1、2.9 函数模型及其应用,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.常见的几种函数模型,-4-,知识梳理,双击自测,2.三种增长型函数之间增长速度的比较,递增,递增,递增,y轴,x轴,logaxxnax,-5-,知识梳理,双击自测,3.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下:,-6-,知识梳理,双击自测,1.(教材改编)在某种新型
2、材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( ) A.y=2x-2 B.y= (x2-1) C.y=log3x D.y=2x-2,答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,2.某地一企创电商最近两年的“双十一”当天的销售额连续增加,其中2018年的增长率为a,2019年的增长率为b,则该电商这两年的“双十一”当天销售额的平均增长率为( ),答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,3.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到( ) A.100只
3、 B.200只 C.300只 D.400只,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,4.函数y=0.25x,y=log2x+1,y=1.002x,随着x的增大,增长速度的大小关系是 .,答案,-10-,知识梳理,双击自测,5.(2018广西钦州第三次质量检测)图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律,对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是 ( )A.捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期 B.由图可知,当捕食者数量增多的过程中,被捕食者数量先增多后减少 C.捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图乙描述 D.捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少
4、,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.三种基本初等函数增长的快慢是不同的,存在一个x0,当xx0时,有logaxxnax. 2.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.,-12-,考点一,考点二,考点三,一次函数与二次函数模型(考点难度) 【例1】 某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:,根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系, Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt. 利用你选取的函数, (1
5、)求函数的解析式. (2)西红柿最合理的上市天数是第几天? (3)最低种植成本是多少?,-13-,考点一,考点二,考点三,解:(1)根据表中数据可知函数不单调,所以Q=at2+bt+c且开口向上,所以函数的解析式是Q=0.01t2-2.4t+224. (2)由(1),知Q=0.01(t-120)2+80,所以西红柿种植成本最低时上市是第120天. (3)由(2),知当t=120时,Qmin=80.故最低种植成本是80元/100 kg.,-14-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量系数大于0)或直线下降(自变
6、量系数小于0). 2.有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数的图象与单调性解决. 注意 在解决二次函数的应用问题时,一定要注意定义域.,-15-,考点一,考点二,考点三,对点训练某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(注:利润和投资单位:万元).,图 图,-16-,考点一,考点二,考点三,(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式; (2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产. 若平均投入生产两种产品
7、,可获得多少利润? 问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?,解:(1)设A,B两种产品分别投资x万元(x0),所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元,由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2 ,根据图象可解得f(x)=0.25x(x0),g(x)=2 (x0).,-17-,考点一,考点二,考点三,故总利润y=8.25(万元). 设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元,所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润8.5万元.,-18-,考点一,考点二,考点三,分段函数模型(考点难
8、度) 【例2】 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(g)与时间t(h)之间的关系近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t). (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25 g时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.,-19-,考点一,考点二,考点三,-20-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系,不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数. 2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律
9、不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.,-21-,考点一,考点二,考点三,对点训练秸秆还田是当今世界上普遍重视的一项培肥地力的增产措施,在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田,花137 600元购买了一台新型联合收割机,每年用于收割可以收入6万元(已减去所用柴油费);该收割机每年都要定期进行维修保养,第一年由厂方免费维修保养,第二年及以后由该农机户付费维修保养,所付费用y(元)与使用年数n的关系为:y=kn+b(n2,且nN*),已知第二年付费1 800元,第五年付费6 0
10、00元. (1)试求出该农机户用于维修保养的费用f(n)(元)与使用年数n(nN*)的函数关系; (2)这台收割机使用多少年,可使平均收益最大?(收益=收入-维修保养费用-购买机械费用),-22-,考点一,考点二,考点三,解:(1)依题意,当n=2时,y=1 800;当n=5时,y=6 000,综上所述,这台收割机使用14年,可使年均收益最大.,-23-,考点一,考点二,考点三,指数型、对数型函数模型(考点难度) 【例3】某种空气清洁剂在实验效果时,发现空气含剂量y(g/m3)与时间x之间存在函数关系,其变化的图象如图所示.其中的曲线部分是某函数y= (x+b)的图象(虚线部分为曲线的延展).
11、图中表明,喷洒1小时后,空气含剂量最高,达到3 g/m3,以后逐渐减小.(1)求出空气含剂量y关于时间x的函数表达式及定义域; (2)实验证明,当空气含剂量不低于2 g/m3时,空气清洁的效果最佳.求一次喷洒的“最佳效果”持续时间.,-24-,考点一,考点二,考点三,解:(1)当x1时,图象是一线段,设解析式为y=kx,将点(1,3)坐标代入得k=3,y=3x.,-25-,考点一,考点二,考点三,-26-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸
12、”. 2.对数型函数模型,即y=mlogax+n(a1,m0)型,增长特点是随着自变量的增加,函数值增加得越来越慢. 3.实际生产生活中的增长率问题往往是指数型函数模型,如若某月的产值是b,每月的增长率为a,则第x个月后的产值是b(1+a)x,指数x是以基数所在时间后推所跨过的时间间隔数. 4.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.,-27-,考点一,考点二,考点三,对点训练已知14C的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后,14C的残余量占原始量的一半).设14C
13、的原始量为a,经过x年后的残余量为b,残余量b与原始量a的关系如下:b=ae-kx,其中x表示经过的时间,k为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今年.(已知log20.767-0.4),答案,解析,-28-,易错警示忽略实际问题中的隐含条件而致错 函数模型问题的关键是认真分析题意,合理选择数学模型,同时要注意实际问题中隐含的自变量范围的限制.,-29-,【典例】 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全
14、年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 答案:B 解析:设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元.,-30-,答题指导解决实际问题时不但要合理选择函数模型,还要注意自变量的限制,本题中n必须是正整数.,-31-,对点训练有浓度为90%的溶液100 g,从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作,要使浓度低于10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)( ) A.19 B.20 C.21 D.22,答案,解析,-32-,高分策略1.函数模型应用不当是常见的解题错误,所以,要正确理解题意,选择适当的函数模型. 2.要特别关注实际问题中自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结论对实际问题的合理性.,
