1、2.4.2 抛物线的简单几何性质,新知探求 素养养成,知识点,问题:已知抛物线y2=8x,其图象如图所示.,抛物线的简单几何性质,(1)观察抛物线y2=8x图象可知其上的点的坐标的范围是怎样的? 答案:抛物线上的点的横坐标x0,纵坐标yR. (2)观察抛物线y2=8x的图象有什么对称性? 答案:关于x轴对称.,梳理 抛物线的几何性质,x轴,y轴,原点,1,名师点津:抛物线的焦点弦 如图,AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的一条弦,设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l. (1)以AB为直径的圆的圆心与准线l相切. (2)|AB|=2(x0+ )
2、(焦点弦长与中点关系). (3)|AB|=x1+x2+p. (4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|= . 如当=90时,AB叫做抛物线的通径,是所有焦点弦中最短的. (5)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1x2= ,y1y2=-p2.,题型一,抛物线简单几何性质的应用,课堂探究 素养提升,【例1】 已知A,B是抛物线y2=2px(p0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F,求直线AB的方程.,解:如图所示.设A(x0,y0),由题意可知,B(x0,-y0), 又F( ,0)是AOB的垂心,则AFOB,方法技巧 抛物线的几何性质(对称
3、性、范围等)在解决抛物线问题时,有着广泛的应用,但在解题过程中又容易忽视这些隐含条件,如抛物线的对称性、准线与对称轴垂直等,解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件.,即时训练1-1:已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.,【备用例1】 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,|AB|=2 ,求抛物线方程.,解:由已知,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在负半轴上. 故可设抛物线方程为y2=ax(a0). 设抛物线与圆x2+y2=4的交点A(x1,y1),
4、B(x2,y2). 因为抛物线y2=ax(a0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称, 所以点A与B关于x轴对称,题型二,直线与抛物线的位置关系,【例2】 已知直线l:y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x.问:k为何值时,直线l与抛物线C有两个交点,一个交点,无交点?,解:由方程组 消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0. 记=(2k2-4)2-4k4=16(1-k2). 若直线与抛物线有两个交点, 则k20,且0,即k20,且16(1-k2)0,解得k(-1,0)(0,1). 所以当k(-1,0)(0,1)时,直线l和抛物线C有两个交点.,若直线与抛物线有一个交点, 则k2=0或k20时
5、,=0. 解得k=0或k=1. 所以当k=0或k=1时,直线l和抛物线C有一个交点. 若直线与抛物线无交点, 则k20且1或k1或k-1时,直线l和抛物线C无交点.,题后反思 研究直线和抛物线的位置关系时,由于消元后所得的方程中含参数,因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论.,即时训练2-1:(2018乌鲁木齐高二期末)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M(3,2),直线MF交抛物线于A,B两点,且M为AB的中点,则p的值为( ) (A)3 (B)2或4 (C)4 (D)2,题型三 抛物线的焦点弦问题,【例3】 (10分)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相
6、交于A,B两点.若直线l的倾斜角为60,求|AB|的值.,一题多变:若本例中“直线l的倾斜角为60”改为“|AB|=9”,求线段AB的中点M到准线的距离.,方法技巧 求圆锥曲线的弦长时,为简化计算常常借助根与系数的关系,这样可以避免分别求x1,x2(或y1,y2)的麻烦,如果是利用弦长求参数的问题,只需要列出参数的方程或不等式即可求解,而x1,x2(或y1,y2)一般是求不出来的.,【备用例2】 (2018凌源市模拟)如图所示,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( ) (A)y2=9x
7、(B)y2=6x (C)y2=3x (D)y2= x,【例4】 已知点A(2,1)和抛物线C:y2=x,F为抛物线的焦点,P是C上任意一点. (1)求|AP|+|PF|的最小值;,题型四,抛物线中的最值问题,(2)求点P到直线x+2y+4=0的距离的最小值.,方法技巧 与抛物线上的点有关的最值问题,应注意抛物线上点的坐标的范围以及抛物线上点的坐标的设法(如y2=2px(p0)中x0,yR,而抛物线上的点可设为(2pt2,2pt)或( ,y0).,即时训练4-1:抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是( ) (A)( ,1) (B)(0,0) (C)(1,2) (D)(1,4),【备用例3】 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|+|DE|的最小值为( ) (A)16 (B)20 (C)24 (D)32,谢谢观赏！,
