1、1.1.2 充分条件和必要条件,第1章 1.1 命题及其关系,学习目标,1.理解充分条件、必要条件的意义. 2.会判断、证明充要条件. 3.通过学习，明白对条件的判断应归结为判断命题的真假.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 充分条件与必要条件的概念,给出下列命题： (1)若xa2b2，则x2ab； (2)若ab0，则a0. 思考1 你能判断这两个命题的真假吗？ 答案 (1)真命题， (2)假命题. 思考2 命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？ 答案 命题(1)中只要满足条件xa2b2，必有结论x2ab； 命题(2)中满足条件ab0，不一定有结论a0，还
2、可能b0.,梳理,充分,必要,充分,必要,思考1 命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中的条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？ 答案 只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立. 思考2 若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？ 答案 因为pq且qp，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件.,知识点二 充要条件的概念,梳理 一般地，如果pq，且qp，就记作 .此时，我们说，p是q的 ，简称充要条件.,pq,充分必要条件,知识点三 常见的四种条件,1.从命题的真假判断充分条件、必要条件和充要条件
3、如果原命题为“若p则q”，逆命题为“若q则p”,pq，但qp,qp，但pq,pq，qp，即pq,pq，qp,2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 前提：设集合Ax|x满足p，Bx|x满足q.,1.若q是p的必要条件，则p是q的充分条件.( ) 2.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.( ) 3.若q不是p的必要条件，则“pq”成立.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,例1 判断下列各题中，p是q的什么条件？,类型一 充要条件的判断,解答,p是q的充分不必要条件.,(2)p：(a2)(a3)0，q：a3； 解 由(a2)(a3)0可以推出a2或a3，不一定有a3；
4、 由a3可以推出(a2)(a3)0，因此p是q的必要不充分条件.,解答,知ab可以推出sin Asin B，sin Asin B可以推出ab， p是q的充要条件.,(3)在ABC中，p：ab，q：sin Asin B；,(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.,解答,p是q的既不充分又不必要条件.,反思与感悟 充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：确定谁是条件，谁是结论. 尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件. 尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. (2)命题判断法： 如果命题：“若p则q”为真命题，
5、那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件. 如果命题：“若p则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.,跟踪训练1 设xR，则“3x0”是“|x1|2”的_条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”) 解析 3x0x3，|x1|21x3， 故“3x0”是“|x1|2”的必要不充分条件.,答案,必要不充分,解析,类型二 充分条件、必要条件的应用,例2 已知p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解 p：2x10，q：1mx1m(m0). 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即x
6、|1mx1mx|2x10，,解答,又m0，所以实数m的取值范围为m|0m3.,引申探究 1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解 p：2x10，q：1mx1m(m0). 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.,解答,解不等式组得m9或m9，所以m9， 即实数m的取值范围是9，).,2.本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件. 解 因为p：2x10，q：1mx1m(m0).若p是q的充要条件，则 m不存在.故不存在实数m，使得p是q的充要条件.,解答,反思与感悟 (1)设集合A
7、x|x满足p，Bx|x满足q，则pq可得AB；qp可得BA；若p是q的充分不必要条件，则AB. (2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值.,跟踪训练2 已知Mx|(xa)21，Nx|x25x240，若M是N的充分条件，求a的取值范围. 解 由(xa)21，得x22ax(a1)(a1)0， a1xa1. 又由x25x240，得3x8. M是N的充分条件，MN， 解得2a7.即a的取值范围是2,7.,解答,例3 求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,类型三 充要条件的证明,证明,证明 充分性： ac0， 方程一定
8、有两个不等实根. 设两实根为x1，x2，则x1x2 0，即ac0. 综上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,引申探究 求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.,证明,证明 必要性： 方程ax2bxc0有一个根为1， x1满足方程ax2bxc0， a12b1c0，即abc0，必要性成立. 充分性： abc0，cab，代入方程ax2bxc0中，可得ax2bxab0，即(x1)(axab)0， 故方程ax2bxc0有一个根为1，充分性成立. 因此，关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.,反思与感悟 (1)证明充要条件，
9、一般是从充分性和必要性两方面进行，此时应特别注意充分性和必要性所推证的内容是什么. (2)要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由条件结论是证充分性，由结论条件是证必要性.,跟踪训练3 已知数列an的前n项和为Snpnq(p0且p1).求证：数列an为等比数列的充要条件为q1.,证明,证明 充分性：当q1时，a1p1； 当n2时，anSnSn1pn1(p1)， 当n1时也成立. 所以anpn1(p1)，nN*.,数列an为等比数列. 必要性：当n1时，a1S1pq； 当n2时，anSnSn1pn1(p1).,综上所述，q1是数列an为等比数列的充要条件.,达标检测,1.设M1,2
10、，Na2，则“a1”是“NM”的_条件. (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 解析 当a1时，N1，此时NM； 当NM时，a21或a22，解得a1或1或 或 . 故“a1”是“NM”的充分不必要条件.,充分不必要,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,2.“函数yx22xa没有零点”的充要条件是_. 解析 函数没有零点，即方程x22xa0无实根，所以有44a0，解得a1. 反之，若a1，则0，方程x22xa0无实根，即函数没有零点.,a1,答案,解析,3.王昌龄的从军行中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”
11、的_条件. 解析 “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.,1,2,3,4,5,答案,解析,必要,答案,解析,4.若“x21”是“x1，得x1. 又“x21”是“x1”， 但由“x21”推不出“xa”， 所以a1，所以实数a的最大值为1.,1,2,3,4,5,1,5.是否存在实数p，使得x2x20的一个充分条件是4xp0，若存在，求出p的取值范围，否则，说明理由.,解答,解 由x2x20，解得x2或x2或x1.,当p4时，“4xp0”的一个充分条件.,1,2,3,4,5,1.充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断. (2)等价法：“pq”表示p等价于q，要证pq，只需证它的逆否命题非q非p即可；同理要证pq，只需证非q非p即可.所以pq，只需非q非p. (3)利用集合间的包含关系进行判断. 2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.,规律与方法,
