1、 鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 2018 届高三第一次联考 数学试题（文） 一、选择题：本题 共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是 符 合 题 目要求的 。 1已知集合 *2 3 0 Ax x x = R ” 1 ab + 是 ab 的一个必要不充分条件 A 0 B1 C 2 D 3 6 如图， 已知椭圆 C 的中心为原点 O, ( 5,0) F 为 C 的左焦点， P 为 C 上一点， 满足| | | OP OF = 且 | |6 PF = ，则椭圆 C 的方程为（ ） 第 4 题图 A 22
2、 1 36 16 xy += B 22 1 40 15 xy += C 22 1 49 24 xy += D 22 1 45 20 xy += 7已知正项等比数列 n a 的前 n 项和为 n S ， 且 16 3 2 aa a = , 4 a 与 6 2a 的等差中项为 3 2 ，则 5 S = （ ） A 36 B 33 C 32 D 31 8已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相 同，则该几何体的表面积为（ ） A16 12 + B 32 12 + C 24 12 + D 32 20 + 9 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简 化算法，即使在现代， 它依然是利
3、用 计算机解决多项 式问题的最优算 法如图所示的 程序框 图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 n , x 的值分别为 3, 4 则输出 v 的值 为（ ） A 399 B100 C 25 D 6 10已知 为圆周率， e 2.71828 = 为自然对数的底数，则（ ） A ee 3 C e-2 e-2 33 11 已知函数 2 ( ) 2ln | | fx x x = 与 ( ) sin( ) gx x = + 有两个公共点， 则在下列函数中满足条件的 周期最大的函数 () gx = （ ） A sin 2 x B sin 2 x + C sin 2 x + D sin 2 2
4、 x + 12已知数列 n a 满足 51 n an = （ * n N ），将数列 n a 中的整数项按原来的顺序组成新数列 n b ，则 2017 b 的末位数字为（ ） 输入开始 v=1 i 输出 v 结束 v=vx+i i=i-1 i=n-1 否 是 第 9 题图 第 8 题图 4 2 俯视正视侧视2A 8 B 2 C 3 D 7 二 、 填 空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知平面向量 a , b 的夹角为 2 3 ，且 | |1 = a , |2 = b ，若 ( ) ( 2) + ab a b ，则 =_ 14已知 , xy 满足约束条件 40 2
5、0 xy x xyk + + ，且 3 zx y = + 的最小值为 2 ，则常数 k =_ 15 已知函数 2 (ln ) ln , 0 () 1 e , 0 2 x x a xb x fx x + = + ，若 2 (e ) (1) ff = ， 4 (e) (0) 3 ff = ， 则函数 () fx 的 值域为_ 16我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）： “幂势既同，则积不容异”“势”即是高，“幂”是面积意思 是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等， 那么这两个几何体的体积相等已知双曲线 C 的渐近线方程为 2 yx = ，一个焦点为 ( 5,0
6、) 直线 0 y = 与 3 y = 在第一象限内与 双曲线及渐近线围成如图所示的图形 OABN ，则它绕 y 轴旋转一圈所得几何体的体积 为_ 三、解答题： 共 70 分。解答应写 出文字说明 、证明过程或演算步骤。 第 1721 题为 必考题，每 个 试 题 考生都必须作 答 。第22、23 题为选考题，考生 根据要求作 答。 （ 一 ） 必考题：共 60 分。 17 （12 分） 在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c （1）若 2 23cos cos 2 0 AA += ，且 ABC 为锐角三角形， 7 a = , 6 c = ，求 b 的值； （2）若 3
7、 a = , 3 A = ，求 bc + 的取值范围 18 （12 分） 如图，直三棱 柱 ABC A B C 中， 5 AC BC = = , 6 AA AB = = ， D, E 分别为 AB 和 BB 上第 18 题图 A B C A D B C E 的点，且 AD BE DB EB = （1）当 D 为 AB 中点时，求证： A B CE ； （2）当 D 在 AB 上运动时，求三棱锥 A CDE 体积的最小值 19 （12 分） 为研究患肺癌与是否吸 烟有关，做了 一次相关调查， 其中部分数据丢 失，但可以确定 的是不 吸烟人数与吸烟人数相同， 吸烟患肺癌人数占吸 烟总人数的 4 5
8、 ；不吸烟的人数中，患肺癌与 不患肺癌的比为1:4 （1）若吸烟不患肺癌的有 4 人，现从患肺癌的人 中用分层抽样的方 法抽取 5 人，再从这 5 人 中随机抽取 2 人进行调查，求这两人都是吸烟患肺癌的概率； （2）若研究得到在犯错误概率 不超过 0.001 的前提下，认为患肺癌与吸烟有关，则 吸烟的人 数至少有多少？ 附： 2 2 () ( )( )( )( ) n ad bc K a bc da cb d = + ，其中 nabcd =+ 0 () PK k 0.100 0.050 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 20 （12 分） 已知
9、抛物线 2 : 2 ( 0) C y px p = 在第一 象限内的点 (2, ) Pt 到焦点 F 的距离为 5 2 （1）若 1 ,0 2 M ，过点 M , P 的直线 1 l 与抛物线相交于另一点 Q ，求 | | QF PF 的值； （2） 若直线 2 l 与抛物线 C 相交于 , AB 两点， 与圆 22 :( ) 1 M xa y += 相交于 , DE 两点，O 为 坐标原点，OA OB ， 试问： 是否存在实数 a ，使 得 | DE 的长为定值？若存在， 求出 a 的值；若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数 ( ) ln e x fx x = （ R ） （1）
10、若函数 () fx 是单调函数，求 的取值范围； （2）求证：当 12 0 xx （二）选考题： 共 10 分。请考生 在 第 22、23 两 题中任选一题作答 。如果多做，则按 所做的第一 题计分 。 22 选修 44：坐标系与参数方程选 讲（10 分） 已知曲线 C 的极坐标方程为 2 22 9 cos 9sin = + ， 以极点为平面直角坐标系的原点， 极 轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 （1）求曲线 C 的普通方程； （2）A,B 为曲线 C 上两点，若 OAOB，求 22 11 | | | OA OB + 的值 23 选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数 0 ( 0
11、 ) () x a x ba b fx=+ ， （1）若 1 a = , 2 b = ，解不等式 () 5 fx ； （2）若 () fx 的最小值为 3 ，求 22 ab ba + 的最小值 鄂南高中 华师一附 中 黄冈中 学 黄石二 中 荆州中学 孝感高中 襄阳四 中 襄阳五 中 2018 届高三第一次联考 文科数学参考答案 1答案：C 解析： 1, 2 A = ，又 BA ，集合 B 的个数为 2 24 = 个，故选 C 2答案：D 解析： 2 i (2 i) 2 i (2 2) ( 1)i 2i 5 5 5 5 5 a a aa z + =+= += + ， (2 2) ( 1) 2
12、55 aa + += 解得 3 a = ，故选 D 3答案：D 解析： 1 sin( ) 3 + = ， 1 sin 3 = ， 22 cos 3 = ， cos tan( ) 2 2 2 sin = = ，故选 D 4答案：B 解析：设军旗的面积为 a ，则有 2 30 11 100 a = ，解得 363 10 a = ，故选 B 5答案：C 解析： 对于， 原命题的逆命题为： 若 , ab 中至少有一个不小于 2 ，则 4 ab + ，而 4, 4 ab = = 满足 , ab 中至少有一个不小于 2 ，但此时 0 ab += ，故是假命题；对于，此命题的逆否命题 为“设 , ab R
13、，若 3 a = 且 3 b = ，则 6 ab +=”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，故 是真命题； 对于“ 2 0 00 0 x xx 可推得 1 ab ，故是真命题，故选 C 6答案：C 解析：由题意可得 5 c = ，设右焦点为 F ，由 | | | | OP OF OF = = 知， PFF FPO = ， OF P OPF = ， PFF OF P FPO OPF + = + ， 90 FPO OPF + = ， 即 PF PF 在 Rt PFF 中，由勾股定理，得 2 2 22 | | 10 6 8 PF FF PF = = = ， 由椭圆定义，得 | | | | 2 6
14、 8 14 PF PF a + = =+= ，从而 7 a = ，得 2 49 a = ， 于是 2 22 22 7 5 24 bac = ，所以椭圆的方程为 22 1 49 24 xy += ，故选 C 7答案：D 解析： 16 3 2 aa a = ， 34 3 2 aa a = ，故 4 2 a = ，又 46 23 aa += ， 6 1 2 a = ， 1 2 q = ， 1 16 a = ， 5 5 1 161 ( ) 2 31 1 1 2 S = = ，故选 D 8答案：A 解析： 由三视图知： 该几何体是正四棱柱与半球体的组合体， 且正四棱柱的高为 2 ， 底面对角线 长为 4
15、 ， 球的半径为 2 ， 所以几何体的表 面积为： 22 1 4 2 2 2 2 2 4 12 16 2 S = + + = + ， 故选 A 9答案：B 解析：输入的 4 x = ， 3 n = ，故 1 v = ， 2 i = ，满足进行循环的条件； 6 v = ， 1 i = ，满足进行循环的条件； 25 v = ， 0 i = ，满足进行循环的条件； 100 v = ， 1 i = ，不满足进行循环的条件，故输出的 v 值为100 ，故选 B 10答案：B 解析：函数 e yx = 是 (0, ) + 上的增函数，A 错； 3 3 ee ee 3 log e 3log e log 3l
16、og 3 3 log 3 log ，B 对； e-2 e-2 e 3 e 3 33 3 时， 2 ( ) 2ln fx x x = ， 2 () 2 fx x x = ， 令 () 0 fx = ，解得 1 x = ， 由 () 0 fx ，得 1 x ， 当 0 x 时， min ( ) (1) 1 fx f = = 又 () fx 是偶函数，图象关于 y 轴对称， min ( ) ( 1) (1) 1 fx f f = = ， 只有 2 个公共点， () gx 最大值为 1 则最长周期为 | ( 1) 1 | 2 = ，即 2 2 T = = ，即 = ， 则 (1) sin( )1 g
17、= += ， 2 , 2 kk += + Z ， 解得 2 , 2 kk = Z ，故周期最大的 ( ) sin( ) 2 gx x = ，故选 A 12答案：B 解析：由 51 n an = （ * n N ），可得此数列为： 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64, ， n a 的整数项为 4, 9, 49, 64, 144, 169, ,数列 n b 的各项依次为： 2 , 3 , 7 , 8 , 1 2 , 1 3 , 1 7 , 1 8 ， 末位数字分别是 2 , 3 , 7, 8 , 2 , 3 , 7, 8 ， 2017
18、4 504 1 = + ，故 2017 b 的末位数字为 2，故选 B 13答案： 3 解析： ( ) ( 2) ab a b + ， 22 ( ) ( 2 ) 2 (1 2 ) 8 (1 2 ) 0 a b a b a b ab + = + = = ，解得 3 = 14答案： 2 解析：联立方程 2 0 x xyk + = = 解得两直线的交点为 (2, 2 ) Ak ， 由 3 zx y = + 得直线方程 1 33 z yx = + ，结合图象可知当直线过点 A 时， z 最小， min 2 3( 2 ) 2 zk =+ = ， 解得 2 k = 15答案： 13 ( , 2, ) 22
19、 + 解析：由题意可得 42 12 abb ab + += += ，解得 2 3 a b = = ， 当 0 x 时， 22 ( ) (ln ) 2ln 3 (ln 1) 2 2 fx x x x = += + ， 当 0 x 时， 0 1 1 13 ee 2 2 22 x + += ，则函数 () fx 的值域为 13 ( , 2, ) 22 + 16答案： 3 解析：由 题意可 得双曲 线的方 程为 2 2 1 4 y x= ， 3 y = 在第一 象限内 与渐近 线的交 点 N 的坐标为 3 ( , 3) 2 ，与双曲线第一象限的交点 B 的坐标为 93 (1 , ) 42 + ， 记
20、3 y = 与 y 轴交于点 M ，因为 22 | | MB MA = ，根据祖暅原理，可得旋转体的体积为 3 17解：（1） 2 22 23cos cos 2 23cos 2cos 1 0 AA A A + = + = ， 2 1 cos 25 A = ，又 A 为锐角， 1 cos 5 A = ，而 2 22 2 cos a b c bc A =+ ，即 2 12 13 0 5 bb = ，解得 5 b = （舍负）， 5 b = .5 分 （2）方法一：（正弦定理） 由正弦定理可得 2 2(sin sin ) 2(sin sin( ) 2 3 sin( ) 36 bc B C B B B
21、 += + = + = + ， 2 0 3 B ， ( 3,2 3 bc + .10 分 18解：（1）证明： D 为 AB 的中点，故 E 为 BB 的中点，三棱柱 ABC A B C 为直三棱柱 ， 平行四边形 ABB A 为正方形， DE A B ， AC BC = ， D 为 AB 的中点， CD AB ， 三棱柱 ABC A B C 为直三棱柱， CD 平面 ABB A ，又 AB 平面 ABB A ， CD AB ， 又 CD DE D = ， AB 平面 CDE ， CE 平面 CDE ， A B CE .6 分 （2）设 BE x = ，则 , 6, 6 AD x DB x B
22、 E x = = 由已知可得 C 到平面 A DE 的距离即为 ABC 的边 AB 所对的高 22 ()4 2 AB h AC = ， 1 () 3 A C D E C AD E A AD D B E ABE ABB A V V S SSS h = 四边 形2 11 2 36 3 (6 ) 3(6 ) ( 6 36) 32 3 x xx x h x x = = + 2 2 ( 3) 27 (0 6) 3 xx = + 当 3 x = ，即 D 为 AB 的中点时， A CDE V 有最小值 18.12 分 19解： （1） 设吸烟人数为 x ， 依题意有 1 4 5 x = ， 所以吸烟的人有
23、 20 人， 故有吸烟患肺癌的有16 人， 不患肺癌的有 4 人 用分层抽样的方法抽取 5 人， 则应抽取吸烟患肺癌的 4 人， 记为 a ，b ， c ， d 不吸烟患肺癌 的1 人，记为 A 从 5 人中随机抽取 2 人，所有可能的结果 有 (,) ab ， (,) ac ， (, ) ad ， (, ) aA ， (,) bc ， (, ) bd ， (, ) bA ， (, ) cd ， (, ) cA ， (, ) dA ，共10 种，则这两人都是 吸烟患 肺癌的情形共有6 种， 63 10 5 P = = ，即这两人都是吸烟患肺癌的概率为 3 5 .6 分 （2）方法一：设吸烟人数
24、为 5x ，由题意可得列联表如下： 患肺癌 不患肺癌 合计 吸烟 4x x5x 不吸烟 x4x 5x 总计 5x 5x 10x 由表得， 2 22 2 4 10 (16 ) 3.6 (5 ) xxx Kx x = = ，由题意 3.6 10.828 x ， 3.008 x ， x 为整数， x 的最小值为 4 则 5 20 x = ，即吸烟人数至少为 20 人来源:学#科#网 方法二：设吸烟人数为 x ，由题意可得列联表如下： 患肺癌 不患肺癌 合计 吸烟 4 5 x 1 5 x x不吸烟 1 5 x 4 5 x x总计 xx2x 由表得， 2 22 2 4 16 1 2( ) 18 25 2
25、5 ( ) 25 xx x Kx x = = ， 由题意 18 10.828 25 x ， 15.04 x ， x 为整数且为 5 的倍数， x 的最小值为 20 即吸烟人数至少为 20 人.12 分 20解析：（1）点 (2, ) Pt ， 5 2 22 p += ，解得 1 p = ， 故抛物线 C 的方程为： 2 2 yx = ，当 2 x = 时， 2 t = ， 1 l 的方程为 42 55 yx = + ，联立 2 2 yx = 可得， 1 8 Q x = ， 又 1 2 Q QF x = + ， 1 2 P PF x = + ， 11 1 82 1 4 2 2 QF PF + =
26、 = + .5 分 （2）设直线 AB 的方程为 x ty m = + ，代入抛物线方程可得 2 220 y ty m = ， 设 11 ( , ) Ax y 22 ( , ) Bx y ，则 12 2 yy t += ， 12 2 yy m = ， 由 OA OB 得： 1 2 12 ( )( ) 0 ty m ty m y y + += ， 整理得 22 12 1 2 ( 1) ( ) 0 t y y tm y y m + + += ， 将代入解得 2 m = ，直线: 2 l x ty = + ， 圆心到直线 l 的距离 2 | 2| 1 a d t = + ， 2 2 2 ( 2) |
27、 | 21 1 a DE t = + ， 显然当 2 a = 时， | |2 DE = ， | DE 的长为定值 .12 分 21 解： （1）函 数 () fx 的定义域为 (0, ) + ， ( ) ln e x fx x = ， e () e x x x fx xx + =+= ， 函数 () fx 是单调函数， () 0 fx 或 () 0 fx 在 (0, ) + 上恒成立， () 0 fx ， e 0 x x x + ，即 e0 x x + ， e e x x x x = ， 令 () e x x x = ，则 1 () e x x x = ，当 01 x 时， () 0 x 则
28、() x 在 (0,1) 上递减， (1, ) + 上递增， min 1 ( ) (1) x e = = ， 1 e ； () 0 fx ， e 0 x x x + ，即 e0 x x + ， e e x x x x = ， 由得 () e x x x = 在 (0,1) 上递减， (1, ) + 上递增，又 (0) 0 = ， x + 时 () 0 x ，即 12 12 11 ln e ln e ee xx xx ， 21 11 12 e e ln ln xx xx ， 要证 21 11 2 1 ee1 xx x x ，只需证 2 12 1 ln ln 1 x xx x ，即证 12 21
29、ln 1 xx xx ， 令 1 2 x t x = ， (0,1) t ，则证 1 ln 1 t t ，令 1 ( ) ln 1 ht t t = + ，则 2 1 () 0 t ht t = ，即 1 ln 1 t t ，得证12 分 22解：（1）由 2 22 9 cos 9sin = + 得 2 2 22 cos 9 sin 9 += ， 将 cos x = ， sin y = 代入得到曲线 C 的普通方程是 2 2 1 9 x y += 5 分 （2）因为 2 22 9 cos 9sin = + ，所以 2 2 2 1 cos sin 9 = + ， 由 OAOB，设 1 ( ,)
30、A ，则 B 点的坐标可设为 2 (, ) 2 ， 所以 22 22 2 222 12 1 1 1 1 cos sin 1 10 sin cos 1 | | | 9 9 9 9 OA OB + = + = + + + =+= . 10 分 23解：（1） 1 25 xx + ，左式可看作数轴上，点 x 到2 和1 两点的距离之和，当 3 x = 或 2 时，距离之和恰为 5，故 32 x ；解集为 | 3 2 xx 5 分 （2） ( ) f x xa xb xaxb ab =+ =+ ， 3 ab += ， 由柯西不等式得 ( ) ( ) 22 2 ab ba ab ba + ， 22 3 ab ab ba + += ， 当且仅当 3 2 ab = = 时等号成立， 22 ab ba + 的最小值为 3 .10 分
