1、不等式的证明,知识自主梳理,1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分为 、 (1)作差法 理论依据：ab ； ab ； ab ； 证明步骤： ,作差法,作商法,ab0,ab0,ab0,作差,变形,判断符号,作商,变形,判断与,1的关系,2分析法 从让求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的 ，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法叫分析法分析法的思想是“ ”：即从求证的不等式出发，探求使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式 采用分析法证明不等式时，常用“ ”的符号，有时，若为充要条件时，也常用“ ”的符号证明过程常表示为“要证只要证”,充分,条件
2、,执果,索因,3综合法 所谓综合法，就是从 和已经证明过的基本不等式和不等式的 推导出所要证明的不等式成立，可简称为 在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用 常用的基本不等式有： (1)|a|0，a20，(ab)20，(a，bR)； (2)a2b22ab，(ab)20，(a，b ，当且仅当ab时取等号)；,题设条件,性质,由因导果,R,0,0,ab0,ab0,4反证法 先假设 不成立，即要证的不等式的反面成立如要证不等式MN，先假设 ，由题设及其他性质，推出矛盾，从而否定假设，肯定MN是正确的凡涉及到要证明的不等式为否定性命题、唯一命题或含“至多”、“至少”等字句时，可考虑用反证法,
3、所要证明的不等式,MN,5换元法 换元法是对结构较为复杂、量与量之间的关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式常见的换元法有 、 、 等换元方法，换元后要注意 变化,三角换元,均值换元,设差换元,范围,6放缩法 欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使用BB1，B1B2，BiA或AA1，A1A2，AiB，再利用传递性，以达到欲证的目的，这种方法叫放缩法 具体放缩方法有公式放缩和利用某些函数的单调性放缩等常用技巧有：舍去一些正项或负项；在和或积中换大(或换小)某些项；扩大(或缩小)分式的分子(或分母)等，放缩时要注意不等式
4、的一致性,7判别式法 判别式法是根据已知或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方法 8其他方法 最值法：xy恒成立xymax；xy恒成立xymin. 构造法：根据欲证不等式的具体结构特征，通过构造函数、数列、复数或图形等，达到促进转化、简化证明的目的，这种方法叫构造法，另外还有导数法，利用函数的单调性，数学归纳法等,重点 辨析,3综合法往往是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚，所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：用分析法分析，用综合法书写 4用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先
5、否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的,(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法 (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾、有的与假设矛盾、有的与已知事实相违背等，推导出的矛盾必须是明显的,5换元法多用于条件不等式的证明，变量较多，一个变量难以用另一个变量来表示，这样换元后可以达到减元的目的，使问题化难为易，化繁为简，在换元时，必须遵守一个原则，就是必须确保原来变量的范围不发生变化 6用放缩法时，放缩要有目标
6、，才能放缩适度，认真总结放缩技巧，充分利用不等式的性质及均值不等式，绝对值不等式和已知条件是进行放缩的关键 7在用判别式法时，若二次项系数含有字母，往往要按其为零和不为零两种情况分类讨论.,方法规律归纳,分析 观察可知，通过作差后，可以较快地因式分解，从而证明不等式；也可利用作商法证明,规律总结 本题的两种证法就是比较法中的作差法和作商法用比较法中的作差法证明不等式时，为了说明差式的符号，有下列三种常用的方法：将差式因式分解，通过判断简单因式的符号来判断差式符号；将差式通过配方写成一些正(负)数的和；把差式中的某一字母视为自变量，构造函数，证明函数值恒正或恒负用比较法中的作商法证明不等式时，关
7、键是对商进行合理的变形，然后比较它与1的大小，需特别注意的是，用作商法证明不等式时，应要求不等式的两边同号.,备选例题 1 已知a0，b0，m0，n0. 求证：amnbmnambnanbm. 证明：amnbmnambnanbm am(anbn)bm(bnan)(anbn)(ambm) a0，b0，m0，n0， 当ab时，(anbn)(ambm)0， amnbmnambnanbm； 当ab时，(anbn)(ambm)0， amnbmnambnanbm. 综上可知：amnbmnambnanbm.,分析 可采用综合法或分析法证明，要注意应用已知条件ab1.,规律总结 本题用的两种证法分别是综合法与分
8、析法，用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的已知不等式作为依据，其中基本不等式是最常用的当要证明的不等式比较复杂时，两端差异难以消去或者已知条件信息太少，已知与待证之间的联系不明显时，一般可以采用分析法，分析法是步步寻找不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是从要证明的不等式出发，寻找使不等式成立的充分条件，直到找到一个已知的或非常明显成立的不等式,分析 考虑不等式自身的特点，可用放缩法、构造函数法或数学归纳法,规律总结 放缩法、构造法是证明不等式的常用方法，放缩法证明不等式时，放缩要适度，必须有目标，而且要恰到好处，常用的放缩法有增项、减项，利用分式的性质，不等式的性质
9、，函数的性质等，构造法证明不等式，往往利用构造函数的单调性，几何图形的性质等解决问题.,分析 本题为条件不等式的证明，观察条件可知，用三角换元法较合适,规律总结 (1)换元时注意要等价，如本题中|r|1.(2)有些问题直接证明较困难，但若通过换元的思想去解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明，换元法中常见的是三角换元当题目条件为：a2b21，ab1，a2b21等时常用三角换元法.,备选例题 4 在本例条件下，求证：|3x28xy3y2|5. 证明：x2y21， 可设xrcos，yrsin(|r|1,02) |3x28xy3y2|3r2cos28r2sincos3r2sin2| r2|3cos24sin2|5r2|cos(2 )|5r25. 原不等式得证.,错因分析 能否分析已知与求证之间的差异和联系，能否合理应用已知条件进行有效的变换，是证不等式的关键.,
