1、空间几何体的表面积和体积习题讲解一课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式） 。二命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。考查形式：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的
2、面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三要点精讲1多面体的面积和体积公式名称 侧面积( )侧S全面积( )全S体 积( )V棱柱 直截面周长l hS截 面 积底棱柱 直棱柱 ch底侧 2底棱锥 各侧面积之和棱锥 正棱锥 hc21底侧 ShS底31棱台 各侧面面积之和棱台 正棱台 hc)(21下 底上 底侧 S)(31下 底上 底 下 底上 底 Sh表中 S 表示面积， 、 分别表示上、下底面周长， 表斜高， 表示斜高， 表示 hl侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称 圆柱 圆锥 圆台 球侧Srl2rl)(21r全 )1()1()()(2121lr 24rVhr2h
3、r23321r3表中 、 分别表示母线、高， 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径， 、 分别表示圆l 12r台 上、下底面半径， 表示半径。R四典例解析题型 1：柱体的体积和表面积例 1一个长方体全面积是 20cm2，所有棱长的和是 24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 、ycm、zcm、lcmxcm依题意得： 24)(402zyx)2(1由（2） 2 得：x 2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）（1）得 x2+y2+z2=16即 l2=16所以 l=4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多
4、被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例 2如图 1 所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，ABAD，A 1AB=A 1AD= 。3（1）求证：顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在BAD 的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。图 1 图 2解析：（1）如图 2，连结 A1O，则 A1O底面 ABCD。作 OMAB 交 AB 于 M，作ONAD 交 AD 于 N，连结 A1M，A 1N。由三垂线定得得A1MAB，A 1NAD。 A1AM=A 1AN，RtA 1NARt A 1MA,
5、A 1M=A1N，从而 OM=ON。点 O 在BAD 的平分线上。（2）AM=AA 1cos =3 =32AO= = 。4cosAM23又在 RtAOA 1 中，A 1O2=AA12 AO2=9 = ，9A 1O= ，平行六面体的体积为 。23 2345V0题型 2：柱体的表面积、体积综合问题例 3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 ，这个长方体对角线的长是6,32（ ）A2 B3 C6 D2解析：设长方体共一顶点的三边长分别为 a=1，b ，c ，则对角线 l 的长为23l= ；答案 D。622cba点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例 4如图，三棱柱
6、ABCA1B1C1中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平面 EB1C1将三棱柱分成体积为 V1、V 2的两部分，那么 V1V 2= _ _。解：设三棱柱的高为 h，上下底的面积为 S， 体积为 V，则 V=V1+V2Sh。E、F 分别为 AB、AC 的中点，S AEF = S,4V1= h(S+ S+ )= Sh31S27V2=Sh-V1= Sh，5V 1V 2=75。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型 3：锥体的体积和表面积例 5 （2008 山东卷 6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可
7、得该几何体的表面积是 D(A)9 （B）10(C)11 (D)12（2008 江西卷 10）连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为 4 的球的两条弦 、 的长度分ABCD别等于 、 ， 、 分别为 、 的中点，每条弦的两端都在球面2743MNABCD上运动，有下列四个命题：弦 、 可能相交于点 弦 、 可能相交于点ABCD N 的最大值为 5 的最小值为 1NMN其中真命题的个数为 CA1 个 B2 个 C3 个 D4 个（2008 湖北卷 3）用与球心距离为 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为 B1A. B. C. D. 383282832点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、
8、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。例 6 （2008 北京，19） （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 是等边PABCDPABCDA PAD三角形，已知 ， 28245（）设 是 上的一点，证明：平面 平面 ；MMP（）求四棱锥 的体积PABCD（）证明：在 中，ABD由于 ， ， ，4845所以 22故 ADB又平面 平面 ，平面 平面 ，PACDPABCD平面 ，所以 平面 ，B又 平面 ，DM故平面 平面 PA（）解：过 作 交 于 ，OD由于平面 平面 ，BC所以 平面 POABCD因此 为四棱锥 的高，又 是边长为 4 的等边三
9、角形因此 32PO在底面四边形 中， ， ，ABCD 2ABDC所以四边形 是梯形，在 中，斜边 边上的高为 ，Rt 485此即为梯形 的高，ABC所以四边形 的面积为 D254824S故 124316PABCV点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。题型 4：锥体体积、表面积综合问题例 7ABCD 是边长为 4 的正方形，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GB 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且 GC 2，求点 B 到平面 EFC 的距离？解：如图，取 EF 的中点 O，连接 GB、GO、CD、FB 构造三棱锥 BEFG。
10、设点 B 到平面 EFG 的距离为 h，BD ，EF ，CO 。而 GC平面 ABCD，且 GC2。由 ，得 点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B 为顶点， EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。例 8 （2007 江西理，12）如图，在四面体 ABCD 中，截面 AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与 BC，DC 分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥 ABEFD 与三棱锥 AEFC 的表面积分别是 S1，S 2，则必有（ ）AS 1S
11、 2 BS 1S 2CS 1=S2 DS 1，S 2的大小关系不能确定解：连 OA、OB、OC、OD，则 VABEFD V OABD V OABE V OBEFDVAEFC V OADC V OAEC V OEFC 又 VABEFD V AEFC ，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABDS ABES BEFDS ADCS AECS EFC 又面 AEF 公共，故选 C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。题型 5：棱台的体积、面积及其综合问题DBAOCEF例 9 （2008 四川理
12、，19）（本小题满分 12 分）如图，面 ABEF面 ABCD，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形，BAD=FAB=90，BC AD，BE AF，G、H 分别是 FA、FD 的中点。1212()证明：四边形 BCHG 是平行四边形；()C、D、E、F 四点是否共面？为什么？()设 AB=BE，证明：平面 ADE平面 CDE.)解法一：()由题设知，FG=GA,FH=HD.所以 GH ，12AD又 BC ,故 GH BC.所以四边形 BCHG 是平行四边形.() C、 D、 F、 E 四点共面.理由如下：由 BE ,G 是 FA 的中点知， BE GF，所以 EF BG.12A由
13、()知 BG GH，故 FH 共面.又点 D 在直线 FH 上.所以 C、 D、 F、 E 四点共面.()连结 EG，由 AB=BE， BE AG 及 BAG=90知 ABEG 是正方形.故 BG EA.由题设知， FA、 AD、 AB 两两垂直，故 AD平面 FABE，因此 EA 是 ED 在平面 FABE 内的射影，根据三垂线定理， BG ED.又 ED EA E，所以 BG平面 ADE.由()知， CH BG，所以 CH平面 ADE.由()知 F 平面 CDE.故 CH 平面 CDE，得平面 ADE平面 CDE.解法二：由题设知， FA、 AB、 AD 两两互相垂直.如图，以 A 为坐标
14、原点，射线 AB 为 x 轴正方向建立直角坐标系 A-xyz.()设 AB=a,BC=b,BE=c， 则由题设得A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c).所以， 0,)0,).GHb于是 .B又点 G 不在直线 BC 上.所以四边形 BCHG 是平行四边形.() C、 D、 F、 E 四点共面.理由如下：由题设知， F(0,0,2c)，所以(,0(,0),aCHacEFCH.CEFD又 ， ， 故 、 、 、 四 点 共 面()由 AB=BE，得 c=a，所以 (,0)(,0).aAEa又 (0,2) ,.A
15、bCHDA因 此即 CH AE,CH AD,又 AD AE =A,所以 CH平面 ADE,故由 CH 平面 CDFE，得平面 ADE平面 CDE.点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。考查了考生继续学习的潜能。例 10 （1） （2008 四川理，8）设 是球心 的半径 上的两点，且 ，分别过 作垂线于,MNOPNPMO,NMO的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( D )P（） （） （） （）3
16、,563,685,795,89【解】：设分别过 作垂线于 的面截球得三个圆的半径为 ，球半径为 ，,NOP123,rR则： 2 22 2 21 3518, ,3939rRRrRrR 这三个圆的面积之比为： 故选 D2213:5:89r5,89【点评】：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系；【突破】：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；例 11 （2008 四川文，12）若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为 的菱形，06则该棱柱的体积等于( B )（） （） （） （）223242【解】：如图在三棱柱 中，设 ，1ABC0116ABC由条件有
17、，作 于点 ，0161O面则011coscos63cos3AB 16sin3O1126sin3AO 故选 B11 02si62AOBCBCVS【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力；【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键；例 12如图 99，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球，水面高度恰好升高 r，则 = 。解析：水面高度升高 r，则圆柱体积增加 R2r。恰好是半径为 r 的实心铁球的体积，因此有 r3= R2r。故 。答案为 。433点
18、评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。题型 7：圆锥的体积、表面积及综合问题例 13已知过球面上 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且,ABC，求球的表面积。2ABC解：设截面圆心为 ，连结 ，设球半径为 ，OR则 ，23A在 中， ，RtO22AO ，2231()4R ，3R 。2649S点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例 14如图所示，球面上有四个点 P、A、B 、C，如果 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。解析：如图，设过 A、B、C 三点的球的截面圆半径为 r，圆心为 O，球心到
19、该圆面的距离为 d。在三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a,AB=BC=CA= a,且 P 在ABC 内的射影即是ABC 的中心 O。2由正弦定理，得 =2r,r= a。60sin36又根据球的截面的性质，有 OO平面 ABC，而 PO 平面 ABC，P、O、O共线，球的半径 R= 。又 PO= = =2dr2rPA23aa，3OO=R a=d= ,(R a)2=R2 ( a)2，解得 R= a,32rR363S 球 =4R 2=3a 2。点评：本题也可用补形法求解。将 PABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角
20、线，易得球半径 R= a,下略。23题型 9：球的面积、体积综合问题例 15 （1）表面积为 的球，其内接正四棱柱的高是 ，求这个正四棱柱的表面32414积。（2）正四面体 ABCD 的棱长为 a，球 O 是内切球，球 O1 是与正四面体的三个面和球 O 都相切的一个小球，求球 O1 的体积。解：（1）设球半径为 ，正四棱柱底面边长为 ，Ra则作轴截面如图， ， ，14A2Ca又 ， ，243R9 ， ，282ACa 奎 屯王 新 敞新 疆6431576S表（2）如图，设球 O 半径为 R，球 O1 的半径为 r，E 为 CD 中点，球 O 与平面ACD、BCD 切于点 F、G，球 O1 与平
21、面 ACD 切于点 H 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆由题设奎 屯王 新 敞新 疆aGEA362 AOFAEG ，得 奎 屯王 新 敞新 疆aR236a126 AO 1HAOF ，得 奎 屯王 新 敞新 疆Rra36a246 奎 屯王 新 敞新 疆331728441rVO球点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。题型 10：球的经纬度、球面距离问题例 19 （1）我国首都靠近北纬 纬线，求北纬 纬线的长度等于多少 ？（地4040 km球半径大约为 ）6370km（2）在半径为 的球面上有 三点， ，求球心到经过c,ABC12BACc这三点的截面的距离
22、。解：（1）如图， 是北纬 上一点， 是它的半40K径， ，OKA设 是北纬 的纬线长，C40 ，AOBK 2cos2cos40AOA43.14670.3.061()km答：北纬 纬线长约等于 4.（2）解：设经过 三点的截面为 ，,ABCO设球心为 ，连结 ，则 平面 ，OABC ，32143A ，2OA所以，球心到截面距离为 1cm例 16在北纬 圈上有 两点，设该纬度圈上45,B两点的劣弧长为 （ 为地球半径） ，求,AB2R两点间的球面距离。,解：设北纬 圈的半径为 ，则 ，设 为45r24RO北纬 圈的圆心， ， BAO ， ，24rR24R ， ，22ABrR 中， ，C3O所以，
23、 两点的球面距离等于 ,ABR点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。（2008 广东文 18）（本小题满分 14 分）如图 5 所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形，其中 BD是圆的直径， 。60,45,ABDCADPB（1）求线段 PD 的长；（2）若 ，求三棱锥 P-ABC 的体积。1PCR【解析】 （1） BD 是圆的直径 又 ,90BADAPBD, ;ADPB22 34sin6130RAB(2 ) 在 中，RtCAcos452D又2291PDRPCD90PA底面 ABCD2113213
24、1sin6045224ABCSRRA三棱锥 的体积为 .PABC 231131344PABCABVSDR A五思维总结1正四面体的性质 设正四面体的棱长为 ，则这个正四面体的a(1)全面积： ；23aS全(2)体积： ；31V(3)对棱中点连线段的长： ；ad2(4)内切球半径：r= ；r16(5)外接球半径： ；aR4(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。2直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：如图，在直角四面体 AOCB 中，AOB=BOC=COA=90，OA=a,OB=b,OC=c。则：不含直角的底
25、面 ABC 是锐角三角形；直角顶点 O 在底面上的射影 H 是ABC 的垂心；体积 V= abc；61底面 ABC= ；2122acbaS 2ABC =SBHC SABC ；S 2BOC =S2AOB +S2AOC =S2ABC = + + ; 21OHa2b1c外切球半径 R= ；22cba内切球半径 r= cABCOABS-S3圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.如图，圆锥的顶角为 ，母线与下底面所成角为 ，母线为 l，高为 h，底面半径为 r，则lrlh2sinco902cosin圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为 ，母线为 l，高为 h，上、下底面半径分别为 r 、r，则 h=lsin
26、，r-r=lcos。球的截面用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；(3)球心和截面距离 d,球半径 R，截面半径 r 有关系：r= .2d-4经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 经线及轴确定的半平0面所成的二面角的度数。纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。5. 两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 奎 屯王 新 敞新 疆两点的球面距离公式：（其中 R 为球半径， 为 A,B 所对应的球心角的弧度数）
