1、第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算,新知探求 素养养成,知识点一,梳理 (1)空间向量的定义 与平面向量一样,在空间,我们把具有 和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模. (2)空间向量的表示方法空间向量与平面向量一样,也可以用有向线段来表示,用有向线段的长度表示向量的模,用有向线段的方向表示向量的方向.若向量a对应的有向线段的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作 ,其模记为 或| |.,空间向量的有关概念,大小,|a|,(3)特殊向量 零向量:规定 的向量叫做零向量,记为0. 单位向量: 的向
2、量称为单位向量. 相反向量:与向量a长度 而方向 的向量,称为a的相反向量,记为 . 相等向量:方向 且模 的向量称为相等向量.在空间, 的有向线段表示同一向量或相等向量.,长度为0,模为1,-a,相同,相等,同向且等长,相等,相反,知识点二,空间向量的加法、减法,问题1:平面向量的加法、减法的法则是什么? 答案:三角形法则、平行四边形法则.,知识点三,空间向量的数乘运算,问题2:实数和向量a可以加减吗? 答案:不可以. 梳理 (1)实数与空间向量a的乘积a仍然是一个 ,称为向量的数乘运算.当0时,a与向量a方向 ,当0时,a与向量a方向,当=0时,a=0. (2)运算律: 分配律:(a+b)
3、=a+b; 结合律:( a)=()a.,向量,相反,相同,知识点四,共线向量,梳理 (1)共线向量的定义 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 ,则这些向量叫做共线向量或平行向量,记作ab. (2)共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(b0),ab的充要条件是存在实数,使 . (3)共线向量定理的推论,平行或重合,a=b,方向向量,知识点五,共面向量,梳理 (1)共面向量的概念 平行于 的向量,叫做共面向量. (2)共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x,y),使 . (3)共面向量定理的推论,同一个平面,p=xa+yb,题
4、型一,空间向量的有关概念,课堂探究 素养提升,答案:,易错警示 (1)判断有关向量的命题时,要抓住向量的两个主要元素,即大小和方向,两者缺一不可. (2)要注意零向量的特殊性.对于零向量,应明确: 零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的; 零向量与任何向量都共线. (3)对于共线向量应明确: 当a与b共线时,表示a,b的两条有向线段所在的直线有可能是同一直线,也可能是平行直线; 共线(平行)向量不具有传递性,如ab,bc,那么ac就不一定成立,因为b=0时,虽然有ab,bc,但a不一定与c共线,若a,b,c都不是零向量,则具有传递性.,即时训练1-1:关于空间向量的命题: 方向不同的两个向量
5、不可能是共线向量; 长度相等、方向相同的向量是相等向量; 平行且模相等的两个向量是相等向量; 若ab,则|a|b|. 其中所有真命题的序号有 .,解析:同一条直线上方向相反的两个单位向量是共线向量,因此不正确; 长度相等、方向相同的向量是相等向量,正确; 平行且模相等的两个向量是相等向量或相反向量,不正确; 若ab,则|a|b|,不正确,例如a=-b,而|a|=|-b|,不正确. 故真命题的序号为 . 答案:,【备用例1】 (1)给出下列命题: 零向量没有确定的方向; 空间向量是不能平行移动的; 有向线段可用来表示空间向量,有向线段长度越长,其所表示的向量的模就越大; 如果两个向量不相同,那么
6、它们的长度也不相等. 其中正确的是( ) (A) (B) (C) (D),解析:(1)正确,零向量的方向是任意的. 错误,空间向量可以平行移动. 正确,向量的模可以比较大小,有向线段长度越长,其所表示的向量的模就越大. 错误,如果两个向量不相同,它们的长度可以相等.故选C. 答案:(1)C,(2)如图,在以长、宽、高分别为AB=4,AD=2,AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,单位向量共有 个,模为 的所有向量为 .,题型二,空间向量的加减和数乘运算,方法技巧 (1)利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法,一般地,可以找到的封闭图形不是惟一的
7、,但无论哪一种途径,结果应是惟一的. (2)应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提,一定要熟练掌握.,题型三 空间向量共线问题,方法技巧 (1)判断向量共线的策略 熟记共线向量充要条件:ab,b0,则存在惟一实数使a=b;若存在惟一实数,使a=b,则ab. 判断向量共线的关键:找到实数. (2)三点共线与直线平行的判断 线线平行:证明两直线平行要先证明两直线的方向向量a,b平行,还要证明一直线上有一点不在另一条直线上.,题型四,空间向量共面问题,方法技巧 (1)证明空间三个向量共面,常用如下方法: 设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若a=xb+yc,则向量a,b,c共面; 寻找平面,证明这些向量与平面平行. (2)对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立来证明四点共面:,谢谢观赏！,
