1、数列的通项与求和,必记公式 1.“基本数列”的通项公式： (1)数列-1,1,-1,1,的通项公式是an=_. (2)数列1,2,3,4,的通项公式是an=_. (3)数列3,5,7,9,的通项公式是an=_. (4)数列2,4,6,8,的通项公式是an=_.,(-1)n,n,2n+1,2n,(5)数列1,2,4,8,的通项公式是an=_. (6)数列1,4,9,16,的通项公式是an=_. (7)数列1,3,6,10,的通项公式是an= . (8)数列 的通项公式是an= .,2n-1,n2,2.常用的拆项公式： (1) (2) (3) (4)若等差数列an的公差为d(d0),则 =,(5)
2、 (6),1.(2013新课标全国卷)设首项为1，公比为 的等比数列 an的前n项和为Sn，则( ) A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 【解析】选D.因为等比数列的首项为1，公比为 Sn= = 所以Sn=3-2an.,2.(2013玉溪模拟)数列an的通项公式是 若 前n项和为10，则项数n为( ) A.120 B.99 C.11 D.121 【解析】选A.由 所以a1+a2+an 即 即 解得n+1=121,n=120.,3.(2013西安模拟)如果数列an满足a1,a2-a1,a3-a2, an-an-1,是首项为1,公比为3的等比数列
3、,则an=( )【解析】选C.因为数列an满足a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1, 是首项为1,公比为3的等比数列,那么可知an-an-1=3n-1,因此利 用累加法可知,4.(2013重庆模拟)化简Sn=n+(n-1)2+(n-2)22+2 2n-2+2n-1的结果是( ) A.2n+2-n B.2n+1-n+2 C.2n-n-2 D.2n+1-n-2 【解析】选D.因为Sn=n+(n-1)2+(n-2)22+22n-2+2n-1, 2Sn=2n+(n-1)22+(n-2)23+22n-1+2n, 两式作差,得到Sn=-n+(2+22+2n-1)+2n, 化简得到为选项D.,5.(
4、2013滁州模拟)数列an满足a1=1,a2=2,2an+1=an+an+2,若 bn= 则数列bn的前5项和等于( )【解析】选B.因为2an+1=an+an+2，所以数列an为等差数列， 因为d=1,所以an=1+(n-1)1=n, 所以 所以S5=b1+b2+b3+b4+b5 =,热点考向 1 求数列的通项公式 【典例1】(1)(2013长春模拟)已知数列an中, a1=1, an= 2an1+1(n2),则数列an的通项公式是_. (2)已知数列an与bn的前n项和分别为Sn,Tn,a1=1,b1=2,且对 任意nN*，都有 Tn=2bn-2成立，求数列an，bn的 通项公式.,【解题
5、探究】 (1)根据an=2an1+1(n2),可知an+1与an1+1具有什么样的关 系？ 提示：an+1=2(an1+1). (2)根据 能得到an与an1的什么关系?由此可判断求 an的方法吗? 提示: 可用累乘法.,【解析】(1)由an=2an1+1(n2)得an+1=2(an1+1),即 所以数列an+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以an + 1=2n, 所以an=2n1. 答案：an=2n1 (2)由 知Sn=n2an, Sn-1=(n-1)2an-1(n2), 两式相减得an=n2an-(n-1)2an-1, 即(n2-1)an=(n-1)2an-1,所以 所以 = 又a1=
6、1也适合上式，因此 由Tn=2bn-2,所以Tn-1=2bn-1-2(n2), 两式相减得bn=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1, 所以数列bn构成以b1=2为首项,2为公比的等比数列,所以 bn=2n.,【互动探究】若题(1)条件变为a1=36,an+1-an=2n,试求 的最 小值. 【解析】由an+1-an=2n,得 a2-a1=2, a3-a2=4, a4-a3=6, an-an-1=2(n-1).,将以上n-1个式子累加得又因为a1=36,所以an=n2-n+36, 所以 当n=6时， 有最小值11.,【方法总结】求数列通项公式的常见类型及方法 (1)归纳猜想法:已知数列的前几
7、项,求数列的通项公式,可采用 归纳猜想法. (2)已知Sn与an的关系，利用 求an. (3)累加法：数列递推关系形如an+1=an+f(n)，其中数列f(n) 前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠 加法).,(4)累乘法：数列递推关系如an+1=g(n)an，其中数列g(n)前n 项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法). (5)构造法：递推关系形如an+1=pan+q(p,q为常数)可化为(p1)的形式，利用 是以p为 公比的等比数列求解； 递推关系形如 (p为非零常数)可化为 的形式.,【变式备选】已知数列an满足a1=2, 则数列an的通项公式为an=_.
8、 【解析】因为 所以 所以 即,所以数列 构成以 为首项， 为公差的等差数列， 所以 所以an=2. 答案：2,热点考向 2 裂项相消法求和 【典例2】(2013潍坊模拟)已知数列an的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数a1,a2,a4,a7,构成等差数列bn,Sn是bn的前n项和,且b1=a1=1,S5=15. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ,(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构 成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a9=16，求a50的 值. (2)设 求Tn.,【解题探究】 (1)求a50需明确的三个问题： a50
9、在数阵中的位置：_； bn在数阵中的位置：_； 等差数列bn的通项公式及等比数列的公比：_,公比: _. (2)求Tn的两个步骤: 求Sn:Sn= ; 观察Tn式子的特点，可判断用什么方法求Tn? 提示:裂项相消法.,第10行第5个数,第n行第一个数,bn=n,q=2,【解析】(1)因为bn为等差数列,设公差为d,b1=1,S5=15,所以S5=5+10d=15,d=1, 所以bn=1+(n-1)1=n. 设从第3行起,每行的公比都是q, 且q0,a9=b4q2,4q2=16,q=2, 1+2+3+9=45,故a50是数阵中第10行第5个数, 则a50=b10q4=1024=160.,(2)因
10、为 所以 = = =,【方法总结】裂项相消法求和应注意的问题 (1)通项公式形如 (其中a,b1,b2,c为常数) 用裂项相消法. (2)裂项时要保证裂项前后相等,为此可通过通分检验裂项的正 确性.,【变式训练】已知数列an是一个等差数列，且a2=5，a5=11. (1)求数列an的通项公式an. (2)令 求数列bn的前n项和Tn. 【解析】(1)设等差数列an的公差为d， 由已知条件得 解得a1=3，d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n+1.,(2)存在.由(1)知an=2n+1. 所以 = 所以 = 即数列bn的前n项和,热点考向 3 错位相减法求和 【典例3】(2013淮南模拟)
11、已知数列an满足a1=3，an+1-3an= 3n(nN*)，数列bn满足 (1)证明数列bn是等差数列并求数列bn的通项公式. (2)求数列an的前n项和Sn. 【解题探究】 (1)要证明数列bn是等差数列只需证明:_. (2)数列an的通项公式是: an=_=_, 根据通项公式的结构特点,可用_法求Sn.,bn+1bn=常数,3nbn,(n+2)3n-1,错位相减,【解析】(1)由 得 所以 所以数列bn是等差数列，首项b1=1，公差为 所以,(2)an=3nbn=(n+2)3n-1, 所以Sn=a1+a2+an =31+43+(n+2)3n-1 所以3Sn=33+432+(n+2)3n
12、-得 -2Sn=31+3+32+3n-1-(n+2)3n =2+1+3+32+3n-1-(n+2)3n = 所以,【方法总结】错位相减法求和应注意的问题 (1)通项公式形如 (其中k1,b1,k2,b2,q为常 数)，用错位相减法. (2)运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n+1项中 的前n项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注 意要讨论代数式是否为零.,【变式训练】(2013山东高考)设等差数列an的前n项和 为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1. (1)求数列an的通项公式. (2)设数列bn满足 求bn的前 n项和Tn. 【解析】(1)设等差数列an的首项为a1，
13、公差为d， 由S4=4S2,a2n=2an+1得,解得a1=1,d=2， 因此an=2n1,nN*. (2)由已知 当n=1时， 当n2时， 所以,由(1)知an=2n1,nN*， 所以 又两式相减得所以,【典例】已知数列an满足：a1=1,a2= 且3+(-1)nan+2- 2an+2(-1)n-1=0,nN*. (1)求a3,a4,a5,a6的值及数列an的通项公式. (2)设bn=a2n-1a2n-(-1)nln a2n，求S2n.,【解析】(1)经计算a3=3, a5=5,a6= 当n为奇数时,an+2=an+2,即数列an的奇数项成等差数列,所以 a2n-1=a1+(n-1)2=2n
14、-1; 当n为偶数， 即数列an的偶数项成等比数列，所 以 因此，数列an的通项公式为,(2)因为bn=a2n-1a2n-(-1)nlna2n = = 令 并设数列cn,dn的前n项和分别为Tn,Tn. 则,，两式相减， 得 = = 所以 T2n=-1+2-3+4-+2nln 2=nln 2， 所以,【方法总结】条件中含有(1)n题目的求解策略 通项公式形如an=(-1)nn或an=a(-1)n(其中a为常数，nN*)等正负交叉项的求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.,分类讨论思想 解决数列中的求和问题 【思想诠释】 1.主要类型：(1)求和分类讨论，如求数列|an|的
15、前n项和.(2)对等比数列公比的讨论,如求等比数列前n项和问题中对公比q=1和q1进行讨论.(3)对项数的奇偶进行讨论,如当条件中含有(-1)n时应讨论n的奇偶性.,2.解题思路：结合数列的通项公式及求和公式，全面分析引起结论的变化的各种情况进行分类讨论求解. 3.注意事项：(1)准确确定分类对象及分类标准，要不重不漏，符合最简原则.(2)运用公式求和时要注意公式成立的条件.,【典例】 (12分)(2013浙江高考)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列. (1)求d,an. (2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.,【审题】分析信息，
16、形成思路 (1)切入点:把a2,a3用a1,d表示,列方程求解. 关注点:公差d有两个结果,从而有两个an. (2)切入点:令an0求出变号的项. 关注点:需根据an的正负分类讨论求解.,【解题】规范步骤，水到渠成 (1)由题意得,5a3a1=(2a2+2)2,2分 d2-3d-4=0, 解得d=-1或d=4， 所以an=-n+11或an=4n+6.4分 (2)设数列an前n项和为Sn, 因为d0,所以d=-1,an=-n+11,则 由an0,即-n+110得n11. 所以当n11时,an0,n12时,an0.6分,所以n11时，|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn 8分 n12时，|
17、a1|+|a2|+|a11|+|a12|+|an|=a1+a2+a11- a12-an =S11-(Sn-S11) =-Sn+2S11= 综上所述，|a1|+|a2|+|an|12分,【点题】规避误区，失分警示,【变题】变式训练，能力迁移 (2013北京模拟)已知等差数列an的前3项和为6,前8项和 为-4, (1)求数列an的通项公式. (2)设bn=(4-an)qn-1(q0,nN*),求数列bn的前n项和Sn. 【解析】(1)设等差数列an的公差为d， 则 解之得a1=3,d=-1.所以an=3-(n-1)=4-n.,(2)由(1)的解答可得,bn=nqn-1, 则Sn=1q0+2q+3q2+nqn-1, 若q1,将上式两边同乘以q得qSn=1q+2q2+3q3+ (n-1)qn-1+nqn, -得, (q-1)Sn=nqn-1-q-q2-qn-1 =,所以 若q=1，则 综上,
