1、高考大题专项五 直线与圆锥曲线 压轴大题突破 1 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018 江西上饶一模,20)已知椭圆 M: =1(ab0)的离心率为 ,点 P 1, 在椭圆 M 上.22+22(1)求椭圆 M 的方程 ;(2)经过椭圆 M 的右焦点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C,D 两点,A,B 分别为椭圆 M 的左、右顶点,记ABD 与ABC 的面积分别为 S1 和 S2,求|S 1-S2|的取值范围.2.(2018 宁夏银川一中四模,20)已知椭圆 C: =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 M 在椭22+22圆上,有|MF 1|+|MF2|=4,椭圆的离心率
2、为 e=.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)已知 N(4,0),过点 N 作斜率为 k(k0)的直线 l 与椭圆交于 A,B 不同两点,线段 AB 的中垂线为 l,记 l的纵截距为 m,求 m 的取值范围.3.(2018 北京海淀区二模,20)已知椭圆 C:x2+2y2=1 的左右顶点分别为 A1,A2.(1)求椭圆 C 的长轴长与离心率;(2)若不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 P,Q 两点,直线 A1P 与 A2Q 交于点 M,直线 A1Q 与 A2P交于点 N.求证:直线 MN 垂直于 x 轴.4.(2018 广东珠海质检,20)已知抛物线 C1:y2=2px(p0),圆
3、 C2:x2+y2=4,直线 l:y=kx+b 与抛物线 C1 相切于点 M,与圆 C2 相切于点 N.(1)若直线 l 的斜率 k=1,求直线 l 和抛物线 C1 的方程;(2)设 F 为抛物线 C1 的焦点,设 FMN,FON 的面积分别为 S1,S2,若 S1=S2,求 的取值范围.5.(2018 重庆巴蜀中学适应性考试 (七),20)已知椭圆 =1(ab0)与直线 y= x-2 相切,设椭圆22+22 222的上顶点为 M,F1,F2 是椭圆的左、右焦点,且MF 1F2 为等腰直角三角形.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线 l 过点 N 0,- 交椭圆于 A,B 两点,直线 MA、MB
4、 分别与椭圆的短轴为直径的圆交于 S,T 两点,求证:O,S,T 三点共线.6.(2018 河北衡水联考,20)已知椭圆 =1(ab0)的离心率 e= ,左、右焦点分别为 F1,F2,且 F222+22 33与抛物线 y2=4x 的焦点重合.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过 F1 的直线交椭圆于 B,D 两点,过 F2 的直线交椭圆于 A,C 两点,且 ACBD ,求|AC|+|BD| 的最小值.突破 2 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2018 福建厦门质检一,20)设 O 为坐标原点,椭圆 C: =1(ab0)的左焦点为 F,离心率为 .22+22 255直线 l:y=kx+m(
5、m0)与 C 交于 A,B 两点,AF 的中点为 M,|OM|+|MF|=5.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设点 P(0,1), =-4,求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标 .2.(2018 东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学 )一模,20)已知椭圆C: =1(ab0)的离心率为 ,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆 C 的左、右焦点,M 为椭圆 C 上的任意一22+22 22点,MF 1F2 的面积的最大值为 1,A、B 为椭圆 C 上任意两个关于 x 轴对称的点,直线 x= 与 x 轴的2交点为 P,直线 PB 交椭圆 C 于另一点 E.(1)求椭圆 C 的
6、标准方程;(2)求证:直线 AE 过定点.3.(2018 广东一模,20)已知椭圆 C: =1(ab0)的离心率为 ,且 C 过点 1, .22+22 32 32(1)求椭圆 C 的方程;(2)若直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点(点 P,Q 均在第一象限),且直线 OP,l,OQ 的斜率成等比数列,证明:直线 l 的斜率为定值.4.已知定直线 l:y=x+3,定点 A(2,1),以坐标轴为对称轴的椭圆 C 过点 A 且与 l 相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)椭圆的弦 AP,AQ 的中点分别为 M,N,若 MN 平行于 l,则 OM,ON 斜率之和是否为定值?若是定值,请求出该定值;
7、若不是定值,请说明理由 .5.(2018 江西六校联考,20)已知 F1,F2 分别是椭圆 C: =1(ab0)的左、右焦点,其中右焦点为22+22抛物线 y2=4x 的焦点,点 M -1, 在椭圆 C 上.22(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)设与坐标轴不垂直的直线 l 过 F2 与椭圆 C 交于 A,B 两点,过点 M -1, 且平行直线 l 的直线交22椭圆 C 于另一点 N,若四边形 MNBA 为平行四边形,试问直线 l 是否存在?若存在,请求出 l 的斜率;若不存在,请说明理由.6.(2018 辽宁省部分重点中学协作体模拟 ,20)已知 M 是椭圆 C: =1(ab0)上的一点,3
8、,12 22+22F1,F2 是该椭圆的左右焦点,且|F 1F2|=2 .3(1)求椭圆 C 的方程;(2)设点 A,B 是椭圆 C 上与坐标原点 O 不共线的两点,直线 OA,OB,AB 的斜率分别为 k1,k2,k3,且k1k2=k2.试探究|OA| 2+|OB|2 是否为定值 ,若是,求出定值,若不是 ,说明理由.高考大题专项五 直线与圆锥曲线 压轴大题突破 1 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.解 (1)因为 e= ,椭圆 M 过点 P 1, ,所以 c=1,a=2.=12所以椭圆 M 方程为 =1.24+23(2)当直线 l 无斜率时,直线方程为 x=1,此时 C 1,- ,D 1
9、, ,ABD,ABC 面积相等,|S 1-S2|=0;32 32当直线 l 斜率存在(显然 k0)时 ,设直线方程为 y=k(x-1),设 C(x1,y1),D(x2,y2).由24+23=1,=(-1),消去 y 得(3 +4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,显然 0,方程有根,且 x1+x2= ,x1x2= ,823+42 42-123+42此时|S 1-S2|=2|y2|-|y1|=2|y2+y1|= ,12|3+42因为 k0,上式= k= 时等号成立 ,123|+4| 122 3|4|=12212=3 32所以|S 1-S2|的最大值为 ,3所以 0|S 1-S2| .32.解
10、 (1)因为|MF 1|+|MF2|=4,所以 2a=4,所以 a=2.因为 e= ,所以 c=1,12所以 b2=a2-c2=3,所以椭圆 C 的标准方程为 =1.24+23(2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设 l:y=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去 y 得=(-4),24+23=1,(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0,x1+x2= ,x1x2= ,32242+3 642-1242+3又 = -4(4k2+3)(64k2-12)0,解得- 0 恒成立,所以 m= 在 k 0, 上为增函数,所以-162+12(42+3)2 12 442+3 12
11、00,由 l 与 C2 相切知,C 2(0,0)到 l 的距离 d= =2,得 b=2 ,所以 l:x-2 2y+2 =0.将 l 与 C1 的方程联立消 x 得 y2-2py+4p =0,2 2其 =4p2-16 p=0 得 p=4 , C1:y2=8 x.2 2 2综上所述,l:x-y+2 =0,C1:y2=8 x.2 2(2)不妨设 k0,根据对称性,k0 得到的结论与 k0,又知 p0,设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 =+,2=2,消去 y 得 k2x2+2(kb-p)x+b2=0,由 =4(kb-p)2-4k2b2=0,得 p=2kb,M ,22,由 l 与 C2 切于点
12、 N 知 C2(0,0)到 l:kx-y+b=0 的距离 d= =2,得 b=2 ,则 p=4k ,1+21+2 1+2故 M ,4 .21+2 1+2由 得 N - ,=+,2+2=4, 21+2, 21+2故|MN|= |xM-xN|= = .1+21+221+2 + 21+2 42+2F ,0 到 l:kx-y+b=0 的距离 d0= =2k2+2,22+1+2所以 S1=SFMN= |MN|d0= ,12 2(22+1)(2+1)又因为 S2=SFON= |OF|yN|=2k,12所以 = = +2 (k2+1)=2k2+ +32 +3,当且仅当 2k2= 即 k=12=(22+1)(
13、2+1)2 12 12 2 12时取等号,142与上同理可得,k0.(83)2 649 649设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= ,831+22-6491+22又 M(0,2), =x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+ kx1- kx2-83 83=(1+k2)x1x2- k(x1+x2)+83 649=-6491+21+22649 21+22+649= - +1 =0.649 1+2+21+22 MAMB, SMT= .2 圆的直径为椭圆的短轴, 圆心为原点 O, 点 O,S,T 三点共线 .6.解 (1)抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0)
14、,所以 c=1,又因为 e= ,所以 a= ,=1=33 3所以 b2=2,所以椭圆的标准方程为 =1.23+22(2) 当直线 BD 的斜率 k 存在且 k0 时,直线 BD 的方程为 y=k(x+1),代入椭圆方程 =1,23+22化简得(3k 2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设 B(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= ,6232+2 32-632+2|BD|= |x1-x2|= .1+(1+2)(1+2)2-412=43(2+1)32+2易知直线 AC 的斜率为- ,1所以|AC|= ,43(12+1)312+2=43(2+1)22+3|AC|+|B
15、D|=4 (k2+1) =3132+2+ 122+3203(2+1)2(32+2)(2k2+3)203(2+1)2(32+2)+(22+3)2 2= ,203(2+1)225(2+1)24=1635当 k2=1,即 k=1 时,上式取等号,故|AC|+|BD|的最小值为 .1635 当直线 BD 的斜率不存在或等于零时 ,易得|AC|+|BD|= .1033 1635综上所述,|AC|+|BD|的最小值为 .1635突破 2 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.解 (1)设椭圆的右焦点为 F1,则 OM 为AFF 1 的中位线. OM= AF1,MF= AF,12 12 |OM|+|MF|=
16、 =a=5,|+|1|2 e= ,=255 c=2 ,5 b= ,5 椭圆 C 的方程为 =1.225+25(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立=+,225+25=1,消去 y 整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0. 0,x1+x2=- ,x1x2= ,101+52 52-251+52 y1+y2=k(x1+x2)+2m= ,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=21+52,522-252-1022+2+5221+52 =-252+21+52 P(0,1), =-4, (x1,y1-1)(x2,y2-1)=x1x2+y1
17、y2-(y1+y2)+1=-4, +5=0,整理得 3m2-m-10=0,52-251+52+-252+21+52 21+52解得 m=2 或 m=- (舍去).53 直线 l 过定点(0,2).2.(1)解 当 M 为椭圆 C 的短轴端点时, MF1F2 的面积的最大值为 1, 2cb=1, bc=1, e= ,a2=b2+c2, a= ,b=1, 椭圆 C 的标准方程为 +y2=1.12 =22 2 22(2)证明 设 B(x1,y1),E(x2,y2),A(x1,-y1),且 x1x2, x= =2, P(2,0),由题意知 BP 的斜率必存在,设 BP:y=k(x-2),代入 +y2=
18、1 得(2k 2+1)x2-2 228k2x+8k2-2=0,由 0 得 k20.设点 P,Q 的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= ,-81+42 4(2-1)1+42 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2. 直线 OP,l,OQ 的斜率成等比数列, k2= =2211,212+(1+2)+212整理得 km(x1+x2)+m2=0, +m2=0,-8221+42又 m0,所以 k2= ,14结合图像(图略)可知 k=- ,故直线 l 的斜率为定值.124.解 (1)设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m0,n
19、0,mn),椭圆 C 过点 A,所以 4m+n=1. 将 y=x+3 代入椭圆方程化简得(m+n) x2+6nx+9n-1=0.因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 =(6n)2-4(m+n)(9n-1)=0, 解 可得 m= ,n= .16 13所以椭圆的标准方程为 =1.26+23(2)设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则有 M ,N .1+22 ,1+12 2+22 ,2+12由题意可知 PQMN,所以 kPQ=kMN=1.设直线 PQ 的方程为 y=x+t(-30,所以 1+2=-43,12=22-63 ,kOM+kON= ,1+11+2+2+12+2=1+11+2 +2+12
20、+2通分后可变形得到 kOM+kON= ,212+(+3)(1+2)+4+412+2(1+2)+4将 式代入得 kOM+kON= =0.2(22-6)+(+3)(-4)+12+12-4+2(22-6)+12 = 042-4当 t=0 时,直线 PQ 的方程为 y=x,易得 P( ),Q(- ,- ),则 M ,N2, 2 2 22+22 ,1+22,所以 kOM+kON= =0.2- 22 ,1- 22 1+22+2+1- 22- 2所以 OM,ON 斜率之和为定值 0.5.解 (1)由 y2=4x 的焦点为(1,0)可知椭圆 C 的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),又点 M -1,
21、在椭圆上,所以22 12+122=1,2=2+2,=1, 解得 2=2,2=1,所以椭圆 C 的标准方程为 +y2=1.22(2)由题意可设直线 l 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由22+2=1,=(-1),消去 y,得(1 +2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,所以 x1+x2= ,x1x2= .421+22 22-21+22所以|AB|= .1+2(1+2)2-412=22(1+2)1+22设直线 MN 的方程为 y- =k(x+1),M(x3,y3),N(x4,y4),22由22+2=1,- 22=(+1),消去 y,得(1 +2k2)x2+(4k2
22、+2 k)x+(2k2+2 k-1)=0,因为 x3=-1,所以 x4=- ,|MN|=2 222+22-11+22|x3-x4|=1+2.1+2|22-2|1+22因为四边形 MNBA 为平行四边形,所以|AB|=|MN|,即 ,k=- ,22(1+2)1+22 =1+2|22-2|1+22 24但是,直线 l 的方程 y=- (x-1),即 x+2 y-1=0 过点 M -1, ,即直线 AB 与直线 MN 重合,不符24 2 22合题意,所以直线 l 不存在.6.解 (1)由题意,知 F1(- ,0),F2( ,0),根据椭圆定义得|MF 1|+|MF2|=2a,3 3所以 2a=+(3
23、+3)2+(12-0)2=4,(3- 3)2+(12-0)2所以 a2=4,b2=a2-c2=1,所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.24(2)|OA|2+|OB|2 为定值.设直线 AB:y=kx+m(km0),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去 y 得=+,24+2=1,(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,则 =(8km)2-16(m2-1)(4k2+1)0,x1+x2=- ,x1x2= ,81+42 42-41+42因为 k1k2=k2,所以 =k2,1+1 2+2即 km(x1+x2)+m2=0(m0),解得 k2= ,14所以|OA| 2+|OB|2= -2x1x2+2=5,21+22+21+22=34(1+2)2所以|OA| 2+|OB|2=5.
