1、- 1 -北师大高中数学必修四知识点一一一 三角函数 正 角 :按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角1、 任 意 角 负 角 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与 x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上， 这 个角不属于任何象限，叫做轴线角。第一象限角的集合为 3603609,kkk第二象限角的集合为 918第三象限角的集合为 18270,kkk第四象限角的集合为 3602736终边在 轴上的角的集合为x,k终边在 轴上的角的集合为y
2、1890k终边在坐标轴上的角的集合为 ,3、与角 终边相同的角，连同角 在内，都可以表示为集合 Zk,360|4、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是 rl lr（2）度数与弧度数的换算： rad，1 rad180 185730.)8(（3）若扇形的圆心角为 （ 是角的弧度数），半径 为 ，则 ：r弧长公式： ；扇形面积：rl| 2|2lS5、三角函数:（1）定义: 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(u,v)，那么 v 叫做 的正弦，记作 sin,即 sin= v; u
3、叫做 的余弦，记作 cos，即 cos=u; 当 的终边不在 y 轴上时， 叫P(u,v)yxo- 2 -做 的正切，记作 tan, 即 tan= .uv设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐 标是 ，它与原点的距离是 ，,xy20rOPxy则 ， ，sinrcosxtany（2）三角函数值在各象限的符号：口诀：第一象限全为正；二正三切四余弦.（3）特殊角的三角函数值的角度034560912035108的弧度 6346sin21222co310131tan03不存在 30的角度 21524071506的弧度67472sin2231230cos30231tan13不存在 3106、三角
4、函数的诱导公式：， ， 1si2sinkco2cosktan2tankk口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等， ， inittP(x,y)yxosinxy+_ _O xy+_ cosO tanxy+_O- 3 -， ， 3sinsicocostantan， ， 4ns， ， 5si2ic2csta2ta口诀：函数名称不变，正负看象限， ， 6sinossintcot， ， 7ic2i2tat2口诀：正弦与余弦互换，正负看象限7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xk值域值域： 1,当 时，2xk；当may2时， kin1值域： 1,当
5、时， 2xk；当may时， kin1值域： R既无最大值也无最小值周期性是周期函数；周期为six且 ；2,TZ0k最小正周期为是周期函数；周期cosx为 且 ；2,TZ0k最小正周期为是周期函数；周tanyx期为 且,TkZ；最小正周期为奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性在 2,2k在 上2,kk在 ,2k- 4 -上是增函数；在k32,2上是减函数k是增函数；在 2,k上是减函数k上是增函数k对称性对称中心 ,0k对称轴 2x对称中心 ,02kk对称轴 x对称中心 ,02k无对称轴8、函数 的相关知识 ：)0,()sin(AbAy（1） 的图象与 xysin图像的关系：x振幅 变换： ysi
6、 xAysin周期 变换： xin i相位 变换： ysi )sin(xy平移变换： )in(xA ibA先平移后伸缩：函数 的图象整体向左（ ）或向右（ ）平移 个单位，得siy00到函数 的图象；再将函数 的图象上每个点的横坐标变为原来sinyxsinyx的 倍，纵坐标 不变，得到函数 的图象；再将函数 的图象1sisinyx上每个点的纵坐标变为原来的 倍，横坐 标不变，得到函数 的图象；再将AA函数 的图象整体向上（ ）或向下（ ）平移 个单位，得到函数sinyx0b0bbA先伸缩后平移：函数 的图象上每个点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函sinyx 1图象整体向左（ ）或向右
7、（ ）平移 个单位00图象上每个点的横坐标不变，纵坐 标变为原来的 A 倍图象上每个点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变1图象整体向上（ ）或向下（ ）b平移 个单位- 5 -数 的图象；再将函数 的图象整体向左（ ）或向右（ ）平移 个sinyxsinyx00单位，得到函数 的图象；再将函数 的图象上每个点的纵坐标siyxsinyx变为原来的 倍，横坐标不变 ，得到函数 的图象；再将函数AA的图象整体向上（ ）或向下（ ）平移 个单位，得到函数sinyx0b0b（2）函数 的性质：),()si(AxAy振幅： ；周期： ；频率： ；相位： ；初相： 212fx定义域： R值域： ,b当 时，
8、 ；2xkmaxyAb当 时， in周期性：函数 是周期函数；周期为 )0,()sin(bxAy 2T单调性： 在 上时是增函数；x2,2kk在 上时是减函数3,对称性：对称中心为 ；对称轴为,0kx2k一一一 平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向 线段表示2、零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作 ；零向量的方向是任意的03、单位向量：长度等于 1 个单 位长度的向量叫单位向量；与向量 平行的单位向量：a|ae- 6 -4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量， 记作 ；ba/规定 与任何向量平行05、相等向量：长度
9、相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等 .注意：任意两个相等的非零向量， 都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。6、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接平行四边形法则的特点：起点相同运算性质：交换 律： ；结合律： ； ababcc0aa坐标运算：设 ， ，则 1,xy2,xy12,xy7、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点， 连终点，方向指向被减向量坐标运算：设 ， ，则1,axy2,bxy2b设 、 两点的坐标分别为 ， ，则A1,xy2,21,xy8、向量数乘运算：实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘， 记作 a a ；当 时， 的方向与
10、 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；00当 时， a运算律： ； ； aab坐标运算：设 ，则 ,xy,xy9、向量共线定理：向量 与 共线，当且 仅当有唯一一个 实数 ，使 0ab a设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、1,axy2,bxy1210xy b aCAC- 7 -共线0b10、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共 线向量，那么对于这一平面内的1e2任意向量 ，有且只有一对实 数 、 ，使 （不共线的向量 、 作为这一平a12ae1e2面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点 是线 段 上的一点， 、 的坐 标分别是 ， ，当12121,xy2
11、,时，点 的坐标是 12 ,xy12、平面向量的数量积： 零向量与任一向量的数量积为 cos0,180abab 0性质：设 和 都是非零向量， 则 当 与 同向时， ；ababab当 与 反向时， ； 或 2 运算律： ； ； abcc坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 1,axy2,bxy12abxy若 ，则 ，或 ,xy22设 ， ，则 1a2,bxy120xy设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则1,a,bab122cosxyab一一一 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（）平方关系： （）商数关系：1cossin22cosinta（）倒数关系： tta； 22tn1si
12、22tan1s注意： 按照以上公式可以“知一求二”ta,cos,i- 8 -2、两角和与差的正弦、余弦、正切： )(S sincosin)si(：)( ： )(Csics)cos(a：)( no： )(Ttan1t)tan(： )( ttt正切和公式： )tan1()a(ta 3、辅助角公式： xbxbxb cossicossin 222 )in()inco(i 22 aa（其中 称为辅助角， 的终边过 点 ， ）),at4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： 2Scosin2si： C2ico1cos2sin1： 2T2tan1ta二倍角公式的常用变形：、 ， ；|si|cos|cos|2cs、
13、 ， |i|2cs |o|2c1、 ； sinosin1oin244 ；csic44降次公式： 2nosin 21cos2cs1sin2 co1sc2 - 9 -5、半角的正弦、余弦和正切公式：； ，2cos1sin 2cos1coscstasini6、同角三角函数的常见变形：（活用 “1”） ； ；22o1sin2coi； ；sicsincs ，2ioincottan22cotsincsitc22 ； 21o1)o(sin2 |cosin|2si17、补充公式：万能公式； ； 2tan1si2tan1cos22tan1t积化和差公式)si()si(cosi n21n)cos()cs(sci 和差化 积公式2cossin2isnicscos2ini2
