1、数学（理工类） 参考 答案 及评分意见 第 1页（共 6 页） 绵阳市高中 2016 级第一次诊断性考试 数学（理工类）参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 BBABD CBDAD CC 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 7 14 -7 15 216 32-16 3 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17 解 ： （ ） 设 等差数列 an的公差为 d(d0)， 由 a4=7， 得 a1+3d=7， 2 分 又 a2， a6-2a1， a14 是 等比数列 bn的前三项 ， (a6-2a1)2=a2a1
2、4， 即 (5d-a1)2=(a1+d)(a1+13d)，化简得 d=2a1， 4 分 联立解得 a1=1， d=2 an=1+2(n-1)=2n-1 6 分 （ ） b1=a2=3， b2=a6-2a1=9， b3=a14=27 是等比数列 bn的前三项 ， 8 分 等比数列 bn的公比为 3，首项为 3 等比数列 bn的前 n 项和 Sn= 3(1 3 )13n =3(3 1)2n 10 分 由 Sn39， 得 3(3 1)2n 39， 化简得 3n27 解得 n3， n N* 12 分 18 解： （ ） 2( ) 3sin(2 ) 4cos3f x x x= + = 3(sin 2 c
3、os cos2 sin )33xx +2(1+cos2x) 2 分 = 33sin 2 cos222xx +2cos2x+2 = 31sin 2 + cos222xx+2 数学（理工类） 参考 答案 及评分意见 第 2页（共 6 页） = sin(2 ) 26x +， 4 分 由题意得 ( ) sin2( ) 2 266g x x = + + ， 化简得 g(x)= sin(2 )6x 6 分 （） 由 6 x 23 ， 可得 6 2x- 6 76 当 2 2x- 6 76 即 3 x 23 时，函数 ()gx单调递减 ()gx在 263， 上的单调递减区间为 233， 9 分 ()gx在 6
4、3， 上单调递增，在 233， 上单调递减， ()gxmax= ()3g = sin 12 = 又 2()3g = 7sin 6 =sin( + 6 )=- 1sin 62 = 0 时， 由 ( ) 0fx 解得 xlna， 由 ( ) 0fx 解得 x0 时，函数 ()fx在 (ln )a +， 上 单调递增， 函数 ()fx在 ( ln )a， 上 单调递减 5 分 （） 由 （） 知 ，当 a 0 时，函数 ()fx在 R 上单调递增 ， 函数 ()fx在 1， 2上 的最小值为 f(1)=e-a+3=4， 即 1ae=0， 矛盾 . 6 分 当 a0 时 ， 由 （）得 x=lna 是
5、函数 ()fx在 R 上的极小值点 当 lna 1 即 00， )(xf 在 (0， 1)上单调递增， (1 + )x， 时 ， )(xf 0， f(x)在 (0， x0)上单调递增， x (x0， + )时 ， )(xf 0， )(xf 在 (1， + )上单调递增 10 分 由 1(1) 0 (2) ln 2 02e= = + ， ， 得存在 0 (1,2)x ,使得 0( ) 0x = 即 0( ) 0fx = . 又关于 x 的方程 ()fx=0 有唯一解 x0，且 *0 ( 1)x n n n + N， ， ， 0 (1 2)x ， 故 n=1 12 分 22 解： （） 将 t=2
6、y 代入 x=3+ 32 t ，整理得 3 3 0xy = ， 所以 直线 l 的普通方程为 3 3 0xy = 2 分 由 4cos= 得 2 4 cos = ， 将 2 2 2xy =+， cos x= 代入 2 4 cos = ， 得 2240x y x+ = ， 即曲线 C 的直角坐标方程为 22( 2) 4xy + = 5 分 （） 设 A， B 的参数分别为 t1， t2 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得 2231(3 2) ( ) 422tt+ + = ， 化简 得 2 3 3 0tt+ = ， 由韦达定理 得 12 3tt+ = ， 于是 12 322P t
7、tt += = 6 分 数学（理工类） 参考 答案 及评分意见 第 6页（共 6 页） 设 P(x0， y0)， 则003 3 93 ( )2 2 41 3 3()2 2 4xy = + = = =，即 P( 94 ， 34 ) 8 分 所以点 P 到原点 O 的距离为 229 3 21( ) ( )4 4 2+ = 10 分 23 解： （） 当 x 12 时， )(xf =-2x-1+(x-1)=-x-2， 由 )(xf 2 解得 x -4，综合得 x -4； 2 分 当 1 12 x 时， )(xf =(2x+1)+(x-1)=3x， 由 )(xf 2 解得 x 23 ，综合得 23 x
8、1； 3 分 当 x 1 时， )(xf =(2x+1)-(x-1)=x+2， 由 )(xf 2 解得 x 0，综合得 x 1 4 分 所 以 )(xf 2 的解集是 2( 4 + )3 ， ， 5 分 （） )(xf =|2x+1|-|x-m| |x-3|的解集包含 3， 4， 当 x 3， 4时， |2x+1|-|x-m| |x-3|恒成立 7 分 原式可变为 2x+1-|x-m| x-3 即 |x-m| x+4， 8 分 -x-4 x-m x+4 即 -4 m 2x+4 在 x 3， 4上恒成立 ， 显然当 x=3 时， 2x+4 取得最小值 10， 即 m 的取值范围是 -4， 10 10 分
