1、3.3.1 单调性,第3章 3.3 导数在研究函数中的应用,学习目标,1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式. 3.会用导数法求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 函数的单调性与导函数正负的关系,思考1 观察下列各图，完成表格内容.,正,正,正,递增,递增,负,递减,负,递减,负,递减,负,负,思考2 依据上述分析，可得出什么结论？ 答案 一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上， 如果f(x)0，则f(x)在该区间上单调递增； 如果
2、f(x)0，则f(x)在该区间上单调递减.,梳理 (1),锐,上升,钝,递减,递增,下降,(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：,减,增,1.如果函数yf(x)在区间(a，b)上都有f(x)0，那么f(x)在区间(a，b)内单调递增.( ) 2.如果函数yf(x)在区间(a，b)上单调递增，那么它在区间(a，b)上都有f(x)0.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 求函数的单调区间,命题角度1 求不含参数的函数的单调区间 例1 求f(x)3x22ln x的单调区间. 解 f(x)3x22ln x的定义域为(0，).,解答,反思与感悟 求函数yf(x)的单调区间的步骤
3、(1)确定函数yf(x)的定义域； (2)求导数yf(x)； (3)解不等式 f(x)0，函数在定义域内的解集上为增函数； (4)解不等式 f(x)0，函数在定义域内的解集上为减函数.,解答,解 函数f(x)的定义域为(，2)(2，).,因为x(，2)(2，)，所以ex0，(x2)20. 由f(x)0，得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)； 由f(x)0，得x3. 又函数f(x)的定义域为(，2)(2，)， 所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3).,解答,命题角度2 求含参数的函数的单调区间 例2 讨论函数f(x)x2aln x(a0)的单调性.,设g(x)2x2a，
4、由g(x)0，得2x2a. 当a0时，f(x)2x0，函数f(x)在区间(0，)上为增函数；,综上，当a0时，函数f(x)的单调增区间是(0，)；,解答,引申探究 若将本例改为f(x)ax2ln x(aR)呢？,当a0时，且x(0，)，f(x)0， 函数f(x)在(0，)上为减函数；,综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，)上为减函数；,反思与感悟 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误. (2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题
5、都解决了，整个问题就解决了.,解答,跟踪训练2 已知函数f(x)4x33tx26t2xt1，其中xR，tR.当t0时，求f(x)的单调区间.,解 f(x)12x26tx6t26(xt)(2xt)，,同理当x(t，)时，f(x)也为增函数.,类型二 证明函数的单调性问题,证明,则cos x0，xcos xsin x0，f(x)0，,反思与感悟 关于利用导数证明函数单调性的问题 (1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行. (2)f(x)(或)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f(x)(或)0.,证明,又0
6、xe，ln xln e1.,类型三 已知函数的单调性求参数范围,解答,要使f(x)在2，)上单调递增，则f(x)0在x2，)时恒成立，,x20，2x3a0， a2x3在x2，)时恒成立. a(2x3)min. 当x2，)时，y2x3是单调递增的， (2x3)min16，a16.,a的取值范围是(，16.,反思与感悟 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f(x)0(f(x)0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.,解答,解 方法一 f(x)x2ax(a1)， 因为函数f(x)在区间1
7、,2上为减函数， 所以f(x)0，即x2ax(a1)0，解得ax1. 因为在1,2上，ax1恒成立， 所以a(x1)max1. 所以a的取值范围是1，). 方法二 f(x)(x1)x(a1)， 由于函数f(x)在区间1,2上为减函数， 所以f(x)0，当a2时，解得1xa1，,即减区间为1，a1，则1,21，a1，得a1. 当a2时，解得减区间为a1，1， 则函数f(x)不可能在1,2上为减函数，故a1. 所以实数a的取值范围是1，).,达标检测,1.函数f(x)2x33x21的单调递增区间是_，单调递减区间是_.,答案,1,2,3,4,5,解析,(，0)和(1，),解析 f(x)6x26x，
8、 令f(x)0，得x1， 令f(x)0，得0x1.,(0,1),1,2,3,4,5,答案,解析,2.函数f(x)(x1)ex的单调递增区间是_. 解析 f(x)(x1)ex(x1)(ex)xex， 令f(x)0，解得x0.,(0，),3.函数f(x)ln xax(a0)的单调递增区间为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 f(x)的定义域为x|x0，,4.若函数yx3ax24在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为_. 解析 y3x22axx(3x2a)， 由题意知x(0,2)，y0，,1,2,3,4,5,答案,解析,3，),1,2,3,4,5,5.求函数f(x)(xk)ex的单调区间. 解 f(x)ex(xk)ex(xk1)ex， 当xk1时，f(x)0， 所以f(x)的单调递减区间是(，k1)，单调递增区间为(k1，).,解答,1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.,规律与方法,
