1、4.2,2导数的应用,导数与函数的单调性、极值,1函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果f(x)_0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)_0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减,2函数极值的概念 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极小值,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,(2)求可导函数极值的步骤 求f(x)； 求方程_的根； 检查f(x)的方程_的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这
2、个根处取得_；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得_ (3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值,f(x)0,f(x)0,极大值,极小值,1函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与_ (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的_；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值 (3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大
3、值，最小的一个是最小值,导数与函数的最值及在实际生活中的应用,最小值,最大值,f(a)，f(b),2解决优化问题的基本思路,1本部分知识可以归纳为 (1)三个步骤：求函数单调区间的三个步骤：确定定义域；求导函数f(x)；由f(x)0(或f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件 对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件,2注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想 3求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直
4、观且有条理，减少失分的可能.,利用导数研究函数的单调性,1由f(x)0(f(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间 2由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)(f(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；,(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含
5、有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围,解题指导(1)已知：曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行 (2)分析：由曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行可知f(1)0即可求出k的值；由函数解析式，求导进而求出函数的单调区间构造函数证明不等式,点评 用导数法求可导函数单调区间的一般步骤：,1求函数f(x)极值的方法 求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f(x)0，再判断f(x)0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论,导数与极值（最值）,2求函数f(x)在区间a，b上的
6、最值的方法 (1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成,解题指导,点评 将方程的根转化为函数图象交点问题，进一步转化为求函数的极大(极小)值问题,利用导数证明不等式的方法 (1)证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x),构造函数证明不等式恒成立问题
7、,【例3】 设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过P(1，0)，且在P点处的切线斜率为2. (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)2x2.,答题模板 运用导数证明不等式f(x)g(x)成立的一般步骤： 第一步：构造h(x)f(x)g(x)； 第二步：求h(x)； 第三步：判断h(x)的单调性； 第四步：确定h(x)的最小值； 第五步：证明h(x)min0成立； 第六步：得出所证结论,温馨提醒 利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也是高考的一个新热点，其关键是构造适当的函数，判断区间端点对应的函数值与0的关系，实际就是利用求导的方法去研究函数的单调性，并通过单调性证明不等式,
