1、2018 年上学期高二年级期终考试试题数学（理科）考生注意： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟.2.所有试题请在答题卡上作答，答题卷上作答无效，考试结束后只收答题卡.第卷一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合 ， ,则 等于(C) 05|2xM2,34,678NNMA. B. C. D.4,36,，5432，2.已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（A）z3i1zA. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3宋元时期数学名著算
2、学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 分别为 12，4，则输出的 等于（A）,abnA4 B5 C 6 D7 4在等差数列 中， 是函数 的两个零点，则 的前 10 项n38, 183)(2xf na和等于（ B ）A B15 C30 D 15 305函数 f(x)3sin(2 x )在区间0， 上的值域为(B) 6 2A ， B ，3323C ， D ，326已知 ， ，且 ，则向量 在 方向上的投影为（ C ）3a2bababA 1B C. D22327某几何体的三视图如图 4 所示，则该几何体的
3、体积为( B )A24 B83 3C. D833 10338设 ，则二项式 展开式的常数项是（ A 0sinaxd8()ax）A. 1120 B. 140 C. -140 D. -11209.函数 的图像恒过定点 A，若定点 在直线12(0,1)xyaa 1xymn上，则 nm3的最小值为（ D ）),0(nmA. 13 B.14 C.16 D. 1210抛物线 的焦点为 ,过点 的直线交抛物线于 、 两点，点 为 轴28xyFMNPx正半轴上任意一点，则 （ B ）)()PNOMP（A. B. C. D. 2012-12011已知圆 ，,1a-xC22by： 640xy平 面 区 域 ：C(
4、,)2,8xab若 圆 心 ， 且 圆 与 轴 相 切 ， 则 圆 心 与 点 （ ） 连 线 斜 率 的 取 值 范 围 （ A）A B7-35， ， 7-35（ ， ） （ ， ）C D -， -,，12已知函数 , ，若方程 在240()ln,xf()1gxk()0fxg时有 3 个实根，则 的取值范围为( B )2,xeA. B. C. D. (1,(,3,2231(,),+)e第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将正确答案填写在答题卡上）133 名医生和 9 名护士被分配到 3 所学校为学生体检，每所学校分配 1 名医生和 3
5、 名护士，不同的分配方法共有_种. 10080 14.现在“微信抢红包”异常火爆在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为 9 元，被随机分配为 元， 元， 元， 元， 元，共 5 份，供甲、乙1.49.2.193.40.6等 5 人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 5 元的概率是_ 015已知双曲线 的两条渐近线分别与抛物线 的准线交于 A， B 两214yx2(0)xpy点 O 为坐标原点若 OAB 的面积为 2，则 的值为_. p-4p16已知 ABC 中，角 A， B， C 成等差数列，且 ABC 的面积为 2 ，则 AC 边长的最小32值是_. 三.
6、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)等比数列 的各项均为正数，且 ， .na123a6239a(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 .na1nbnbnT17.(本题满分 12 分)设数列 的公比为 .由 = 得 ，所以 .naq23a692439a912q（2 分）由条件可知 ，故 .由 得 ，所以 .（4 分）0q31123a13aq1a故数列 的通项公式为 （6 分）na1n(2) (7 分)1(3b（8 分）022113124()3(32nnnT （ ）（10 分）1211-233()nnn （ ） （ ） 得
7、 T（12 分）()4n18. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 中,底面 是边长为 2 的正方形,侧PABCD面 是等腰直角三角形,且 ,侧面 底面09PAD.ABC(1)若 分别为棱 的中点,求证: 平面 ；MN、 BCD、 MNPB(2)棱 上是否存在一点 ,使二面角 成 角，若存在,求出 的长；若PFAC03PF不存在,请说明理由.【答案】(1)略;( ) 236P【解析】(1)取 中点 ,连结 , 分别为 、 中点， AQBN、 Q、 PDAQN, ,2 分 又点 为 中点, 且 ,四边形D12NMCBM为平行四边形, , （3 分）BM又 平面 , 平面 , 平面 . （5
8、分）QPAPABNPA(2)取 中点 ,连结 、 , 是以 为直角的等腰直角三角形,又DOD为 的中点, ,又平面 平面 ,由面面垂直的性质定理得BC平面 ,又 平面 , ,由已知PABCMABOPM易得: 、 、 两两垂直.（6 分）O以 为原点,分别以 、 、 正方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系如图示,则,设(10)(,2)(0,1)(20)ABC、 、 P、 PCF,则: , . （7 分）)02(AB1,2PFA设平面 ABF 的法向量为 ,则 ,zyxn0AnB ,令 ,则0121xy1, . （9 分）,0zy,n又平面 的法向量为 ,由二面角 成 角得:AB
9、CD10OPFABC03, ,解得: ,或03cosOPn2311032不合题意,舍去（11 分）2. ,当棱 上的点 满足 时, 二面角236CFPCF26P成 角. （12 分）AB019. (本题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 （单位：万元）对年销x售量 （单位：吨）和年利润 （单位：万元）的影响。对近六年的年宣传费 和年销售yz ix量 的数据作了初步统计，得到如下数据：(1,2345,6)i年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018年宣传费 （万元）x38 48 58 68 78 88年销售量 （吨）y16.8 18.8
10、 20.7 22.4 24.0 25.5经电脑模拟，发现年宣传费 （万元）与年销售量 （吨）之间近似满足关系式xy即 。对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下(,0),baxlnlnyba表： 61(ln)iiix61(l)iix61(ln)iiy621(ln)iix75.3 24.6 18.3 101.4（1）根据所给数据，求 关于 的回归方程；yx（2）规定当产品的年销售量 （吨）与年宣传费 （万元）的比值在区间 内时认x,86e为该年效益良好。现从这 6 年中任选 2 年，记其中选到效益良好年的数量为 ，试求随机变量 的分布列和期望。（其中 为自然对数的底数， ）e2.71e附：对于一
11、组数据 ，其回归直线 中的斜率和截距12,nuvuv vu的最小二乘估计分别为 122,niii【答案】(1) ；(2)见解析.yex解：（1）由 令 得,(0,)lnln,bayabxl,lniiiuvy，由数据可得：lnvu24.618.3,05(2uv分 ), ,于是6611()(ln)75.3iiiiixy6221(ln).4iix，（4 分）12()2niiiuvb得 故所求回归方程为 （6 分）lnavu,aeyex（2）条件 ，于是求出 ，（7 分）,36,48yxx 38,45即 6 年中有 3 年是“效益良好年”， ，（8 分）由题得01,2，02132669;155CCPP
12、（10 分）236;0 1 2p153515（11 分）所以 的分布列如表所示，且 。 （12 分）1E20. （本小题满分 12 分）如图，一张坐标纸上已作出圆 ： 及点 ，折叠此纸片，使8)(2yx)0,1(P与圆周上某点 重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线 的交点为 ，令点P EM的轨迹为曲线 .MC（1）求曲线 的方程；（2）若直线 与轨迹 交于 两点,且直线 与以 为mkxyl: BAlP直径的圆相切，若 ，求 的面积的取值范围45,6OABO20. 解：（1）折痕为 PP的垂直平分线，则|MP|=|MP|，由题意知圆 E 的半径为 ，2|ME|+|MP|=|ME|+|MP|=
13、 |EP|， 2 分2E 的轨迹是以 E、P 为焦点的椭圆，且 ，2,1ac ，M 的轨迹 C 的方程为 4 分221bacxy（2） 与以 EP 为直径的圆 x2+y2=1 相切，则 O 到 的距离：l l，即 ，5 分2|1mk21k由 ，消去 y，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m22=0， 6 分xyk直线 与椭圆交于两个不同点，l=16k 2m28（1+2k 2）（m 21）=8k 20，k 20，设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则 ， 212124,kmxxky1y2=（kx 1+m）（kx 2+m）=k 2x1x2+km（x 1+x2）+m 2= ， 7 分
14、2又 ， ， ，2kOABxy 24556k2143k1|2ABS 242221m()1+k1（ -设 =k 4+k2，则 ， ，10546915,44+69AOBS（ ）分S AOB 关于 单调递增， ，,110265AOBSAOB 的面积的取值范围是 12 分2,521（本题满分 12 分）设 ,函数 .aR()lnfxa(1) 若 ，求曲线 在 处的切线方程；3()yf1,3P(2)求函数 单调区间()fx(3) 若 有两个零点 ,求证: .12x21xe解：在区间 上, . （1 分）0()af（1 ） 当 时， 则切线方程为 ，3a12f (3)2()yx即 （2 分）20xy（2）
15、若 ,则 , 是区间 上的增函数, （3 分）a()f()fx0若 ,令 得: .（4 分）0()fx1a在区间 上, ,函数 是增函数; （5 分）1(0)a()0fx()fx在区间 上, ,函数 是减函数;（6 分）()f()f(3)设 120x120,xQ12ln0,ln0xaxa,2ln()a2ln()原不等式 （8 分）1212xex令 ,则 ,于是12()a1212lx122()lnx1t.（9 分）212()lnlnxt设函数 ,(1)()ltgt求导得: （11 分）224()()0)ttt故函数 是 上的增函数, gt1()1gt即不等式 成立,故所证不等式 成立.（12 分
16、）2()lnt21xe请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 （ t为参数， ），以原点xymR为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C的极坐标方程为2230cos（1）写出曲线 1C的普通方程和曲线 2C的直角坐标方程；（2）已知点 P是曲线 2上一点，若点 P到曲线 1的最小距离为 ，求 m的值2【解析】（1）由曲线 1C的参数方程，消去参数 t，可得 1C的普通方程为： 0xym（2 分）由曲线 2的极坐标方程得 ， ，（4 分）223cos30,曲线
17、 2C的直角坐标方程为21xy（5 分）（2）设曲线 上任意一点 P为 ， ，则点 P到曲线 1C的距离3cos,in0,为 （7 分）23cosin62mmd ， ， ，0,3cs1,62cos2,36当 3m时，即 ；（9 分）当 2时， 或 （10 分） 43m423.（10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， ， .2()fx()1gxaxR（1）若 ，求不等式 的解集；4af（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.12,xR12()fxga解：（）当 时， .4a|4|（2 分）3()|1|251xgxx， ， ， ，时， 恒成立， ； （3 分）4 234x当 时， ，即 ，即 或 .1x5201x3综合可知： ； （4 分）当 时， ，则 或 ，综合可知： .（5 分）x 231xx由可知： 或 . （6 分）|1xx（2） ，（7 分）2()f（8 分）gxax|1|（10 分）12()f|a3
