高中数学方法篇之配方法.docx

1、高中数学方法篇之配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺 xy 项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab) a 2abb ，将这个公式22灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a b (ab) 2ab(ab) 2ab；

2、222a abb (ab) ab(ab) 3ab(a ) （ b） ；232a b c abbcca (ab) (bc) (ca) 221222a b c (abc) 2(abbcca)(abc) 2(abbcca)结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos） ；2x (x ) 2(x ) 2 ； 等等。2x1x一、再现性题组：1. 在正项等比数列a 中，a a +2a a +a a =25，则 a a _。n153537352. 方程 x y 4kx2y5k0 表示圆的充要条件是_。2A. 1 C. kR D. k 或 k11414 43.

3、 已知 sin cos 1，则 sincos 的值为_。A. 1 B. 1 C. 1 或1 D. 04. 函数 ylog (2x 5x3)的单调递增区间是_。122A. （, B. ,+) C. ( , D. ,3)54541254545. 已知方程 x +(a-2)x+a-1=0 的两根 x 、x ，则点 P(x ,x )在圆 x +y =4 上，则实2 1122数 a_。【简解】 1 小题：利用等比数列性质 a a a ，将已知等式左边后配方（a ampm2 3） 易求。答案是：5。 22 小题：配方成圆的标准方程形式(xa) (yb) r ，解 r 0 即可，选 B。 2223 小题：已

4、知等式经配方成(sin cos ) 2sin cos 1，求出 sincos，2然后求出所求式的平方值，再开方求解。选 C。4 小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选 D。5 小题：答案 3 。1二、示范性题组：例 1. 已知长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24，则这个长方体的一条对角线长为_。A. 2 B. C. 5 D. 6314【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为 x,y,z，则,而欲求对角线长 ，将其配凑成两已知式的组合形4()xyz xyz2式可得。【解】设长方体长宽高分别为 x,y,z，由已知“长方体的全面积为 11

5、，其 12 条棱的长度之和为 24”而得： 。21424()xyz长方体所求对角线长为： 5xyz22()()xyzxyz2612所以选 B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例 2. 设方程 x kx2=0 的两实根为 p、q，若( ) +( ) 7 成立，求实数 k 的取2 2qp2值范围。【解】方程 x kx2=0 的两实根为 p、q，由韦达定理得：pqk，pq2 ,2( ) +( ) pqpq42()()2()(qpq2227，

6、 解得 k 或 k 。k28410又 p、q 为方程 x kx2=0 的两实根， k 80 即 k2 或 k22 2综合起来，k 的取值范围是： k 或者 k 。1010【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到 pq、pq 后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成 pq 与 pq 的组合式。假如本题不对“”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。例 3. 设非零复数 a、b 满足 a abb =0，求( ) ( ) 。22

7、ab198b198【分析】 对已知式可以联想：变形为( ) ( )10，则 （ 为 1 的立方虚根）；或配方为(ab) ab 。则代入所求式即得。2【解】由 a abb =0 变形得：( ) ( )10 ，2ab2设 ，则 10，可知 为 1 的立方虚根，所以： ， 1。1a3又由 a abb =0 变形得：(ab) ab ，222所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 198ba198ab929ab9992 。9【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用 1 的立方虚根，活用 的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。【另解】由

8、 a abb 0 变形得：( ) ( )10 ，解出 后，化22ab2 ba132i成三角形式，代入所求表达式的变形式( ) ( ) 后，完成后面的运算。此方法用99于只是未 联想到 时进行解题。132i假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由 a abb 0 解出：22a b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣i莫佛定理完成最后的计算。三、巩固性题组：1. 函数 y(xa) (xb) （a、b 为常数）的最小值为_。22A. 8 B. C. D.最小值不存在()ab2. 、 是方程 x 2axa60 的两实根，则(-1) +(-1) 的最小值是2 22_。A.

9、 B. 8 C. 18 D.不存在493. 已知 x、yR ，且满足 x3y10，则函数 t2 8 有_。 xyA.最大值 2 B.最大值 C.最小值 2 B.最小值24. 椭圆 x 2ax3y a 60 的一个焦点在直线 xy40 上，则 a_。A. 2 B. 6 C. 2 或6 D. 2 或 65. 化简：2 的结果是_。18sincosA. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 6. 设 F 和 F 为双曲线 y 1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足F PF 90，12x24 12则F PF 的面积是_。7. 若 x1，则 f(x)x 2x 的最小值为_。218. 已知 0； 是否存在一个实数 t，使当 t(m+t,n-t)时，f(x)1，t1，mR，xlog tlog s，ylog tlog sm(log tlog s),sts4t4s2t2 将 y 表示为 x 的函数 yf(x)，并求出 f(x)的定义域； 若关于 x 的方程 f(x)0 有且仅有一个实根，求 m 的取值范围。