1、公主岭 2018-2019 学年度高二上学期期末质量检测题理科数学总分：150 分 时间：120 分钟注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ：
2、 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图所示的直观图中， ，则其平面图形的面积是（ ）2OABA4 B C D8422命题“若 x21，则1 x1”的逆否命题是( )A若 x21，则 x1，或 x1 B若1 x1，则 x21C若 x1，或 x1，则 x21 D若 x1 或 x1 ，则 x213设正方体的表面积为 24，那么其外接球的体积是
3、( )A. B. C4 D32 4383 3 34 “关于 x 的不等式 f(x)0 有解”等价于( )A x0R，使得 f(x0)0 成立 B x0R ，使得 f(x0)0 成立C xR，使得 f(x)0 成立 D xR， f(x)0 成立5已知 m、 n 是两条不同直线， 、 是两个不同平面，则下列命题正确的是 ( )A若 、 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m、 n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 、 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m、 n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面6“ a1”是“直线 x y0 和直线 x ay0 互相垂直”的( )A. 充分
4、而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7.若向量 a( x，4，5)， b(1，2，2)，且 a 与 b 的夹角的余弦值为26则 x( ) A3 B3 C.11 D3 或118.定积分 的值是（ ）A. B. C. 0 D. 9若函数 f(x) x3 f (1)x2 x，则 f (1)的值为( )13A0 B2 C1 D110曲线 y ex 在点(2， e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ( )A. e2 B2e 2 Ce 2 D . 94e2211函数 f(x) ax3 x 在 R 上为减函数，则( )A a0 B a2ADBurrQ源。 ，
5、 异面直线 错误！未找到引用源。与 错误！未找到引用源。所成1 1DB角的余弦值为 错误！未找到引用源。 ，故选 C5二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分. ）13.已知某生产厂家的年利润 (单位: 万元)与年产量 (单位:万件)的函数关系式为= ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件【答案】914.已知平面 的法向量为 (1， 2，2) ，平面 的法向量为a (2，4， k)，若 ，则 k_ b【解析】 ， a b， ab282 k0.k5.【答案】 D15曲线 在点 处的切线方程为_2ln1yx0,【答案】【解析】 ， ， 21yxQ201k2yx16.由
6、一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体14积为_.解析 该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底面半径为 1，高为 1 的四分之一圆柱体构成， V2112 1212 .142三、解答题（本大题共6小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 (本小题满分 10 分)已知命题 , ,如果命题 是真命题, 求实数 的取值范围.:pxR230axpa答案：因为命题 是真命题,所以 是假命题. 又当 是真命题, 即恒成立,应有 解得 ,所以当 是假命题时, 230ax0,412a13ap.所以实数 的取值范围是 .1a|18.(本小题满
7、分 12 分)求函数 , 的最值.32(6fxx1,19.(本小题满分 10 分)如图,棱锥 的地面 是矩形,PA 平面 ABCD，PABCD, .2（1）. 求证: 平面 ;BDPAC（2）. 求点 到平面 的距离.答案：（1）.解法一:在 中, , ,RtBA2DB , 为正方形 ,因此 ,2ABCDBAC 平面 , 平面 , .又 ,PABABDPACA 平面 .BDPAC解法二:简历如图所示的空间直角坐标系,则 , , ,在 中, , ,0A20DPRtBAD2B , , , , ,2AB02,c(02)AP(0)C2,0BD. , ,即 , .又DPCBD, 平面 .BDPAC（2）
8、. 解法一 : , ,2BD2PBD设 到平面 的距离为 ,由 ,CPBdPBCDPBV有 ,得 .1133BCDPBDSASd23解法二:由 1 题得 , ,2,0PB0,2设平面 的法向量为 ,则 , ,PBD2nxyz20nPB2D即 , .20xzyxyz故平面 的法向量可取为 . ,PBD21,n(2,)PC 到平面 的距离为 .CPB23nPd20 (本小题满分 12 分)若函数 y f(x)在 x x0 处取得极大值或极小值，则称 x0 为函数 y f(x)的极值点已知 a， b 是实数，1 和1 是函数 f(x) x3 ax2 bx 的两个极值点(1)求 a 和 b 的值；(2
9、)设函数 g(x)的导函数 g(x) f(x)2，求 g(x)的极值点解析：(1)由题设知 f(x)3 x22 ax b，且 f(1)3 2 a b0 ， f(1)3 2 a b0 ，解得 a0， b3.(2)由 (1)知 f(x) x33 x.因为 f(x)2( x1) 2(x 2)，所以 g(x)0 的根为 x1 x21， x32 ，于是函数 g(x)的极值点只可能是 1 或2.当 x2 时， g(x)0；当2 x1 时， g(x)0，故2 是 g(x)的极值点当2 x1 或 x1 时， g(x)0 ，故 1 不是 g(x)的极值点所以 g(x)的极值点为2.21.(本小题满分 10 分)
10、如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC=1， AB= ， BC= ， AA1= .232（）求证： A1B B1C； （II）求二面角 A1B1CB 的余弦值. 解：（I）由 AC=1，AB= ， BC= 知 AC2+AB2=BC2，23所以 ACAB。因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱，面 ABB1A1面 ABC，所以 AC面 ABB1A1.由 ，知侧面 ABB1A1 是正方形，连结 AB1， 所以 A1BAB 121BA由三垂线定理得 A1BB 1C.（II）作 BDB 1C，垂足为 D，连结 A1D。由（I）知，A 1BB 1C，则 B1C面 A1BD， 于是 B1CA 1D，
11、则A 1DB 为二面角 A1B1CB 的平面角。 ,5,3,2.1111 CBABACRtA1B1CRtB1BC， 221 111 116,2,cos 35AADBDABC 又故二面角 A1B1CB 的余弦值为 .3,1|0|2sin|co,4uDE026解法二： 是平面 的法向量，下同。(1,0)CAPB解法三：做 与 ,则 是 与平面 所成的角， ,EOKEDPB24KE, ,2P1sin2P30. (本小题满分 12 分)已知函数 2)lnfxax(1).当 时,求 的单调增区间; 3af()（2）若 在 上是增函数,求 的取值范围。f()x01a答案：（1）.解:当 时, 3a23;fxlnx ,由12fx0f得, 或 ,0故所求 的单调增区间为fx10,2（2）. 2fa 在 上是增函数,x01 在 上恒成立,a即 恒成立,12ax (当且仅当 时取等号)2x所以 ,2a当 时,易知 在 上也是增函数,fx01所以 .
