1、1（分类）滚动小专题（十一）与圆有关的计算与证明类型 1 与圆的基本性质有关的计算与证明（2018安徽）20.如图, O 为锐角 ABC 的外接圆,半径为 5.（1）用尺规作图作出 BAC 的平分线，并标出它与劣弧 BC 的交点 E(保留作图痕迹,不写作法)；（2）若（1）中的点 E 到弦 BC 的距离为 3,求弦 CE 的长.解：（1）画图略（2）AE 平分BAC弧 BE=弧 EC，连接 OE则 OEBC 于点 F，EF=3连接 OC、EC在 RtOFC 中，由勾股定理可得 FC= 21在 RtEFC 中，由勾股定理可得 CE= 30（2018 湖州）21 （8 分） （2018湖州）如图，
2、已知 AB 是O 的直径，C，D 是O 上的点，OCBD，交 AD 于点 E，连结 BC（1）求证：AE=ED；（2）若 AB=10，CBD=36，求 的长2（2018 无锡）24、（本题满分 8 分）如图，四边形 ABCD 内接于圆心O，AB=17，CD=10，A=90，cos B= ，求 AD 的长。53 D BCA【解答】DAABDAB=90在圆 O 中DCB=90延长 AD、BC 交于点 E，易证B=EDC53DC0EcosB34tan在EAB 中，EA= 36817DA=EA-ED= =650325 （10 分）如图，AB 是以 O 为圆心的半圆的直径，半径 COAO，点 M 是 上
3、的动点，且不与点 A、C、B 重合，直线 AM 交直线 OC 于点 D，连结 OM 与 CM（1）若半圆的半径为 10当AOM=60时，求 DM 的长；当 AM=12 时，求 DM 的长（2）探究：在点 M 运动的过程中，DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【解答】解：（1）当AOM=60时，OM=OA，AMO 是等边三角形，A=MOA=60，MOD=30，D=30，DM=OM=10过点 M 作 MFOA 于点 F，设 AF=x，OF=10x，AM=12，OA=OM=10，由勾股定理可知：12 2x 2=102（10x） 24x= ，AF= ，MFOD，AMFADO，
4、 ， ，AD=MD=ADAM=（2）当点 M 位于 之间时，连接 BC，C 是 的重点，B=45，四边形 AMCB 是圆内接四边形，此时CMD=B=45，当点 M 位于 之间时，连接 BC，由圆周角定理可知：CMD=B=45综上所述，CMD=455（2018 温州）22.（本题 10 分）如图，D 是ABC 的 BC 边上一点，连接 AD，作ABD 的外接圆，将ADC 沿直线 AD 折叠，点 C 的对应点 E 落在上.（1）求证：AE=AB.（2）若CAB=90，cosADB= ，BE=2，求 BC 的长.13（2018 台州）24.如图， 是 的内接三角形，点 在 上，点 在弦 上（ 不AB
5、CODABCEAB与 重合） ，且四边形 为菱形.ADE6（1）求证： ；ACE（2）求证： ；2BAC（3）已知 的半径为 3.O若 ，求 的长；5A当 为何值时， 的值最大？BCAC（2018 南通）28.如图， 的直径 ， 是 上（不与点 重合）的任一点，点O26BPABAB、为 上的两点.若 ，则称 为直径 的“回旋角”.D、 AAPDCD（1）若 ，则 是直径 的 “回旋角”吗？并说明理由；60BPCDCPDAB（2）若 的长为 ，求“回旋角” 的度数；A134（3）若直径 的“回旋角”为 ，且 的周长为 ，直接写出 的长.1202413AP解：28 （1）是；（2）45；（3）3
6、或 23（2018 湘潭）7（2018 南京）26.如图，在正方形 中， 是 上一点，连接 .过点 作 ，ABCDEABDEAFDE垂足为 . 经过点 、 、 ，与 相交于点 .FOAFG（1）求证 ；AFGDC （2）若正方形 的边长为 ， ，求 的半径B41AEO8（2018 黄冈）18. 如图， 是 的直径， 为 的弦， ， 与 的延ADOABOPADOB长线交于点 ，过 点的切线交 于点 .PBPC（1）求证： .C（2）若 ， ，求线段 的长.2OA19（2018 宜昌）21. 如图，在 中， . 以 为直径的半圆交 于点 ，交ABCABACD于点 .延长 至点 ，使 ,连接 .BC
7、EFEFC，(1)求证:四边形 是菱形；(2) 若 ，求半圆和菱形 的面积.AD72，21.(1)证明： 为半圆的直径，AB,90E,C,又 ,FA四边形 是平行四边形.B又 ,（或 ， ）C90E平行四边形 是菱形.(2)解： ,7,2AD设 ，则 ，xBx解法一：连接 ， （如图）图 1 为半圆的直径，AB10,90ADB22C(7)4xx或 （舍去）128解法二：连接 .（如图）E图 2四边形 是圆内接四边形ABED180CEBACD427x80或 （舍去）1x2解法三：如图 1，连接 ，BD为半径的直径，AB90可证 CEA427x或 （舍去）128=S半 圆,5BD11=815S菱
8、形（2018 福建）（2018 张家界）20、 （本小题满分 6 分）如图，点 是 的直径 延长线上一点,且 =4,点 为 上一个动点(不与POABABM12重合),射线 与 交于点 (不与 重合)BA、 PMONM(1) 当 在什么位置时, 的面积最大,并求岀这个最大值；AB(2)求证: .N20.解：（1）当点 M 在 AB 弧的中点处时， 最大 1 分 （其它表述合理均给分）因为此时： 2 分 2412ABO3 分SABM（2） 4 分PN5 分6 分（2018 贵阳）23. （本题满分 10 分如图， AB 为 O 的直径 AB 4 点 C 在半圆上， OC AB ， 垂足为点 O ，
9、 P 为半圆上任意一点， 过 P 点作 PE OC 于点 E， 设 OPE 的内心为 M , 连接 OM、 PM .（ 1）求 OMP 的度数；（ 2）当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时，求内心 M 所经过的路径长 .AMS13【解】 （ 1） PE OC PEO 90 EPO EOP 90 M 是 OPE 的内心 EOM POM， EPM OPM POM OPM 1 ( EPO EOP) 452在 POM 中， OMP 180 ( POM OPM ) 180 45 135（ 2） 连接 CM ， 作过 O、 M、 C 三点的外接圆， 即 N ， 连接 NC、 NO ， 在 N的优弧
10、上任取一点 H ，连接 HC、 HO . 如图所示：14由题意知： OP OC， POM COM， OM OM POM COM OMP OMC 135在 N 的内接四边形 CMOH 中， H 180 OMC 180 135 45 N 2 45 90由题意知： OC 1 AB 1 4 22 2在等腰直角三角形 CNO 中， NC NO由勾股定理得： NC 2 NO 2 OC 2 即 2 NC 2 22 NC 2当点 P 在 上 运 动 时 ，点 M 在 上运 动90 的长 为：180 与 关于 OC 对称2 2 2 当点 P 在 上 运 动 时 ， 点 M 所 在 弧 上 的 运 动 路 径 长
11、 与当点 P 在 上 运 动 时 ， 点 M 在上运 动的 路径 长相 等 当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时，求内心 M 所经过的路径长为：2 2 2215（2018 遵义）25. (12 分 )如 图 ，AB 是 半 圆 O 的 直 径 ，C 是 AB 延 长 线 上 的 点 ，AC 的 垂 直 平 分 线 交 半 圆 于 点D，交 AC 于点 E，连接 DA，DC.已知半圆 0 的半径为 3，BC=2.(1) 求 AD 的 长 .(2) 点 P 是 线 段 AC 上 一 动 点 ， 连 接 DP，作DPF=DAC，PF 交 线 段 CD 于 点 F.当DPF 为 等 腰 三 角
12、 形 时 ， 求 AP 的 长 .16（2018 哈尔滨）171819类型 2 与切线有关的计算与证明（2018 十堰）23.如图， 中， ，以 为直径的 交 于点 ，交 于点 ，过点 作ABCABOBCDAED于点 ，交 的延长线于点 .FGACG（1）求证： 是 的切线；FGOA（2）若 ，求 的值.tan2CB（2018德州）22.如图, 是 的直径,直线 与 相切于点 ,且与 的延长线交于点 .点 是AOCDOACABEC的中点.ABF(1)求证: ADC(2)若 . 的半径为 3，一只蚂蚁从点 出发，沿着 爬回至点 ,求蚂蚁爬过的路程30OBAECB结果保留一位小数.147，20（2
13、018绵阳）如图，AB 是 的直径，点 D 在 上（点 D 不与 A，B 重合） ，直线 AD 交过点 B 的切线于点 C，OO过点 D 作 的切线 DE 交 BC 于点 E。（1）求证：BE=CE；（2）若 DE 平行 AB，求 的值。ACsin21（2018滨州）22.如图， 为 的直径,点 在 上, 于点 ,且 平分 .求证;(1)直ABOCADCADB线 是 的切线;(2) .DCOA2CD（2018 内江）26.如图，以 的直角边 为直径作 交斜边 于点 ，过圆心 作 ，交RtABCOACDO/EAC于点 ，连接 .BCED（1）判断 与 的位置关系并说明理由；O（2）求证： ；2C
14、E（3）若 ， ，求 的长.4tan35A（2018内江）如图，以 RtABC 的直角边 AB 为直径作O 交斜边 AC 于点 D，过圆心 O 作 OEAC，交 BC 于点 E，连接 DE（1）判断 DE 与O 的位置关系并说明理由；（2）求证：2DE 2=CDOE；（3）若 tanC= ，DE= ，求 AD 的长22【解答】解：（1）DE 是O 的切线，理由：如图，连接 OD，BD，AB 是O 的直径，ADB=BDC=90，OEAC，OA=OB，BE=CE，DE=BE=CE，DBE=BDE，OB=OD，OBD=ODB，ODE=OBE=90，点 D 在O 上，DE 是O 的切线；（2）BCD=
15、ABC=90，C=C，BCDACB， ，BC 2=CDAC，由（1）知 DE=BE=CE= BC，4DE 2=CDAC，由（1）知，OE 是ABC 是中位线，AC=2OE，4DE 2=CD2OE，2DE 2=CDOE；（3）DE= ，BC=5，23在 RtBCD 中，tanC= = ，设 CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得， （3x） 2+（4x） 2=25，x=1（舍）或 x=1，BD=4，CD=3，由（2）知，BC 2=CDAC，AC= = ，AD=ACCD= 3= （2018甘肃）（2018南充）22.如图， 是 上一点，点 在直径 的延长线上， 的半径为 3， ， .COAPABO
16、A2PB4C（1）求证： 是 的切线.PCOA（2）求 的值.tanB2422.解：（1）证明：连接 .OC 的半径为 3， .OA3B又 ， .2BP5在 中， ，C22245P 为直角三角形， .90OC ，故 为 的切线.OPA（2）过 作 于点 ， .CD90DP ， .C ， ， ， ， .PO2O25OC43D125C又 ，45AD在 中， .RtC1tan2CDAB（2018金华/丽水）如图，在 Rt ABC 中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心， OB 为半径作圆，分别与 BC,AB 相交于点 D,E，连结 AD.已知 CAD= B.（1）求证： AD 是 O 的切线.
17、（2）若 BC=8，tan B= ,求 O 的半径.1225（2018 宁波）（2018 衢州）如图，已知 AB 为O 直径，AC 是O 的切线，连接 BC 交O 于点 F，取弧 BF 的中点 D，连接 AD 交BC 于点 E，过点 E 作 EFAB 于 H。（1）求证：HBEABC；（2）若 CF4，BF5，求 AC 和 EH 的长。26（2018枣庄）23如图，在 中， ， ，以 为直径作 交 于RtACB09cmBCA4,3OAB点 .D（1）求线段 的长度；A（2）点 是线段 上的一点，试问：当点 在什么位置时，直线 与 相切？请说明理由.FEEDO解：（1）在 RtACB 中，AC=
18、3cm，BC=4cm，ACB=90，AB=5cm；连接 CD，BC 为直径，ADC=BDC=90；A=A，ADC=ACB，RtADCRtACB； ， ；（2）当点 E 是 AC 的中点时，ED 与O 相切；证明：连接 OD，DE 是 RtADC 的中线；ED=EC，EDC=ECD；OC=OD，27ODC=OCD；EDO=EDC+ODC=ECD+OCD=ACB=90；EDOD，ED 与O 相切（2018 成都）20.如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， 为 上一点，经过点RtABC90ADBCDOAB， 的 分别交 ， 于点 ， ，连接 交 于点 .ADO EFOG（1）求证： 是 的切线；B
19、CO（2）设 ， ，试用含 的代数式表示线段 的长；AxFy,xyAD（3）若 ， ，求 的长.8E5sin13DG2823 （10 分） （2018自贡）如图，在ABC 中，ACB=90（1）作出经过点 B，圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的O 与边 AB 交于异于点 B 的另外一点 D，若O 的直径为 5，BC=4；求 DE 的长 （如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）解：（1）O 如图所示；（2）作 OHBC 于 H29AC 是O 的切线，OEAC，C=CEO=OHC=90，四边
20、形 ECHO 是矩形，OE=CH= ，BH=BCCH= ，在 RtOBH 中，OH= =2，EC=OH=2，BE= =2 ，EBC=EBD，BED=C=90，BCEBED， = ， = ，DE= （2018 泸州）24.如图 10，已知 AB，CD 是 O 的直径，过点 C 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 P， O 的弦 DE 交AB 于点 F，且 DF=EF.（1）求证： ；2COP（2）连接 EB 交 CD 于点 G，过点 G 作 GH AB 于点 H，若 PC= ，PB=4，求 GH 的长. 42【解答】 （1）证明：PC 是O 的切线，O PHGFEDCBA30OCPC，PCO=90，AB 是直径，EF=FD，ABED，OFD=OCP=90，FOD=COP，OFDOCP， = ，OD=OC，OC 2=OFOP（2）解：如图作 CMOP 于 M，连接 EC、EO设 OC=OB=r在 RtPOC 中，PC 2+OC2=PO2，（4 ） 2+r2=（r+4） 2，r=2，CM= = ，DC 是直径，CEF=EFM=CMF=90，四边形 EFMC 是矩形，EF=CM= ，在 RtOEF 中，OF= = ，EC=2OF= ，ECOB， = = ，
