1、132 不等式选讲1基本不等式及其推广(1)a2b 2_( a，b R)，当且仅当_时，等号成立(2) _( a，b0)，当且仅当_时，等号成立a b2(3) _(a，b，c0)，当且仅当_时，等号成立a b c3(4) _( ai0，i1，2，n)，当且仅当_时，等号成立a1 a2 ann2绝对值不等式(1)定理 1：如果 a，b 是实数，那么 _，当且仅当_时，等号成立|a b|(2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么 _，当且仅当_时，等号成立|a c|(3) a_|x| |x|3证明不等式的方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想
2、是_与 0比较大小或_与 1 比较大小；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_或_，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法；(6)数学归纳法自查自纠1(1)2ab ab (2) ab ab(3) abc3abc(4) a 1a 2a nna1a2an2(1) ab0|a| |b|(2) (ab)( bc )0|a b| |b c|(3)aa3(1)作差 作商 (5) 放大 缩小(2017山东)设集合 Mx| x1|0，下面四个不等式中，正确的是( )|a b |a|; |ab|a| |b|.A和 B和C和 D和解：
3、因为 ab0，所以 a 与 b 同号，所以|ab| a|b| a|a|b|，故正确，错误，正确故选 C.(2017德州一模)若不等式 |x2| x3|0)，g(x)x2.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)g( x)的解集；(2)若 f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，原不等式等价于|2x1| |2x1| x 2.等价于 或 或x 12， 4x x 2) 121.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)4|x4| 的解集；(2)已知关于 x 的不等式|f(2x a)2f (x)|2 的解集为 x|1x2，求 a 的值解：(1)当 a2 时，f (x)|x 4|
4、 2x 6，x 2，2，20，b0，求证：比 较 法 a b .(a2b)12 (b2a)12 12 12 证法一：左边右边 ( )（a）3 （b）3ab a b（a b）（a ab b） ab（a b）ab（a b）（a 2ab b）ab 0，（a b）（a b）2ab所以原不等式成立证法二：因为不等式左边0，右边0，所以 左 边右 边 （a b）（a ab b）ab（a b） 1.a ab bab 2ab abab所以原不等式成立【点拨】用比较法证明不等式，一般有作差(或商) ，变形，判断三个步骤，利用作商法时要注意前提条件变形的主要手段是通分、因式分解或配方在变形过程中，也可以利用基本不
5、等式放缩，如证法二(2)( )已知 a，b，c 均为正数，证明：综 合 法a2b 2c 2 6 ，(1a 1b 1c)23并确定 a，b，c 为何值时，等号成立证法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不等式得a2b 2c 23(abc) ，23 3(abc) ，1a 1b 1c -13 所以 9( abc) .(1a 1b 1c)2-23 故 a2b 2c 2 3(abc) 9(abc) .(1a 1b 1c)223 -23 又 3(abc) 9(abc ) 2 6 ，23 -23 27 3所以原不等式成立当且仅当 abc 时，式和式等号成立当且仅当 3(abc) 9(abc ) 时，式等
6、号成立，23 -23 即 abc3 时，原式等号成立14 证法二：因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得a2b 22ab，b 2c 22bc ，c 2a 22ac，所以 a2b 2c 2abbc ac.同理 .1a2 1b2 1c2 1ab 1bc 1ac故 a2b 2c 2 (1a 1b 1c)2a 2b 2c 2 1a2 1b2 1c2 2ab 2bc 2acabbcac 6 .3ab 3bc 3ac 3所以原不等式成立当且仅当 abc 时，式和式等号成立，当且仅当(ab )2(bc) 2( ac)23 时，式等号成立即当且仅当 abc3 时，原式等号成立14 【点拨】综合法是由因导果
7、的证明方法用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的公式作为依据，其中均值不等式是最常用的，证法一两次运用三元均值不等式证明，证法二主要是运用不等式的性质证明(3)( )设 x0，y 0 且 xy ，求证：分 析 法(x3y 3) 0，x 2y 2z 2x 2 x 2 x2x ，矛盾12 （y z）22 （1 x）22 32 1212若 x，y，z 三数中有最大者大于 ，不妨设 x ，23 23则 x 2y 2z 2x 2 x 2 x2x x ，矛盾12 （y z）22 （1 x）22 32 12 32(x 23) 1212故 x，y，z .0，23【点拨】对于一些直接证明比
8、较困难的命题常常采用反证法证明利用反证法的关键是在假设结论不成立后，如何由已知和相关性质定理推出矛盾(1)(2015全国卷)设 a，b，c，d 均为正数，且 abcd，证明：()若 abcd，则 ；a b c d() 是 cd，得( )a b ab c d cd a b2( )2.因此 .c d a b c d()(i)若 cd，由( )|a b| |c d|得 .a b c d()若 ，则( )2( )2，即 ab2 cd2 .因为 abcd，所以 abcd，a b c d a b c d ab cd于是(a b)2(ab) 24ab 是 0，b0 ，且 ab .求证：1a 1b()ab2；
9、()a 2a0，b0，得 ab1.1a 1b a bab()由基本不等式及 ab1，有 ab2 2，即 ab2，当且仅当 ab1 时取等号ab()假设 a2a0 得 0a0 时，| ab| |a| b|，故充分性不成立当|a b |a| |b|时，两边平方得 ab|ab| ，则 ab0，故必要性成立综上可知， “ab0”是“|a b|a| b|”的必要不充分条件故选 B.5设 a，b，c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )A(a3) 22”是“不等式|x 3 m|x |2 对xR 恒成立”的( )3 3A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：|x3
10、m|x |3 m |，解不等式|3 m |2 ，得 3m 2 或 3m .故要使3 3 3 3 3 3 3 332|x 3m|x |2 对任意实数 x 恒成立，则 m .故选 A.3 3327在实数范围内，不等式|x2|1| 1 的解集为_解：原不等式等价于1|x 2|110|x2| 2，即|x2| 2，解得 0x4，故填 0，48若关于 x 的不等式|ax2|1 的解集解：(1)f(x) x 4，x 1，3x 2， 132. )yf(x) 的图象如图所示(2)由 f(x)的表达式及图象知，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x)1 时，可得 x 或 x5，13故 f(x)1 的
11、解集为 x|15所以|f( x)|1 的解集为 .x|x510(2017武汉四月调考)(1)求不等式|x 5|2x3| 1 的解集；(2)若正实数 a，b 满足 ab ，求证： 1.12 a b解：(1)当 x 时，x52x31，解得 x7，所以7x ；32 32当 0 时，不等式等价于 x0 时，原不等式的解集为 .x|x 2 t21设函数 f(x)|x a| x4|.(1)当 a1 时，求 f(x)的最小值；(2)如果对xR，f(x)1，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，函数 f(x)|xa| |x4| x1| x4| 5 2x，x 1，3，1t 恒成立(1)求满足条件的实数
12、t 的集合 T；(2)若 m1，n1 对tT，不等式 log3mlog3nt 恒成立，求 mn 的最小值解：(1)令 f(x) |x1| |x2| 1，x 1，2x 3，1abba.解：(1)要使|x 10|x20|0，所以 A(0 ，)(2)证明：不妨设 ab，则 ，aabbabba (ab)a b因为 ab0，所以 1，ab 0，所以 1，ab (ab)a b所以 aabbabba.4(2017武汉二月调考)(1)求函数 y2|x 1| x4|的值域；(2)若不等式 2|x1| |xa| 1 在 xR 上恒成立，求实数 a 的范围解：(1)因为 y2|x 1| x 4| x 2，x 4，3
13、x 6，1 x 4， x 2，x 1， ) y 6， 3 y 6，y 3. )所以 y2|x1|x 4|的值域为3，) (2)令 f(x)2|x 1|xa|.当 a1 时，f(x ) x 2 a，x a，3x 2 a，11a，f（x） 2a 2，1 a0，且 abbcca 1.求证：(1)abc ；3(2) ( )abc bac cab 3 a b c证明：(1)要证 abc ，3由于 a，b，c0，因此只需证明(abc) 23.即证：a 2b 2c 22( abbcca)3，而 abbcca1，故需证明：a 2b 2c 22( abbcca)3(abbcca)即证：a 2b 2c 2abbc
14、 ca .而这可以由 abbcca a 2b 2c 2 证得a2 b22 b2 c22 c2 a22 (当 且 仅 当 a b c 33时 等 号 成 立 )所以原不等式成立(2) .abc bac cab a b cabc在(1)中已证 abc .3因此要证原不等式成立，只需证明 ，1abc a b c即证 a b c abbcca.bc ac ab而 a ，bc abacab ac2同理，b ，c .acab bc2 ab ac bc2所以 a b c abbcca.bc ac ab(当 且 仅 当 a b c 33时 等 号 成 立 )所以原不等式成立(2015贵州模拟)已知函数 f(x
15、)|2 xa| x1|.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)2 的解集；(2)若 f(x)5 x 对xR 恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)a3 时，即求解|2 x3| |x1| 2，当 x 时，原不等式化为 2x3x 12，解得 x2；32当 10，集合 Bx| x2|1 ，则 AB ( )A(1，3) B(3，1)C(，3)(2，) D(3，2)解：6xx 2031 得 x3 或 x0 Bab0 Dab0 时，| ab|a| |b| ；ab a，a b2 ab因为 f(x) ，定义域为x|x 1 且 x0，所以 f(x) 0)，若不等式 f(x)6 的解集为(，2 4，)，则 a
16、的值为_解：由已知有 解得 a3.故填 3.| 2 1| | 2 a| 6，|4 1| |4 a| 6， )14设 f(x)|2x 1|，若不等式 f(x) 对任意实数 a0 恒成立，则 x 的取值集合是|a 1| |2a 1|a|_解： 3，所以右式最大值为 3，从而|2 x1|3，解得|a 1| |2a 1|a| |1 1a| |2 1a| |(1 1a) (2 1a)|x1 或 x2. 故 x 的取值集合为 x|x1 或 x2故填 x|x 1 或 x 2三、解答题：共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(10 分)(荆州五县市区 2017 届期末)已知圆的极坐标方程为 2
17、4 cos 60.2 ( 4)(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点 P(x，y)在该圆上，求 xy 的最大值和最小值解：(1) 24 cos 60.2 ( 4)即 24 60，2(22cos 22sin)即 x2y 24x 4y60.(2)圆的参数方程为 ( 为参数)，所以 xy4 (sincos )42sin .x 2 2cos，y 2 2sin) 2 ( 4)由于1sin 1，所以 2xy6，故 xy 的最大值为 6，最小值为 2.( 4)16(10 分)(荆州五县市区 2017 届期末)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ( 为参数)，x 2cos ，y 2 2sin
18、 )直线 l 的参数方程为 (t 为参数)在以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，x 3 32t，y 3 12t )过极点 O 的射线与曲线 C 相交于不同于极点的点 A，且点 A 的极坐标为(2 ， )，其中 .3 ( 2， )(1)求 的值；(2)若射线 OA 与直线 l 相交于点 B，求|AB| 的值解：(1)曲线 C 的普通方程为 x2(y2) 24，曲线 C 的极坐标方程为(cos )2( sin2) 24.由 2 ，得 sin .332因为 ，(2，)所以 .23(2)射线 OA 的极坐标方程为 ，23直线 l 的普通方程为 x y4 0.3 3所以直线 l 的
19、极坐标方程为 cos sin4 0.3 3联立 解得 4 . 23，cos 3sin 43 0，) 3所以|AB| B A|4 2 2 .3 3 317(10 分)(2017 东北三校联考 )在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系直线 l 的极坐标方程为 (sin cos )4 ，若射线 ， 分别与 l 交于 A，B 两点3 3 6 3(1)求|AB|；(2)设点 P 是曲线 C：x 2 1 上的动点，求ABP 面积的最大值y29解：(1)直线 l： sin 2 ，令 ，得 2 ，令 ，得 4，所以 A ，B .( 3) 3 6 3 3 (23，6) (4
20、，3)又因为AOB ，OA2 ，OB 4，所以BAO ，3 6 6 3 2所以|AB|2.(2)直线 l： xy4 ，设曲线 C： ( 为参数) 3 3 x cos，y 3sin)所以曲线 C 上的点 P(cos， 3sin)到直线 l 的距离 d |3sin 3cos 43|2 |23sin( 6) 43|23 .| 23 43|2 3当且仅当 2k ，即 2k 时取“” 6 2 23所以 SABP |AB|d 23 3 .12 12 3 3即ABP 面积的最大值为 3 .318(10 分)(2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数，a0)在以x ac
21、ost，y 1 asint)坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos .(1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan 02，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a.解：(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2( y1) 2a 2.C1 是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆将 xcos ，ysin 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 22 sin1a 20.(2)曲线 C1，C 2 的公共点的极坐标满足方程组2 2sin 1 a2 0， 4cos
22、. )若 0，由方程组得 16cos28sin cos1a 20，由已知 tan2，可得 16cos28sin cos0，从而1a 20，解得 a1(舍去) 或 a1.a1 时，极点也为 C1，C 2 的公共点，在 C3 上所以 a1.19(10 分)(2017 东北三校联考 )已知函数 f(x)|2x1| |2x3| ；(1)求不等式 f(x)6 的解集；(2)若对任意 x ，不等式 f(x)|2 xa|4 恒成立，求实数 a 的取值范围 12， 1解：(1)当 x 时，2x12x36x 1，12所以1x .12当 1，综 上 所 述 ， a 的 取 值 范 围 为 1， )( ， 53(2)因为 g(x)(x1) 2 52 51，显然可取等号，4（x 1）2 （x 1）2 4（x 1）2所以 g(x)min1，于是，若存在实数 x，y ，使 f(x)g(y)0，只需使 f(x)min1，又 f(x)|x12a| xa 2| |(x12a)( xa 2)|(a 1)2.所以(a1) 21，所以1a11，所以 0a2，即 a 的取值范围为0，2
