1、宜昌市人文艺术高中 2018 年秋季学期十月阶段性检测高三年级数学（理）试卷一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 2. 已知函数 ，则 A. 是奇函数，且在 R 上是增函数 B. 是偶函数，且在 R 上是增函数C. 是奇函数，且在 R 上是减函数 D. 是偶函数，且在 R 上是减函数3. 若函数 在 上是单调函数，则 a 的取值范围是 A. B. C. D. 4. 若将函数 的图象向左平移 个单位，所得的图象关于 y 轴对称，则 的最小值是 A. B. C. D. 5.
2、 已知函数 ，且 ，则 A. B. C. D. 6. 若 ， ， ， ，则 A. B. C. D. 7. 已知命题 p：对任意 ，总有 ；q：“ ”是“ ”的充分不必要条件，在下列命题为真命题的是( )A. B. C. D. 8. 若 ，则 的值为 A. B. C. D. 9. 已知向量 ，向量 则 的最大值，最小值分别是 A. ，0 B. 4， C. 16，0 D. 4，010. 已知函数 ，且在 上的最大值为 ，则实数 a 的值为 A. B. 1 C. D. 211. 已知函数 是奇函数，其中 ，则函数 的图象 A. 关于点 对称B. 关于轴 对称C. 可由函数 的图象向右平移 个单位得到
3、D. 可由函数 的图象向左平移 个单位得到12. 设函数 在 R 上存在导函数 ，对于任意的实数 x，都有 ，当时， ，若 ，则实数 m 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. “ ”是“ ”的_条件 填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要” 14. _15. 曲线 上任一点 P 到直线 的距离的最小值为_16. 定义在 R 上的函数 满足 ，当 时， ，则函数在 上的零点个数是_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23
4、题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17. 12 分 已知函数 求函数 的对称中心； 求 在 上的单调区间18. （12 分 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 求 ；若 ， 的面积为 2，求 b12 分 如图，在四棱锥 中，平面 平面ABCD， ， ， ，点 E 在 BC 上， 求证：平面 平面 PAC；若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值20. 12 分 已知函数 为自然对数的底数 当 时，试求 的单调区间； 若函数 在 上有三个不同的极值点，求实数 a 的取值范围21. 12 分 已知函数 当函数 在点 处的切线方程
5、为 ，求函数 的解析式；在 的条件下，若 是函数 的零点，且 ， ，求 n 的值；当 时，函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： 0/（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22（10）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的参数方程为 为参数 ，曲线 的极坐标方程为求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；设 P 为曲线 上一点，Q 曲线 上一点，求 的最小值23（10 分 已知函数 当 时，求不等式 的解集；设关于 x 的不等式 的解集为 M，且 ，求 a 的取值范围宜昌市
6、人文艺术高中十月阶段性检测高三年级数学（理）试卷【答案】1. A 2. A 3. B 4. C 5. C 6. C 7. A8. A 9. D 10. B 11. B 12. A13. 充分不必要 14. 15. 16. 605 17. 解：函数 化简可得：令 ，得 ，故所求对称中心为 令 ，解得又由于 ，故所求单调增区间为 令 ，解得又由于 ，故所求单调减区间为 18. 解： ，；由 可知 ， 19. 证明： 平面 平面 ABCD，平面 平面 ， ，平面 ABCD， 以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则 0， ， 2， ， 1， ，
7、 4， ，设 0， ， ，则 4， ， 0， ， ， ， ， 平面 PAC，平面 PED， 平面 平面 PAC解： 由 知平面 PAC 的一个法向量为，直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 ，1， ，解得 ， ，即 0， ，设平面 PCD 的一个法向量为y， ，2， ， ，取 ，得 ，二面角 的平面角是锐角，二面角 的余弦值为 20. 解： 易知，函数的定义域为 ，当 时，对于 ， 恒成立，所以 若 ， ，若 ， ，所以单调增区间为 ，单调减区间为 ； 由条件可知 在 上有三个不同的根，即 在 有两个不同的根，令 ， ，时单调递增， 时单调递减， ， ， 21. 解： ，所以 ，函数
8、 的解析式为 ； 分 ，因为函数 的定义域为 ，令 ，当 时， ， 单调递减，当 时， 0/，函数 单调递增，且函数 至少有 1 个零点，而 ，不符合要求，故 分 当 时，函数 ，两式相减可得： 分 ，因为 ，所以 ，设 ，所以 在 上为增函数，且 ，又 ，所以 0(12/分 22. 解： 由 消去参数 ，得曲线 的普通方程为 由 得，曲线 的直角坐标方程为 设 ，则点 P 到曲线 的距离为 当 时，d 有最小值 ，所以 的最小值为 23. 解： 当 时， ， 即 或 或解得 或 或 ，所以 或 或 所以原不等式的解集为 因为 ，所以当 时，不等式 恒成立，即 在 上恒成立，当 时， ，即 ，
9、所以 ，所以 在 上恒成立，所以 ，即 ；当 时， ，即 ，即 ，所以 在 上恒成立，所以 ，即 ；综上，a 的取值范围为 【解析】1. 【分析】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用先分别求出集合 A 和 B，再求出 和 ，由此能求出结果【解答】集合 ，故 A 正确，D 错误；，故 B 和 C 都错误故选 A2. 解： ，即函数 为奇函数，又由函数 为增函数， 为减函数，故函数 为增函数，故选：A由已知得 ，即函数 为奇函数，由函数 为增函数， 为减函数，结合“增” “减” “增”可得答案本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象
10、和性质的综合应用，难度不大，属于基础题3. 【分析】本题考查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查分离常数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题由求导公式和法则求出 ，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a 的取值范围【解答】解：由题意得， ，因为 在 上是单调函数，所以 或 在 上恒成立，当 时，则 在 上恒成立，即 ，设 ，因为 ，所以 ，当 时， 取到最大值是：0，所以 ，当 时，则 在 上恒成立，即 ，设 ，因为 ，所以 ，当 时， 取到最小值是： ，所以 ，综上可
11、得， 或 ，所以实数 a 的取值范围是 ，故选 B4. 解：函数 图象向左平移 可得： 图象关于 y 轴对称，即 解得： ，当 时， 的值最小值为 故选 C将 化简只有一个函数名，通过变换后图象关于 y 轴对称建立关系，可得 的最小值本题主要考查了函数 的图象变换规律，属于基础题5. 【分析】本题考查了分段函数由函数值求自变量的问题，注意分段讨论，本题分为两段，每一段要注意前提条件，即本段函数的定义域，最后加以整合。【解答】解：已知函数 ， ， ，方程无解， ，解得 ，则 故选 A6. 解： ， ， ， ，故选：C，可得 ， ，因此 ， ，即可得出本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推
12、理能力与计算能力，属于基础题7. 【分析】本题主要考查命题真假性的判断，以及复合命题真假性的判定，属于基础题目 先判断命题p，q 的真假，再判断复合命题的真假【解答】解：对于命题 p：因为 恒成立，故命题 p 正确对于 “ ”是“ ”的必要不充分条件，故命题 q 不是真命题，所以 是真命题故选 A8. 【分析】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题 利用二倍角公式求出的值，再利用诱导公式求出 的值【解答】解： ，故选 A9. 解： ，最大值为 4，最小值为 0故选：D先表示 ，再求其模，然后可求它的最值本题考查平面向量数量积的运算，三角函数的最值，是中档题10. 解：由已知得
13、，对于任意的 ，有 ，当 时， ，不合题意；当 时， ， ，从而 在 单调递减，又函数在上图象是连续不断的，故函数 在 上的最大值为 ，不合题意；当 时， ， ，从而 在 单调递增，又函数在上图象是连续不断的，故函数 在 上的最大值为 ，解得 ，故选：B 由题意，可借助导数研究函数 在 上的单调性，确定出最值，令最值等于 ，即可得到关于 a 的方程，由于 a 的符号对函数的最值有影响，故可以对 a 的取值范围进行讨论，分类求解本题考察了利用导函数研究其单调性和函数的最值问题，需要分类讨论 属于中档题11. 【分析】利用三角函数的奇偶性求得 ，再利用三角函数的图象对称性、函数 的图象变换规律，判
14、断各个选项是否正确，从而得出结论本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数 的图象变换规律，属于中档题【解答】解：函数 是奇函数，其中 ，是奇函数， ，则函数 ，令 ，求得 ， ，可得 的对称轴为 ， ，故 A 不正确，B 正确，根据函数 ，故把函数 的图象向右平移 个单位，可得 的图象，故 C、D 均不正确故选 B12. 解： ，设 ，则 ，函数 为奇函数时， ，故函数 在 上是减函数，故函数 在 上也是减函数，若 ，则 ，即 ，解得： ，故选：A利用构造法设 ，推出 为奇函数，判断 的单调性，然后推出不等式得到结果本题考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，难度
15、比较大13. 【分析】此题主要考查不等式的基本性质和充分必要条件，是一道基础题【解答】解：由题意得， ，解得 ，“ ”是“ ”的充分不必要条件，故答案为充分不必要14. 【分析】本题主要考查了定积分的计算【解答】解：因为 ，所以 ，而 表示以原点为圆心，半径为 1 的圆的 ，其面积为所以 ，故答案为 15. 【分析】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线问题和点到直线的距离公式的应用【解答】解： 点 P 是曲线 上任意一点，当过点 P 的切线和直线 平行时， 点 P 到直线 的距离最小直线 的斜率等于 1，令 ，得方程 ，解得 舍去 或 ，故曲线 上和直线 平行的切线经过的切点坐标 ，点 到
16、直线 的距离等于 ，故点 P 到直线 的最小距离为 故答案为 16. 【分析】 本题考查抽象函数及其应用，求得函数的周期为 10，且一个周期内函数 有三个零点是关键 由 ，可得 为周期为 10 的函数，根据函数图象，当 时，有三个零点，从而可得结果【解答】解： ， ， 两式相减得， ， 为周期为 10 的函数， 时， 令 得：x ， 在同一坐标系中作出 与 的图象如下， 由图知：当 时，函数 有 3 个零点 轴右侧的两个零点为 2 和 ， ，当 时， ，函数单调递减，即无零点，综上：函数 在一个周期内有三个零点， ，在区间在 上有 201 个完整周期，这 201 个周期内共 603 个零点，在
17、 内有 2 个零点， 函数 在 上共有 605 个零点 故答案为 17. 将函数利用二倍角和辅助角化简，结合三角函数的性质可求函数 的对称中心； 求出 的单调增加区间，与 求交集，可得答案本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键18. 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题利用三角形的内角和定理可知 ，再利用诱导公式化简 ，利用降幂公式化简 ，结合 ，求出 ；由 可知 ，利用面积公式求出 ac，再利用余弦定理即可求出 b19. 以 A 为原点， AB、AD、AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴，z
18、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面 平面 PAC求出平面 PAC 的一个法向量和平面 PCD 的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20. 求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； 做题转化为 在 有两个不同的根，且 ，令 ，根据函数的单调性求出 a 的范围即可本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题21. 求出函数的导数，解关于 a，b 的方程组，求出 a，b 的值，从而求出函数的解析式即可；求出函数的导数，得到函数的
19、单调区间，计算函数值，求出 n 的值即可；将 代入 ，通过作差法和换元法结合函数的单调性证明即可本题考查了曲线的切线方程问题，函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及换元思想的应用，是一道综合题22. 由 消去参数 ，得曲线 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化方法，得到曲线 的直角坐标方程；设 ，利用点到直线的距离公式，即可求 的最小值本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题23. 将 代入，根据零点分段法去掉绝对值，分别解出不等式再合并；不等式的解集为 M，且 ，即不等式在 上恒成立，根据零点分段去掉绝对值，分离参变量并求出最值，可得 a 的取值范围本题考查零点分段法解绝对值不等式以及含绝对值的恒成立问题，属于中档题
