 15，相信大家小学时候也都算过这个题目。所以也有人说数独的起源在中国。这点我们不得而知，但可以肯定的是，如今数独热潮已在全球蔓延。组成元素1.九宫格（Grid）水平方向有九横行，垂直方向有九纵列的矩形，画分八十一个小矩形，称为九宫格(Grid)，如图一所示，是数独(Sudoku)的作用范围。数独元素 - 九宫格12.单元(Unit)画分2.1 水平方向的每一横行有九格，每一横行称为行(Row)，编号如图二所示。数独元素 - 单元2.2 垂直方向的
3、每一纵列有九格，每一纵列称为列(Column)，编号如图三所示。数独元素 - 列2.3 三行与三列相交之处有九格，每一单元称为小九宫(Box、Block)，简称宫，如图四用粗线标示者。 （在 killer 数独中，宫往往用单词Nonet 表示）数独元素 - 宫2.4 上述行、列、宫统称为单元(Unit)2.5 由三个连续宫组成大区块(Chute） ，分大行区块(Floor)及大列区块(Tower)。第一大行区块：由第一宫、第二宫、第三宫组成。第二大行区块：由第四宫、第五宫、第六宫组成。第三大行区块：由第七宫、第八宫、第九宫组成。第一大列区块：由第一宫、第四宫、第七宫组成。第二大列区块：由第二宫
4、、第五宫、第八宫组成。第三大列区块：由第三宫、第六宫、第九宫组成。3.格位(Cell)编号格位按所处的行列单元赋予坐标值，如图五所示。数独元素 - 格位坐标有多种标示法，有横行 AI，纵列 19（如中国） ，也有横行 19，纵列 AI（如日本） ，这两种标示容易混淆，故最被广泛使用的是横行 R1R9，纵列 C1C9 的标示法。4.提示数(Clue)在九宫格的格位填上一些数字，做为填数判断的线索(Hint)，称为提示数(Clue)，如图六所示。数独元素 - 提示数近代发展20 世纪 70 年代，人们在美国纽约的一本益智杂志Math Puzzles and Logic Problems上发现了这个
5、游戏，当时被称为填数字（Number Place） ，这也是目前公认的数独最早的见报版本。1984 年一位日本学者将其介绍到了日本，发表在 Nikoli 公司的一本游戏杂志通信上，当时起名为“Suuji wa dokushin ni kagiru”，后来觉得这个名字太长，就改名为“sudoku”，其中“su”是数字的意思， “doku”的单一的意思。这个名字也是目前国际上对数独的比较通用的叫法。后来一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（Wayne Gould）在 1997 年 3 月到日本东京旅游时，无意中发现了。他首先在英国的泰晤士报上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之后他用
6、了 6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上（这个网站也就是著名的数独玩家论坛） ，后来因一些原因，网站被关闭，幸好数独大师Glenn Fowler 恢复了数据，玩家论坛有了新处所。在 90 年代国内就有部分的益智类书籍开始刊登，南海出版社在 2005 年出版了数独 1-2 ，随后日本著名数独制题人西尾彻也的数独挑战也由辽宁教育出版社出版。现在北京晚报 、 扬子晚报 、 羊城晚报 、新民晚报 、 成都商报等等报纸媒体也先后刊登了数独游戏。解题方法解题的本质有二：隐性唯一解(Hidden Single)及显性唯一(Naked Single)，他们的名称是在候选数法的基础上命名的。根据解题本质发展
7、出来的解题方法有二种：排除法1.排除法：用数字去找单元内唯一可填空格，称为排除法，数字可填唯一空格称为摒余解(隐性唯一解)。根据不同的作用范围，摒余解可分为下述三种：1.1 数字可填唯一空格在宫单元称为宫摒余解(Hidden Single in Box)，这种解法称宫排除法。1.2 数字可填唯一空格在行单元称为行摒余解(Hidden Single in Row)，这种解法称行排除法。1.3 数字可填唯一空格在列单元称为列摒余解(Hidden Single in Column)，这种解法称列排除法。1.4 行摒余解和列摒余解合称行列摒余解 (Hidden Single in Line)。1.5
8、得到行列摒余解的方法称为行列排除法。余数法Peer 等位群格位2.余数法：用格位去找唯一可填数字，称为余数法，格位唯一可填数字称为唯余解(Naked Single)。余数法是删减等位群格位(Peer)已出现的数字的方法，每一格位的等位群格位有 20 个，如图七所示。辅助解法3.上述方法称为基础解法(Basic Techinques)，其他所有的解法称为进阶解法(Advanced Techniques)，是在补基本解法之不足，所以又称辅助解法。进阶解法包括：区块摒除法（Locked Candidates） 、数组法（Subset） 、四角对角线（X-Wing） 、唯一矩形（Unique Rect
9、angle） 、全双值坟墓（Bivalue Universal Grave） 、单数链(X-Chain)、异数链(XY-Chain)及其他数链的高级技巧等等。目前已发展出来的方法有近百种之多。其中前两种加上基础解法为一般数独书中介绍并使用的方法，同时也是大部分人可以理解并掌握的数独解题技法。4.通过基础解法出数只需一种解法，摒除法或唯余法，超出此范围而需要施加进阶解法时，解题点需要进阶解法协助基础解法来满足隐性唯一或显性唯一才能出数，该解题点的解法需要多个步骤协力完成，因此称做组合解法。5.解题必须以逻辑为依归，猜测的方法被称为暴力型解法(Brute Force)，这不是提倡数独的本意。解题手
10、法依解题填制的过程可区分为直观法与候选数法。1.直观法就是不做任何记号，直接从数独的盘势观察线索，推论答案的方法。2.候选数法就是删减等位群格位已出现的数字，将剩余可填数字填入空格做为解题线索的参考，可填数字称为候选数(Candidates，或称备选数)。直观法和候选数法只是填制时候是否有注记的区别，依照个人习惯而定，并非鉴定题目难度或技巧难度的标准，无论是难题或是简单题都可上述方法填制，一般程序解题以候选数法较多。难度划分影响数独难度的因素很多，就题目本身而言，包括最高难度的技巧、各种技巧所用次数、是否有隐藏及隐藏的深度及广度的技巧组合、当前盘面可逻辑推导出的出数个数等等。对于玩家而言，了解
11、的技巧数量、熟练程度、观察力自然也影响对一道题的难度判断。目前市面上数独刊物良莠不齐，在书籍、报纸、杂志中所列的难度或者大众解题时间纯属参考，常有难度错置的情况出现，所以不必特别在意。网络上有很多数独难度的分析软件，比较著名的是 Nicolas Juillerat 开发的 Sudoku Explainer 和 Bernhard Hobiger 开发的 Hodoku，它们都是免费的软件。因为每种软件的都有不同的解题策略，所以也只能作为难度的大致界定，无法真正的解析出难度的内涵。如果一道题目的提示数少，那么题目就会相对难，提示数多则会简单，这是一般人判断难易的思维模式，但数独谜题提示数的多寡与难易
12、并无绝对关系，多提示数比少提示数难的情况屡见不鲜，同时也存在增加提示数之后题目反而变难的情形，即使是相同提示数（甚或相同谜题图形）也可以变化出各式各样的难度。提示数少对于出题的困难度则有比较直接的关系，以 20-35 提示数而言，每少一个提示数，其出题难度会增加数倍，在制作谜题时，提示数在22 以下就非常困难，所以常见的数独题其提示数在 23-30 之间，其原因在于制作比较不困难，可以设计出比较漂亮的图形（Pattern） ，另外这个提示数范围的谜题变化多端是一个重要因素。99 标准数独终盘数量数独中的数字排列千变万化，那么究竟有多少种终盘的数字组合呢？6,670,903,752,021,07
13、2,936,960（约有 6.6710 的 21 次方）种组合，2005 年由 Bertram Felgenhauer 和 Frazer Jarvis 计算出该数字，并将计算方法发布在他们网站上，如果将等价终盘（如旋转、翻转、行行对换，数字对换等变形）不计算，则有5,472,730,538 个组合。数独终盘的组合数量都如此惊人，那么数独题目数量就更加不计其数了，因为每个数独终盘又可以制作出无数道合格的数独题目。最少提示数的标准数独目前（截止 2011 年）发现的最少提示数 99 标准数独为 17 个提示，截止编辑此词条时间（2011.11.24 16:14） ，共发现了非等价17 提示数谜题
14、49151 题，此数量仍在缓慢上升中，如果你先发现了17 提示数的题目，可以上传至“17 格数独验证”网站 2，当然你也可以在这里下载这 49151 题。关于是否有 16 提示数的合格题目，网络上也争论很久，有发现16 提示数双解的，但是仍未发现唯一解。国外有网友给出了关于为什么至少需要 17 提示的证明，受到了大家的质疑，比如 99 对角线数独（在标准数独规则基础上，两条大对角线的数字不重复）的最小提示数为 12，按照他的理论则需要更多的提示数。另外在 2006 年 Gary McGuire3撰写了程式，试图通过暴力法来证明 16 提示数的数独是否存在，方法很简单，既然 Bertram Fe
15、lgenhauer 和 Frazer Jarvis 已经计算出不等价的终盘总数为5,472,730,538 个，那么将每个终盘是 16 提示的情况都跑一遍，如果没有找到 16 提示的数独，那么就可以证明最少提示数为 17 个。但因为是暴力方法，对于一台单核的电脑来说需要跑 30 万年才能跑出结果。台湾的吴毅成教授和他的团队将 Gary McGuire 的程式加以改进，使得效率大幅提升，大约 2417 年即可完成演算。并放在BOINC（伯克利开放式网络计算平台）上让世界加入 BOINC 的电脑一同演算，令人欣喜的是，截至编辑本词条的时间（2012 年 4 月 18日）已经完成了 51.73%4。
16、Gary McGuire 的团队在 2009 年设计了新的算法，利用 Deadly Pattern 的思路，花费 710 万小时 CPU 时间后，于 2012 年 1 月 1 日提出了 99 标准数独不存在 16 提示唯一解的证明，继而说明最少需要 17 个提示数。并将他们的论文以及源代码更新在 2006 年的页面上。出题方法标准数独的出题方法大致可分为 2 种：1.从有到无 挖洞法先生成一个终盘，然后挖去部分数字。2.从无到有 填数法在一个空盘面上填上部分数字。值得一提的是，2007 年日本NPGenerator 软件的网站提出了一种边推理边出题的出题法，可以手工打造出漂亮图案的数独题目，有
17、兴趣出题的可以试试。变型数独数独 5发展到现在，出现了越来越多的变型（Variants） ，按照规则划分则成百上千，各国的数独爱好者也不断制作出新的变型。下面列出最常见的三种变型：对角线数独1.对角线数独（Diagonal Sudoku、Sudoku-X）：在标准数独规则基础上，两条大对角线的数字不重复。对角线数独锯齿数独2.锯齿数独（Jigsaw Sudoku）：相对标准数独而言，宫变成了不规则的。锯齿数独Killer 数独3.Killer 数独在标准数独规则的基础上，每个虚线框左上角的数字表示虚线框内所有数字之和，每个虚线框内数字无重复。杀手数独同时这 3 种基本变型也作为其他变型数独的雏
18、形慢慢延伸开来，比如对角线数独引发了额外区域等，锯齿数独打破了宫是方方正正的定式，killer 数独更是引发了更多计算类的数独。纸笔谜题谜题（Puzzle）：排除文化差异对做题者的影响，只用数字和图形表示的逻辑推理游戏。数独是谜题中的一个成员，由于其规则简单、种类众多从而从众多谜题脱颖而出，成为大众熟知的数字谜题。不过除了数独以外，还有不少谜题也非常出色，也有众多的拥护者，而且与数独有千丝万缕的关系。数独爱好者同样不能错过这些优秀的逻辑推理游戏。下面简单介绍几类谜题：数和（Kakuro）：与杀手数独很像的一类谜题，规则要求同行、同列（同一段）数字不能重复，且每段数字之和等于左边和上边的提示数字
19、。数图 6（Nonograms/Griddlers)：根据盘面周围的数字提示，把盘中涂成符合条件的图案，很像“十字绣” 。数回（Slither Link）：游戏由 0,1,2,3 四个数字组成。每一个数字，代表四周划线的数目，并在最后成为一个不间断、不分岔的回路。数墙（Nurikabe）：数墙的世界，是一个非黑即白的二元世界；在游戏中，你要决定的是，那些格子需要涂黑，那一些应该留白。数连（Number Link）：与数独一样，数连是一个简单明快的游戏。你只需要把属于相同数字的同伴，以线连接起来。不过，这个游戏看起来非常简单，实际上是很有深度的。国内外赛事世界数独锦标赛：由世界智力谜题联合会组织
20、的国际性最高水准数独赛事，该赛事每年举办一次，由不同的会员国轮流申请举办。2006 年的首届到今年（2012 年）将举办第七届。每年由世智联在各国的唯一授权组织选拔国家队参加。北京国际数独大奖赛：由北京广播电视台主办的一项国际数独赛事，该赛事奖金较高，也吸引了国际上众多高手踊跃参与，给国内高手提供了一个可以与国外高手同场竞技的平台。2011 年举办的首届，今年（2012 年）5 月将在北京举办第二届，目前国内参赛的选手均为以往进入过数独国家队或在国内选拔赛中名列前茅者。中国数独选拔赛：由国内的世智联授权组织每年举办一次，目的是选拔出当年的数独高手组队参加一年一度的世界数独锦标赛。该比赛不设置门
21、槛，无论新人还是老手均可参加。具体的时间和地点请关注官方的数独选拔赛通知。数独的解法1.唯一解法如果某行已填数字的单元格达到 8 个,那么该行剩余单元格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字；同理，如果某列已填数字的单元格达到 8 个,那么该列剩余单元格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字；如果某九宫格已填数字的单元格达到 8 个,那么该九宫格剩余单元格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字。这应该算是直观法中最简单的方法了。基本上只需要看谜题，推理分析一概都用不上，这是因为要使用它所需满足的条件十分明显。同样，也正是因为它简单，所以只能处理很简单的谜题，或是在处理较复杂谜题的后期才用得上。
22、1 2 3 4 5 6 7 8 9A 8 1 9 3B 7 6 1 5 9 8 2 4C 9 1 8 7 5 6D 1 7 8 4 3 9E 3 8 9 1 4 F 5 4 9 7 6 8 1G 2 3 H 1 6 8I 3 8 1 如左图，观察行 B，我们发现除了 B3 单元格以外其余的八个单元格已经填入了 1、2、4、5、6、7、8、9，还有 3 没有填写，所以 3 就应该填入 B3 单元格。这是行唯一解法。 1 2 3 4 5 6 7 8 9A 5 1 6 4 2 B 2 6 7 3 9 1 8C 1 9 2 6 D 7 2 6 3 1 9E 6 1 4 9 7 2F 9 2 7 1 6
23、 G 6 4 2 7 1H 2 5 7 1 6 9 3 I 1 8 4 3 2 7 5 9 6如左图，观察第 7 列，我们发现除了 F7 单元格以外其余的八个单元格已经填入了 1、2、3、4、5、6、7、9，还有 8 没有填写，所以 8就应该填入 F7 单元格。这是列唯一解法。 1 2 3 4 5 6 7 8 9A 8 1 9 3B 7 6 3 1 5 9 8 2 4C 9 1 3 8 7 5 6D 1 7 8 5 6 4 2 3 9E 3 8 9 1 4 7F 5 4 9 7 2 3 6 8 1G 2 3 H 1 6 8I 3 8 1 如左图，观察 D7-F9 这个九宫格，我们发现除了 E7
24、 单元格以外其余的八个单元格已经填入了 1、2、3、4、6、7、8、9，还有 5 没有填写，所以 5 就应该填入 E7 单元格。这是九宫格唯一解法。 单元唯一法在解题初期应用的几率并不高，而在解题后期，随着越来越多的单元格填上了数字，使得应用这一方法的条件也逐渐得以满足。2.基础摒弃法基础摒除法是直观法中最常用的方法，也是在平常解决数独谜题时使用最频繁的方法。单元排除法使用得当的话，甚至可以单独处理中等难度的谜题。使用单元排除法的目的就是要在某一单元（即行，列或区块）中找到能填入某一数字的唯一位置，换句话说，就是把单元中其他的空白位置都排除掉。那么要如何排除其余的空格呢？当然还是不能忘了游戏规
25、则，由于 1-9 的数字在每一行、每一列、每一个九宫格都要出现且只能出现一次，所以：如果某行中已经有了某一数字，则该行中的其他位置不可能再出现这一数字；如果某列中已经有了某一数字，则该列中的其他位置不可能再出现这一数字；如果某区块中已经有了某一数字，则该区块中的其他位置不可能再出现这一数字。基础摒除法可以分为行摒除、列摒除和九宫格摒除。1 2 3 4 5 6 7 8 9A 8 7 6 9 3 4 2 5 1B 1 9 2 7 6 5 4 3 8C 4 5 3 2 1 8 9 7 6D 2 8 9 E 2 8 3 4F 3 8 5 G 6 2 7H 3 2 5 9I 9 6 3 2 如左图，观察
26、 D1-F3 这个九宫格。由于 I1 格有数字 9，所以第 1 列其它所有单元格都不能填入 9；由于 B2 格有数字 9，所以第 2 列其它所有单元格都不能填入 9；由于 D8 格有数字 9，所以行 D 其它所有单元格都不能填入 9。这样，D1-F3 这个九宫格内只有 E3 单元格能够填入数字 9。所以 E3 单元格的答案就是 9。 1 2 3 4 5 6 7 8 9A 5 2 9 B 3 5 1 6C 4 3 9 5D 6 3 8 E 2 6 9 5 4 F 1 2 5 6 G 7 6 3 H 2 3 7 6 I 4 3 5 如左图，观察行 H。由于 C3 格有数字 4，所以第 3 列其他所
27、有单元格不能填入数字 4；由于 E8 格有数字 4，所以第 8 列其他所有单元格不能填入数字 4；由于 I4 格有数字 4，所以 G4-I6 这个九宫格内其他所有单元格不能填入数字 4。这样行 H 中能够填入数字 4 的单元格只有 H9。所以 H9 单元格的答案就是 4。 1 2 3 4 5 6 7 8 9A 8 2 7 5 9 B 1 2 C 3 2 8 D 2 8 7 1 9E 1 8 7 4 6 F 9 5 1 7 G 2 5 3 9 H 3 4 I 3 7 9 5 如左图，观察第 7 列。由于 B2 单元格有数字 1，所以行 B 其他所有单元格都不能填入 1；由于 F4 单元格有数字
28、1，所以行 F 其他所有单元格都不能填入 1。这样第 7 列只有 A7 单元格能够填入数字 1。所以 A7 单元格的答案是 1。 通过上面的示例，可以看到，要对九宫格使用基础摒除法，需要观察与该九宫格相交的行和列。要对行使用基础屏除法，需要观察与该行相交的九宫格和列。要对列使用基础摒除法，需要观察与该列相交的九宫格和行。 在实际解题过程中，行，列和九宫之间的关系并不象上面这些图中所示的那么明显，所以需要一定的眼力和细心观察。一般来说，先看哪个数字在谜题中出现得最多，就从哪个数字开始下手，找到还未填入这个数字的单元（行，列或九宫格），利用已填入该数字的单元格与单元之间的关系，看能不能排除一些不可
29、能填入该数字的位置，直到剩下唯一的位置。如果害怕搞不清已经处理过哪些数字的话，可以从数字 1 开始，从左上角的九宫格开始一直检查到右下角的九宫格，看能不能在这些九宫格中应用单元排除法。然后测试数字 2，以此类推。3.唯余解法唯余解法是直观法中较不常用的方法。虽然它很容易被理解，然而在实践中，却不易看出能够使用这个方法的条件是否得以满足，从而使这个方法的应用受到限制。与唯一解法相比，唯余解法是确定某个单元格能填什么数的方法，而唯一解法是确定某个数能填在哪个单元格的方法。另外，应用唯一解法的条件十分简单，几乎一目了然。1 2 3 4 5 6 7 8 9A 7 8 2 4 B 8 6 3 7 5C
30、9 4 7 2 8D 7 8 5 E 8 9 1 5 7F 7 9 8 1 G 7 6 9 5 3 8 H 5 8 7 3 1 4 I 9 3 6 4 2 8 7 5 1如左图，观察 G9 单元格。由于行 G 已经填入 3、5、6、7、8、9，所以 G9 单元格不能再填入这六个数字；又由于第 9 列已经填入1、5、7、8，所以 G9 单元格不能再填入这四个数字；由于 G7-I9 九宫格内已经填入 1、3、4、5、7、8，所以 G9 单元格不能再填入这六个数字。综合来看，就说明 G9 单元格不能填入1、3、4、5、6、7、8、9 这八个数字，那样 G9 单元就只能填写 2，所以 G9 单元格的答
31、案是 2。 总结一下，就是如果某一单元格所在的行，列及区块中共出现了 8 个不同的数字，那么该单元格可以确定地填入还未出现过的数字。 怎么样，很简单吧，但在实践中却不那么容易识别。 一般来说，只有在使用基本的排除方法都失效的情况下，才试着使用这个方法来解题。 4.区块摒弃法区块摒除法是直观法中进阶的技法。虽然它的应用范围不如基础摒除法那样广泛，但用它可能找到用基础摒除法无法找到的解。有时在遇到困难无法继续时，只要用一次区块摒除法，接下去解题就会势如破竹了。 当某数字在某个九宫格中可填入的位置正好都在同一行上，因为该九宫格中必须要有该数字，所以这一行中不在该九宫格内的单元格上将不能再出现该数字。
32、当某数字在某个九宫格中可填入的位置正好都在同一列上，因为该九宫格中必须要有该数字，所以这一列中不在该九宫格内的单元格上将不能再出现该数字。当某数字在某行中可填入的位置正好都在同一九宫格上，因为该行中必须要有该数字，所以该九宫格中不在该行内的单元格上将不能再出现该数字。当某数字在某列中可填入的位置正好都在同一九宫格上，因为该列中必须要有该数字，所以该九宫格中不在该列内的单元格上将不能再出现该数字。区块摒除法实际上是利用区块与行或列之间的关系来实现的，这一点与基础摒除法颇为相似。然而，它实际上是一种模糊排除法，也就是说，它并不象基础摒除法那样利用谜题中现有的确定数字对行，列或九宫格进行排除，而是在不确定数字的具体位置的情况下进行排除的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9A 3 8 7 B 1 5 8 C 9 5 3 1 8D 1 2 9 8 6 E 8 F 3 9 8 2G 4 9 5 8 3 6 1H 8 3 5 7 6 I 4 9 8 3 5如左图，能否判断 H6 单元格应该填入什么数字？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9A 3 8 7 B 1 5 8 C 9 5 3 1 8
