1、20182019 学年第一学期期初教学质量调研卷高三数学（正卷） 20189注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分 160 分，考试时间 120 分钟2答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的0.5指定位置3答题时，必须用 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答0.5一律无效4如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的
2、圆珠笔方差公式： ，其中 .22221()()()nsxxxn 12()nxxn锥体体积公式： ( 为锥体底面面积， 为锥体的高).=3VSh锥 体 h一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1已知集合 ，集合 ，则 1,0A|0BxAB2若复数 ， ( 为虚数单位) ，且 为实数，则实数 12iz2iza12za3一组数据 1，2，3，4，a 的平均数为 2，则该组数据的方差等于 4如图是某一算法的伪代码，则输出值 n 等于 5一只口袋中装有 5 个大小相同的球，其中 3 个黑球，2 个白球，从中一次摸出 2 只球，则
3、摸出 1 个黑球和 1 个白球的概率等于 6已知函数 为奇函数，则实数 a 的值等于 2(0)()xfa7已知函数 ( )的一条对称轴是 ，则 ()sin2)fx0 512x8已知等比数列 的前 项和为 ，若 成等差数列，则 的值为 na nS264,S46a9已知ABC 的三边上高的长度分别为 2，3，4，则ABC 最大内角的余弦值等于 10将一张半径为 (cm)的圆形纸片按如图所示的实线裁剪，并按虚线折叠为各棱长31均相等的四棱锥，则折叠所成的四棱锥的体积为 cm311如图，已知 与 交于点 ，ABCD， ， ，则当ACBDE10AC26BCD时， tan312已知函数 f (x)| x2
4、6|，若 ，且 f (a)f (b)，则 a2b 的最大值是 0ab13在斜三角形 中，已知 ，则 的最大值等于 ABC1tn0tntCABtn14已知C 的方程为： ，若直线 上存在一点 P，在22(3)()()xyr3xyC 总存在不同的两点 M，N ，使得点 M 是线段 PN 的中点，则 C 的半径 r 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本题满分 14 分）(第 10 题)(第 11 题)已知 43cos,(0,)72（1）求 的值；in()4（2）若 ，求 的值1cos,(0,)2
5、16 （本题满分 14 分）如图，已知矩形 和直角梯形 ，ABCD， ，DE=DA ，CDEFABCD90ADCM 为 AE 的中点(1)求证：AC平面 DMF；(2)求证：BEDM(第 16 题)17 （本题满分 14 分）如图，有一块半圆形的空地，政府计划在空地上建一个矩形的市民活动广场 ABCD 及矩形的停车场 EFGH，剩余的地方进行绿化其中半圆的圆心为 O，半径为 r，矩形的一边AB 在直径上，点 C，D，G， H 在圆周上，E，F 在边 CD 上，且BOG= ，设60BO(1)记市民活动广场及停车场的占地总面积为 ，求 的表达式；()f()f(2)当 为何值时，可使市民活动广场及停
6、车场的占地总cos面积最大18 （本题满分 16 分）已知椭圆 C： 的左、右顶点分别为 ，B，离心率为 ，点 P(1,21(0)xyabA12)为椭圆上一点32(第 17 题)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)如图，过点 且斜率大于 1 的直线 与椭圆交于 M，N 两点，记直线 的斜(0,1)l AM率为 ，直线 的斜率为 ，若 ，求直线 斜率的值1kBN2k12kl19 （本小题满分 16 分）已知数列 的奇数项是首项为 的等差数列，偶数项是首项为 的等比数列，数列na12前 项和为 ，且满足 ， naS34a523a(1)求数列 的通项公式；na(2)若 ，求正整数 的值；12mm(3
7、)是否存在正整数 ，使得 恰好为数列 中的一项？若存在，求出所有满足21mSna条件的 值，若不存在，说明理由.(第 18 题)20 （本小题满分 16 分）若对任意的实数 ， ，函数 与直线 总相切，则称函数kb()yfxkbykxb为“恒切函数” ()fx(1)判断函数 是否为“恒切函数”；2()fx(2)若函数 ( )是“恒切函数”，求实数 m，n 满足的关系式；()lnfm0(3)若函数 是“恒切函数”，求证： ()e1)xxf10420182019 学年第一学期期初教学质量调研卷高三数学（附加卷） 2018921 【选做题】在 A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，
8、共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图，O 为ABC 的外接圆，BAC 的平分线交O 于点 D，过点 D 作O 的切线分别与 AB，AC交于点 E，F 求证：BCEF注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试卷第 21 题有 A，B，C，D 4 个小题供选做，每位考生在 4 个选做题中选答 2 题若考生选做了 3 题或 4 题，则按选做题中的前 2 题计分第 22，23 题为必答题每小题 10 分，共 40 分考试时间 30 分钟考试结束后，请将答题卡交回.2
9、. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4. 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 OCDFEBAB选修 42：矩阵与变换已知矩阵 的两个特征向量为 ， ，若 ，求 1mnM102125MC选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程为 以极点为平面直角坐标系的的原点，极轴为 x4
10、cos轴的非负半轴，建立平面直角坐标系直线 l 的参数方程是(t 为参数) 1cosinxty(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且 ，求直线 的倾斜角 的值|13ABlD选修 45：不等式选讲已知正实数 ，y，z 满足 ，求证： xxyz1132xyzx【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）已知直三棱柱 ，ABAC， ， ，B 1CAC 1现以 A 为原点，1ABC3AB4分别以 AB，AC ，AA 1
11、所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系如图所示(1)求 的长度；1(2)若 ，求二面角 的正弦值BP1PAC23 （本小题满分 10 分）设 ( ， )，若在 的展开式()nfab2 N*()fn中，存在连续的三项的二项式系数依次成等差数列，则称具有性质 P()fn(1)求证： 具有性质 P；(7)f(2)若存在 ，使得 具有性质 P，求 n 的最大2018n ()fn值zyx (O)ACBPA1B1 C120182019 学年第一学期期初教学质量调研卷高三数学（正卷）参考解答与评分标准一、 填空题：（每题 5 分，满分 70 分）1 2 3 4 542362 7 8 9 1031242
12、311 1216 13 1412 240,)15二、解答题（共 6 小题，满分 90 分）15 （本题满分 14 分）解：(1)由 ，43cos,(0,)72得 ， 2 分22431sin1cs1()7所以 4 分si()sinocsin44 6 分231627(2)因为 ，所以 ,(0,)2(0,)又 ，则 8 分1cos422153sin1cos()()4所以 10 分ini sin 12 分534172因为 ，所以 14 分(0,)2616 （本题满分 14 分）证明：(1)连接 EC 交 DE 于 N，连接 MN矩形 ，EC，DF 相互平分，N 为 EC 中点 2 分CDEF又M 为
13、EA 中点，MNAC 4 分又AC 平面 DMF，且 MN 平面 DMFAC平面 DMF 7 分(2)矩形 ，CD DECDEF又ABCD，AB DE 8 分又直角梯形 ，ABCD 且 ，ABAD AB90ADCDE AD=D，AB平面 ADE 10 分又DM 平面 ADE，ABDM ，M 为 AE 的中点，AEDM 11 分AE又AB ，MD 平面 ABE 13 分BE 平面 ABE，BEMD 14 分17 （本题满分 14 分）解：(1)半圆的半径为 r， ，OBC=90BOC在直角三角形 OBC 中， ， cosOBrsinr2cosAr 2 分2ACDSB矩 形又BOG = ，由半圆的
14、对称性可知，HOA= ，HOG= 60 6060NABCDE FMA BOD CHGEFHOG 为等边三角形，HG=r，HE = = 3sin2r3(sin)2r 4 分3(sin)2EFGHSr矩 形 ，其中 ()ABCDEFGHfS矩 形 矩 形 23(sicosin)r(0,)37 分(2) = 9 分22()cosincos)fr2(4cso2)r令 ，即 ，()0f240解得： 或 (舍去) 11 分13cos813cos8令 ， 0s0(,)3当 时， ， 单调递增；10(,)()f()f当 时， ， 单调递减20(,)3()0f()f当 时， 取得最大值 13 分0f答：当 时，
15、可使市民活动广场和停车场的面积总和最大 14 分13cos818 （本题满分 16 分）解：(1)椭圆的离心率为 ， 12ac又 ， 2abc3椭圆的标准方程为： 3 分214xycClNMy xOBA又点 P(1, )为椭圆上一点， ，解得： 5 分3229143c1c椭圆的标准方程为： 6 分24xy(2)由椭圆的对称性可知直线 的斜率一定存在，设其方程为 l 1ykx设 12(,)(,)MxyN联列方程组： ，消去 y 可得： 143ykx2(34)80kx由韦达定理可知： ， 8 分122834k1234xk ， ，且 ， 10 分12ykx21ykx12k12yx即 2124()()
16、又 在椭圆上，12,MxyN ， 2113(4)223(4)x将代入可得： ，即 12 分12()x121230()0xx ，即 14 分22883()0()0434kk23k解得： 或 又k1， 16 分163219 （本小题满分 16 分）解：(1)设奇数项的等差数列公差为 d，偶数项的等比数列公比为 q数列 的前 5 项依次为：1，2，1+d，2q，1+2dna ， ，解得： 2 分34523Sa213dq23dq 4 分12()3nna为 奇 数为 偶 数(2) 12m若 ( )kN*则 ， ，即 ， ，即 212kka13(2)3kk2131k2m6 分若 ( )21mkN*则 ，
17、， 2121kka123k12231kk 为整数， 必为整数， ， ，此时 13k 03不合题意 8 分综上可知：m=2 9 分(3) 21321242()()mmSaaa= + = 10 分31m 11 分212212mmSa = = 12 分21m23121()33m若 为数列 中的项，则只能为 21mSna123,a，则 ， ，m 无解 13 分21S21()3m10，则 ， 21mS21()3m1230m当 时，等式不成立；当 时，等式成立；2m当 时，令 3 122()331xxf ， ln()2xf2ln()xf当 时， ， 在 上单调递增3x ()0f()f3,)又 ， 在 上恒
18、成立，()9ln6f()0fx,) 在 上单调递增()fx3,) ，当 时，方程 无解 14 分10fm 1230m，则 ， ，即 15 分321mS21()321m综上可知： 或 16 分20 （本小题满分 16 分）解：(1)函数 为“恒切函数”，设切点为 ()fx0(,)xy则 ， 2 分00()fkbx0()fx对于函数 ， 2()f()fx设切点为 ， ， 3 分0(,)xy20x解得： 是“恒切函数” 4 分02()f(2)若函数 ( )是“恒切函数”，设切点为 ()lnfxmx00(,)xy ， ， 5 分()fx0lnx解得： ，即 7 分0ln1x0e实数 m，n 满足的关系
19、式为： 8 分0mne(3) 函数 是“恒切函数”，设切点为 ()1)xxfe0(,)xy ， ，()2)xxf00(1)2xxee 10 分00(1)2xxme考查方程 的解，设 2xe()2xge ，令 ，解得： ()1xg()0x ln当 时， ， 单调递减；(,ln2)()g()x当 时， ， 单调递增(l,)x()0() 12 分min)l2n1g当 时1(,l)x ， 24()0ge2(1)0ge 在 上有唯一零点 ()x(,ln)0(2,1)x又 = ， 14 分00(1)xxme0(2)4(,)4m当 时2(ln2,)x ， 在 上有唯一零点 0， 0)g(2xge(ln,)m
20、15 分综上可知： 16 分104m20182019 学年第一学期期初教学质量调研卷高三数学附加卷参考解答21A选修 41：几何证明选讲 (本题满分 10 分)证明：连接 BDEF 为O 的切线， BDE=BAD 2 分AD 为BAC 的平分线，BAD=DAF，则BDE=DAF 4 分又CBD=DAF(同弧所对的圆周角相等 ) 6 分CBD=BDE 8 分BCEF 10 分21B选修 42：矩阵与变换 (本题满分 10 分)解:设矩阵 M 的两个特征向量 ， 相对应的特征值分别为 ， 12 12 ，解得： ， ， 4 分120mn12又 6 分1210 10 分5 512121064M()64
21、21C选修 44：坐标系与参数方程 (本题满分 10 分)解：(1) ， cos24cos又 ， 4 分22csxy2xyABE FDCO曲线 C 的直角坐标方程为： 240xy(2)设 A， B 两点对应的参数值为 ，1t2将 (t 为参数)代入方程 整理可得：1cosinxty240xy 2cs30t由韦达定理可知： 12cost = 6 分21211|()4ABttt2cs31解得： 8 分cos又 ， 或 10 分0,)3221D选修 45：不等式选讲 (本题满分 10 分)证明： ，y，z 为正实数，由基本不等式可得：x11122xyzzxyz(当且仅当 时，等号成立 ) 5 分xy
22、z由柯西不等式可得： 1(1)22xyzxyzzx= 22(1)()xyzz32(当且仅当 时，等号成立 ) 10 分22 （本小题满分 10 分）解：(1)设 AA1=t，则 ， ， ， (0,)A1(,4)Ct1(3,0)Bt(,40)Cz yx(O)ACBPA1B1 C1 ， 1(0,4)ACt1(3,4)Bt ， ，即 ，解得： 11B10AC2160t4t 3 分14A(2) ， ，又 ， P(3,01)1(3,0)Bt(,40)C ， 1(,4AC1,A设 是平面 的法向量,)nxyz1PC则 ， 10A403yzx令 ，则 ， ， 是平面 的一个法向量 5 分z1y(,1)n1P
23、AC直三棱柱 ， 平面 ABC， 平面 ABC 1ABC1AB ，又ABAC ， 且 11 平面 AA1C， 是平面 AA1C 的一个法向量 7 分AB(3,0)AB 9 分cos,|n 26sin,1cos,3ABABn二面角 的正弦值为 10 分1PC23 （本小题满分 10 分）解：(1) 的展开式中第 2,3,4 项的二项式系数分别为：7()fab， ， ， ， ， 成等差数列17C271375C172C37 具有性质 P 3 分()f(2)假设 具有性质 P，则一定存在 ， ，fnN*k1kn 使得 ， ， 成等差数列， 1knCk1n 12kknnC !2()()()kkk化简可得： 5 分2240n ()k ， 是完全平方数 8 分,N*n2 ， ，n 的最大值为： 2018 24045241934此时 或 10 分9k
