1、专题四：工程问题 基本概念：工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯” ，这一类问题称之为“工程问题” 。 比例关系：工作总量相同，工作效率和工作时间成反比；工作时间相同，工作效率和工作总量成正比；工作效率相同，工作时间和工作总量成正比。 基本公式：工作效率工作时间=工作总量（请写出其他公式） 。 解题思路：一般把工作总量看作单位“1” ， 表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。 （注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为 2、3、4、5。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分
2、数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。 ） 常用方法：代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工作总量” ，和“时间” ，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位” ，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。 变形应用：有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在完成任务，甚至会表现为“行程问题” 、 “经济价格问题” 、 “牛吃草问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。例 1.蓄水池又一根进水管和一根排水管，单开进水管 5 小时灌满一池水，单开排水管 3 小时排完一池水，现迟内有半
3、池水，如果按照进水、排水；进水、排水的顺序，各开 1 小时，多少小时后水池的水刚好排完？解：把全池水看作单位“1” 。各开一小时（一个轮回） ，水减少： = = 3.75 （3.75 个轮回）取整数，3 个轮回，即 6 小时后：还剩下： 3= 此时应当开进水管 1 小时，水池水变成： = 再开排水管的时间： =0.9（小时）总共用时间：610.9 = 7.9（小时）答：7.9 小时后水池的水刚好排完。随堂演习（模拟训练数学试题，四.28）20 又 3/41.蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需要 3 小时，单开丙管需要 5 小时。要排光一池水，单开乙管需要 4
4、小时，单开丁管需要 6 小时。现在池内有 1/6 池水。如果按照甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开 1 小时，问经过经过多长时间水开始溢出水池？13152 15122 152 15121 101 10153 103 1013例 2.一池水,甲,乙两管同时开,5 小时灌满,乙,丙两管同时开,4 小时灌满.现在先开乙管 6 小时,还需甲,丙两管同时开 2 小时才能灌满.乙单独开几小时可以灌满？分析:可理解为甲乙同开 2 小时, 乙丙同开 2 小时,剩下的是乙 2 小时放的。解：设乙的工作效率为 x，2 22x = 1 x = 乙的工作时间：1 = 20（小时）答：乙单独开 20 小时可以
5、灌满。随堂演习（成外 193.六.2）302.一件工作，甲乙合作 6 天完成；乙丙合作 10 天完成；甲丙合作 3 天，乙再做 12 天也可以完成，乙单独做几天可以完成？1 4 1 5 1 201 20例 3.加工一批零件,甲单独做 20 天可以完工,乙单独做 30 天可以完工.现两队合作来完成这个任务，合作中甲休息了 2.5 天，乙休息了若干天，这样共14 天完工。乙休息了几天？分析:共 14 天完工，说明甲做 (14-2.5)天，其余是乙做的，用 14 天减去乙做的天数就是乙休息的天数。解：乙的工作总量：1 （142.5）= 乙的工作时间： = 12 （天）乙的休时间：1412 = 1 （
6、天）答：乙休息了 1 天。例 4.（麓山 P85.六.5）某工艺厂的 300 名工人要赶制一批“奥运福娃”工艺品，其中 1/6 的女工每人做 3 个，5/6 的女工每人做 5 个，1/3 的男工每人做 4 个，2/3 的男工每人做 5 个。这样刚好做完，问这批“奥运福娃”工艺品共多少个？分析：女工做的工艺品数量男工做的工艺品数量 = 这批工艺品总数。解：设女工有 x 名 则男工有（300-x）名女工共做的个数：3 5 = 男工共做的个数： 4 5 = 总工艺品数： = 1400（个） 答：这批工艺品共 1400 个。1 20174017401 303 4 3 4 1 4 1 4 x 6 5x
7、6 14x 3 300x 3 2(300x) 3 420014x 3 14x 3 420014x 3 例 5 （实外 P185.六.29）一天，师徒二人接到一项加工零件的任务，先由师傅单独做 6 小时，剩下的由徒弟做，4 小时作完，第二天，他们又接到一项任务，工作量是第一天的 2 倍，由师徒二人合作 10 小时，剩下的又徒弟做完，已知徒弟的工作效率是师傅的 4/5，师傅第二天比徒弟多做 32 个零件，问：（1） 第二天徒弟做了多少小时？（2） 师徒二人两天共加工多少零件？（1）11/2（2）552分析：徒弟的效率是师傅的 4/5，那么徒弟用 4 小时完成的工作，师傅只需要 4/54=16/5
8、天。解：把第一天的工作总量看作“1” ，那么第二天的工作总量看作“2” 。师傅完成第一天的工作需要的时间：6（4/54）= 46/5（小时）那么师傅的工作效率：5/46；徒弟的工作效率：5/464/5=2/23（1） 第二天师傅的工作总量：5/4610 = 25/23第二天徒弟的工作总量：225/23 = 21/23第二天徒弟的工作时间：(21/23)(2/23)= 10.5（小时）（2） 第二天师傅比徒弟多做的份数：25/2321/23 = 4/23第二天师傅比徒弟多的个数：32 个每份为：32（4/23）=184（个）两天的工作总量为（12）份：1843 = 552 个答：（1）乙的工作时
9、间是 10.5 小时。 （2）两天共加工 552 个零件。随堂演习：（麓山 P107.五.2）3.装配车间的师徒两人加工同样多的零件，当师傅完成一半时，徒弟完成 120个，当师傅完成任务时，徒弟完成 4/5。这批零件多少个？例 6.有甲乙两项工作，张单独完成甲工作要 10 天，李单独完成乙工作要 15 天；李单独完成甲工作要 8 天，张单独完成乙工作要 20 天。如果每项工作都可以由 2 人合作，那么这两项工作都完成至少需要多少天？分析：先让李做甲工作（因为李的天数最少） ，那么这 8 天张做乙工作。解：张在 8 天一共完成乙工作：81/15 = 8/15，8 天后甲工作完成，乙工作剩下：18
10、/15 = 7/15此后甲、乙合作乙工作，时间为：7/15（1/20+1/15）= 4（天）一共用的时间：84 = 12（天）答：这两项工作都完成至少需要 12 天。随堂演习（成外 P188.五.5）：4.有甲乙两项工作，李明单独完成甲工作需要 9 天，单独完成乙工作需要 12 天，刘凡单独完成甲工作需要 3 天，单独完成乙工作需要 15 天，如果李、刘二人合作完成这两项工作，最少需要多少天？例 7.（麓山 P85.六.6）2007 年夏天，某地遭遇严重干旱，政府部门为此安装了甲、乙两根水管，分别同时给 A、B 两个大小相同的水池注水。在相同时间内甲、乙两管的水量比为 7:5，经过 2 小时，
11、A、B 两池中已注水之和恰好是一池水。此后甲管的注水量提高 25%，乙管的注水量降低 30%。那么，当甲管注满 A 池时，乙管再经多少时间注满 B 池。分析：我们假设水池的容量为“1” ，由于同时间工作总量和工作效率成正比关系，那么在 7/3 小时的时候，A 、B 的水量比为 7:5，水量和为1。解：把 A、B 水池的蓄水量分别看作单位“1” 。那么在 2 小时后，A 池注水量： = 那么在 2 小时后，B 池注水量：1 =甲的注水效率： 2 = 乙的工作效率： = 注满 A 池剩下部分所需时间：(1 ) (125%)= (小时）注满 B 池剩下部分所需时间：(1 ) (130%)= (小时）
12、注满 A 池后，乙管注 B 池所用时间： = 3 （小时）1 3 1 3 7 577 127 121 4 1 4 5 7 5 28 1 3 7 125 127 121 4 4 3 5 125 28 14 3 14 3 4 3 1 3 答：当甲管注满 A 池时，乙管再经 3 小时注满 B 池。例 8.（成外 P202.五.3）甲乙丙三根水管，单独开甲管 5 小时能注满水，开甲乙管 2 小时注满水，开甲丙管 3 小时注满水，现把甲乙丙三管打开，过了一段时间甲管因故障停止注水，但，两小时后，水池注满，问甲乙丙一起放了多少小时。2/3分析：甲乙丙的时间加上乙丙的时间总共 2 小时，我们可以看作乙丙开了
13、 2 两小时，剩下部分由甲注满。解：甲的工作效率：1/5，乙的工作效率：1/21/5 = 3/10丙的工作效率：1/31/5 = 2/15乙、丙总工作效率：3/102/15 = 13/30甲工作总量：1213/30 = 2/15甲作时间：2/151/5 = 2/3（小时）随堂演习：（模拟训练数学试题，五.2）5.一项工程，甲、乙合作 12 天完成，乙、丙合作需 15 完成，甲、丙合作需 20天完成，如果甲、乙、丙三人合作需多少天完成？1 3 习题1.（成外 P181.六.1）单独完成某项工程，甲需要 10 天，乙需要 15 天，丙需要30 天。甲乙合作 3 天后，甲因公调出，由丙来接替他的工作
14、，还需要几天才能完成任务？2.（麓山 P77.四.2 ）生产一批儿童服装，每天生产 800 套，10 天可以完成；现需要在“六一儿童节”进入市场，必须提前 2 天完成，那么平均每天要生产多少套才能完成任务？3.（麓山 P67.四.3 ）两个蟹将和四个虾兵能打扫龙宫的十分之三，八个蟹将和十个虾兵在同样的时间里能打扫完同样的龙宫，如果单独让蟹将去打扫或单独让虾兵去打扫，要打扫完全部龙宫，虾兵要比蟹将多几个？参 考 答 案随堂演习：1. 20 又 3/4 小时；一个轮回水池增加水 = ，5 个轮回后，水池共614307有水 5= = (已放水 4520 小时)， =0.75 (小时)，5076164
15、3 431所以 200.7520.75(小时)后水池开始溢水. 2. 30 天；1/631/1036x = 1 x = 1/30 那么：1x = 303. 600 个；120（1/2）（4/5）=300 3002 = 6004. 8 天；1(1/123)= 3/4 ，(3/4)(1/121/15)= 5 天 ，35=8 天5. 10；(甲乙)(乙丙)(甲丙)= 1/121/151/20（甲乙丙）= 1/52 = 1/10习题：1. 5 天；(1/101/15)3=1/2,(11/2)(1/151/30)=52. 1000 套；80010（102）= 10003. 18 个；假设龙宫需要打扫的总量为 10 份（见表格，灰色部分是已知）打扫份数 蟹将 虾兵 打扫份数 蟹将 虾兵A. 3 份 2 4 A4 B. 12 份 8 16D. 2 份 0 6 BC C. 10 份 8 10A. 3 份 2 4 A2.5 E. 7.5 份 5 10F. 2.5 份 3 0 CE C. 10 份 8 10D6 个虾兵打扫 2 份，每个虾兵打扫 1/3 份，龙宫 10 份，要 30 个虾兵。F3 个蟹将打扫 2.5 份，每个蟹将打扫 5/6 份，龙宫 10 份，要 12 个蟹将。虾兵比蟹将多：3012 = 18 个
