1、江苏省泰州市兴化一中 2018 届高三考前适应性练习数学试卷一、填空题1已知集合 =2,34A， 2Ba,，若 =AB，则 CA2一个容量为 20 的样本数据分组后，分组与频数分别如下： 10,2，2； 0,3，3；30,4，4； 0,5，5； 0,6，4； 0,7，2则样本在 ,5上的频率是3已知复数 iz1，则 |z4运行如图所示的程序后，输出的结果为5记函数 243fxx的定义域为 D若在区间 6，6上随机取一个数 x，则Dx的概率为6函数 2lgf的单调递减区间是7如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，AD3，CD2， 2AMD.若3ACBM，则 AD. 8设向量 (cos,i
2、n)a， (cos,in)b，其中 0，若b23，则 . 9一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的 3 倍，则圆柱的侧面积是其底面积的倍.10若直线 axyl:1和直线 bxyl:2将圆 5)2()1(2y分成长度相等的四段弧，则 b11已知数列 12， 34， 58， 176，则其前 n 项和 Sn为. 12在平面直角坐标系 xOy中， P为双曲线 142yx右支上的一个动点。若点 P到直线 012yx的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为13已知函数 1,23ln)(2xaxef 有且仅有 2 个零点，则 a的范围是14已知 ABC三个内角 ， B， C的对应边分别
3、为 ， b， c，且 3C， 2c，当取得最大值时， ba的值为二、解答题15已知函数 xxxf cosincos3)(2（ 0）的周期为 .（1）当 4， 时，求函数 )(f的值域；（2）已知 ABC的内角 ， ， C对应的边分别为 a， b， c，若 3)2(Af，且4a， 5cb，求 的面积.16如图，在四棱锥 ABCDP中，已知底面 ABCD为矩形， PA平面 DC,点 E为棱 PD的中点，求证：（1） /PB平面 EAC；（2）平面 D平面 B17某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口 A 沿 AB，AC 方向修建两条小路，休息亭 P 与入口的距离为 32a米（其中 a 为
4、正常数） ，过 P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于 E、F 处，已知 045B， 12tan5CB（1）设 AEx米， Fy米，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域；（2）试确定 E，F 的位置，使三条路围成的三角形 AEF 地皮购价最低18椭圆 )0(1:2bayxM的离心率为 23，点 ),0(E关于直线 xy的对称点在椭圆 M上（1）求椭圆 的方程；（2）如图，椭圆 的上、下顶点分别为 A， B，过点 P的直线 l与椭圆 M相交于两个不同的点 C， D求 ODC的取值范围；当 A与 B相交于点 Q 时，试问：点 Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明
5、理由19在数列 na中， 1， 14nna， 12nba，其中 （1）求证：数列 nb为等差数列；（2）设 nc，试问数列 nc中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由（3）已知当 n且 6时， 1132nm，其中 1， 2， ， n，求满足等式 42nnb的所有 的值20设函数 sincoxfeax（ aR，其中 e是自然对数的底数）.（1）当 0a时，求 f的极值；（2）若对于任意的 ,2x， 0fx恒成立，求 a的取值范围；（3）是否存在实数 a，使得函数 f在区间 ,2上有两个零点？若存在，求出 a的取值范围；若不存在，请说明理由.【参考答案】一、填
6、空题1 32 7031495 26 1,378 329 410 11 21n12 513 2a或 3【解析】设 ln,1xhe， hx在 ,上递增，由 10 2h，可得x在 1,上有一个零点，只需函数 2,gax，在 ,有一个零点即可， 0时， 2a，此时 x有一个零点 ，符合题意，若 0，只需g即可，可得 +30,， 的取值范围是 2或 3a，故答案为2a或 .14 3【解析】设 ABC的外接圆半径为 R，则 432sincC .4383cos2sincosincoACBbABABA , 23,83in 2814is2sincoA2323431321sinsincossin2cosAAA43
7、sin.240,3A, 523A，则当 23A，即： 12A时，CB取得最大值为 ，此时 BC中， 7,1,7siniab2317sin143ba.二、解答题15解：（1） 313()(1cos2)sini(2)fxxx()fx的周期为 ，且 0，解得 1()sin)32fx又 4， ，得 65326x， 12si，1)32sin(13x即函数 ()yf在 4， 上的值域为 231,（2） ()3Af 3sin()2由 (0,)A，知 43A，解得： 2，所以 3由余弦定理知： 22cosabA，即 216bc16()3bc，因为 5，所以 3sin24ABCS16 （1）证明：连接 BD 与
8、 AC 相交于点 O，连结 OE因为四边形 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 中点因为 E 为棱 PD 中点，所以 PBOE因为 PB平面 EAC，OE 平面 EAC，所以直线 PB平面 EAC（2）解：因为 PA平面 PDC，CD 平面 PDC，所以 PACD因为四边形 ABCD 为矩形，所以 ADCD因为 PAAD A，PA，AD 平面 PAD，所以 CD平面 PAD因为 CD平面 ABCD，所以平面 PAD平面 ABCD17解：（方法一） （1）由 12tan5CAB得 12sin3CAB， 5cos13CAB且 7sinsi()si(4)6FAPPE由题可知 EAFSSA所以 11
9、1sinsinsin222CBAPFA得 7336xyaya即 1132y所以 47xya由01347xay得定义域为 7(,)4a(2) 设三条路围成地皮购价为 y元，地皮购价为 k 元/平方米，则 AEFykS( 为常数)，所以要使 y最小，只要使 AEFS最小由题可知21126136sin2347AEF axSCBxy定义域为 7(,)4a令 0tx则22227631493494 188AEFtatataS ta223918ata当且仅当 7t即 x时取等号所以，当 2a时， AEFS最小，所以 y最小答：当点 E 距离点 米远时，三条路围成地皮购价最低.（方法二）(1) 由 12tan
10、5CB得 12sin3CAB， 5cos13CAB7sinsi()i(45)6FAPPAEF设 中，由正弦定理 sinsisinAPFE所以72326,isyaPFAFEy同理可得12,sin32sinxxa由 PFE即71263sinisinyxya整理得 1347axy，由0xa得定义域为 7(,)4a（方法三） （1）以 AB所在直线为 x轴，点 A为坐标原点，建立如图直角坐标系，则 ,0Ex， 3,Pa，由 12tan5CAB，得 12sin3CAB， 5cos13CAB所以 512,Fy因为 与 共线所以 3311yayax所以 47x由013ayx得定义域为 7(,)4a.18解：
11、（1）因为点 )2,E关于直线 yx的对称点为 (2,0)，且 (,)在椭圆 M 上，所以 2a又 3e，故 c，则 22431bac所以椭圆 M 的方程为214xy（2）当直线 l 的斜率不存在时，(0,),)CD，所以 OCD1当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 122,(),()ykxyx， 2,14ykx消去 y 整理得2(14)6120kx，由 0，可得 3k，且 121226,44kxxk，所以 12OCDy 217()()4k，所以 4，综上 3,4OCD由题意得，AD： 21yx，BC： 1yx，联立方程组，消去 x 得 2213k，又 12123()kx，解得 1
12、2y，故点 Q 的纵坐标为定值 1. 19 （1）证明： 111122nnnnnbaa数列 n为等差数列；（2）解：假设数列 nc中存在三项，它们可以构成等差数列；不妨设为第 p， r， q（prq）项，由（1）得 nb， 2n， 2rpq， 12rpqp，又 2rp为偶数， 1qp为奇数故不存在这样的三项，满足条件（3）由（2）得等式 343nnbn，可化为42nn即2133nn，11nnn当 6n时， 32nm，12n，211n， ，132n，21111 13332nnnnn当 6时， 42nnn当 1n， 2， ， ， 5时，经验算 ， 时等号成立满足等式 33nnbn的所有 2， 32
13、0解：（1）当 0a时， e,1xxff令 fx，得 1列表如下： ,-1 1,fx+ 0 -A极小值 A所以函数 fx的极小值为 1ef，无极大值；（2）当 0a时，由于对于任意 0,2x，有 sinco0x所以 fx恒成立，当 a时，符合题意；当 01a时，因为 0=e1cose1cos0xfaxa所以函数 fx在 0,2上为增函数，所以 ff，即当 1，符合题意；当 1a时， 1fa， 4=e10f所以存在 0,4，使得 0f，且在 ,内， fx所以 fx在 ,上为减函数，所以 0fxf即当 1a时，不符合题意综上所述， a的取值范围是 ,1;（3）不存在实数 ，使得函数 fx在区间 0
14、,2上有两个零点，由（2）知，当 1a时， f在 ,上是增函数，且 0f，故函数 fx在区间0,上无零点当 1a时， =e1cos2xfax令 xg， e2singax当 0,2时，恒有0x，所以 x在 0,上是增函数由 21,=e1gaga故 x在 0,2上存在唯一的零点 0x，即方程 0fx在 ,2上存在唯一解 0x且当 0,时， f，当 0,2，f即函数 fx在 0,上单调递减，在 0,x上单调递增，当 0,时， ff，即 f在 0,x无零点；当 0,2x时，20,=efxf所以 f在 0,上有唯一零点，所以，当 1a时， fx在 ,2上有一个零点综上所述，不存在实数 ，使得函数 fx在区间 0,2上有两个零点.
