1、第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理,一、归纳推理和类比推理,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,部分,整体,个别,一般,类似,已知,判断:(正确的打“”,错误的打“”) (1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,这种估计属于归纳推理.( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( ) (3)由个别到一般的推理为归纳推理.( ),提示:(1)正确.它符合归纳推理的定义特征,即由部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征. (2)错误.因为类比推理的结论不一定正确.只有经过严格证明,说明其正确性,才能进一步应用. (3)正确.
2、由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理. 答案:(1) (2) (3),二、合情推理,观察,分析,比,较,联想,归纳,类比,猜想,思考:合情推理的结论一定正确吗? 提示:不一定.合情推理包括归纳推理和类比推理.归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然性的,而是偶然性的,结论不一定正确;而类比推理的结果具有猜测性,也不一定可靠,因此也不一定正确.所以合情推理的结论不一定正确.,【知识点拨】 1.归纳推理的特点 (1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包括的范围. (2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和
3、实践检验,因此,归纳推理不能作为数学证明的工具.,(3)人们在进行归纳推理的时候,总是先搜集一定的事实资料,有了个别性的、特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行. (4)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新事实,获得新结论,是科学发现的重要手段.,2.类比推理的特点 (1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠. (2)类比在数学发现中具有重要作用.例如,通过空间与平面、向量与数、无限与有限、不等与相等的类比,发现可以研究的问题及其研究方法.,(3)由于类比推理的
4、前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征,所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征.,类型 一 数、式中的归纳推理 【典型例题】 1.(2012江西高考)观察下列各式： a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10=( ) A.28 B.76 C.123 D.199,2.已知: 设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x)(n1, 且nN*),则f3(x)的表达式为_,猜想fn(x)(nN*)的表 达式为_.,【解题探究】1.分析1,3,4,7,11,的特点是什么？ 2.fn-1(fn-1(x)与f(
5、fn-1(x)表达式相同吗？ 探究提示： 1.观察可知，4=1+3,7=3+4,11=4+7,后一个式子的结果是前两个式子结果的和(第一、二两个式子除外). 2.不相同，虽然括号内“fn-1(x)”一致，但对应法则不同，前者为fn-1(x),后者为f(x).,【解析】1.选C.利用归纳法，a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=3+1=4, a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29, a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123,规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和.,2.
6、因为 所以 又因为fn(x)=fn-1(fn-1(x), 所以,所以根据前几项可以猜想 答案：,【互动探究】题2中，若把“fn(x)=fn-1(fn-1(x)”改为“fn(x)=f(fn-1(x)”,其他条件不变，其结论fn(x)的表达式如何呢？,【解析】因为 所以 又因为fn(x)=f(fn-1(x), 所以,因此，可以猜想出,【拓展提升】 1.归纳推理的一般模式S1具有性质P,S2具有性质P, A类事物具有性质PSn具有性质P, (S1,S2,，Sn是A类事物的对象),猜想,2.归纳推理的思维过程 试验、 概括、 猜测一般 观察 推广 性的结论,3.由已知数、式进行归纳推理的方法 (1)要
7、特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律. (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征. (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点. (4)运用归纳推理得出一般结论.,【变式训练】(2013陕西高考)观察下列等式: (1+1)=21 (2+1)(2+2)=2213 (3+1)(3+2)(3+3)=23135 照此规律, 第n个等式可为_.,【解析】考查规律的观察、概括能力，注意项数，开始值和结束值. 第n个等式可为: (n+1)(n+2)(n+3)(n+n)= 2n135(2n1). 答案：(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n135(2n1),类型 二
8、 几何图形中的归纳推理 【典型例题】 1.(2013太原高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A.6n-2 B.8n-2 C.6n+2 D.8n+2,2.根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第(n)个图形有多少个圆圈.,【解题探究】1.从图形变化，可看出相邻两个图形中火柴棒数目的关系怎样？ 2.图形中的归纳推理与数列中的数的变化规律有什么关系？ 探究提示： 1.相邻两个图形中火柴棒数目的差是6. 2.从图形的变化规律入手，其数的变化规律其实与数列中的变化规律是一致的，所以先从图形中寻找数的变化规律后，再按规律猜测.,【
9、解析】1.选C.由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根， 可以写成a1=8=6+2.又a2=14=62+2,a3=20=63+2， 所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n+2.,2.方法一：图(1)中的圆圈数为12-0，图(2)中的圆圈数为22-1，图(3)中的圆圈数为32-2，图(4)中的圆圈数为42-3，图(5)中的圆圈数为52-4 故猜测第(n)个图形中的圆圈数为n2-(n-1)=n2-n+1.,方法二：第(2)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2(2-1)+1个圆圈； 第(3)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向
10、三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3(3-1)+1个圆圈； 第(4)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4(4-1)+1个圆圈；,第(5)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5(5-1)+1个圆圈； 由上述的变化规律，可猜测第(n)个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n个方向，每个方向有(n-1)个圆圈，因此共有n(n-1)+1=(n2-n+1)个圆圈.,【拓展提升】归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律,研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的
11、一般策略是：,【变式训练】如图，在一次珠宝展览会上，某商家展出了一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图(1)所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图(2)所示的正六边形，第四、五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图(3)和(4)所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有_颗珠宝，第n件首饰上应有_颗珠宝.,【解题指南】先由f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)的值，归纳猜想出f(n)的值.,【解析】方法一：5件首饰的珠宝颗数依次为：1,6=23, 15=3
12、5,28=47,45=59,归纳猜想第6件首饰上的珠宝数为611=66(颗)，第n件首饰上的珠宝数为n(2n-1)=2n2-n.,方法二：5件首饰的珠宝颗数依次为；1,1+5,1+5+9, 1+5+9+13,1+5+9+13+17,则第6件首饰上的珠宝颗数为1+5+9+13+17+21=66，即每件首饰上的珠宝数就是以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，故第n件首饰的珠宝颗数为1+5+9+(4n-3)=2n2-n. 答案：66 2n2-n,类型 三 类比推理的应用 【典型例题】 1.类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于对应底边的一半 (3)三内角平分线交于一点
13、,可得四面体的对应性质： (1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 (2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于 第四个面面积的 (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有( ) A.(1) B.(1)(2) C.(1)(2)(3) D.都不对,2.(2013温州高二检测)如图所示， 椭圆中心在坐标原点，F为左焦点， 当 时，其离心率为 此 类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄 金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( ) A. B. C. D.,【解题探究】1.在平面几何与立体几何的类比中，三角形类比成四面体，线段长度类比成什么，线类比成什么？
14、2.类比“黄金椭圆”“黄金双曲线”应满足什么条件？ 探究提示： 1.线类比成面，线段长度类比成面积. 2.由题知“黄金双曲线”应满足FBBA.,【解析】1.选C.以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确.,2.选A.如图所示，设双曲线方程为 (a0,b0), 则F(-c,0),B(0,b),A(a,0), 所以 又因为 所以 所以c2-a2-ac=0, 所以e2-e-1=0, 所以 或 (舍去)，故应选A.,【拓展提升】 1.类比推理的一般模式为 A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a,b,c(a,b,c
15、与a,b,c相似或相同),所以猜想：B类事物可能具有性质d.,2.类比推理的思维过程 观察、比较联想、类推猜测新的结论. 即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处.,3.运用类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性. (2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论. 如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么由类比得出的结论就越可靠.,事物之间的各个性质并不是孤立存在的，而是相互联系，相互制约的，如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么它们在另一些性质上也可能相同或相似，因而类
16、比的结论可能是真的，类比也可能具有必然性. 类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假.,【变式训练】在公比为4的等比数列bn中，若Tn是数列 bn的前n项积，则有 也成等比数列，且公比 为4100;类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列an 中，若Sn是an的前n项和. (1)写出相应的结论，判断该结论是否正确？并加以证明. (2)写出该结论的一个更为一般的情形(不必证明).,【解题指南】本题可由等比数列的商类比等差数列的差；等比数列的乘方类比等差数列的积；等比数列的积类比等差数列的和来分析.,【解析】(1)数列S20-S10，S30-S20，S40-S30也是等差数列，且 公差为300.
17、该结论是正确的. 证明如下：因为等差数列an的公差d=3, 所以(S30-S20)-(S20-S10) =(a21+a22+a30)-(a11+a12+a20),同理可得：(S40-S30)-(S30-S20)=300， 所以数列S20-S10,S30-S20,S40-S30是等差数列，且公差为300. (2)对于任意kN*，都有数列S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k是等差数列，且公差为k2d.,【易错误区】对归纳推理的特征掌握不准确致误 【典例】对任意正整数n，猜想2n与n2的大小关系是_. 【解析】当n=1时，2112;当n=2时，22=22； 当n=3时，2352;当n=6时，
18、2662, 所以可以猜想 当n=3时，2nn2;当nN*且n3时，2nn2. 答案：当n=3时，2nn2;当nN*且n3时，2nn2,【误区警示】,【防范措施】 1.防止以偏概全 在进行归纳推理时，为避免出现以偏概全的情形，对于特殊项要多验证几项，如本例n=3验证后，再验证n=4,n=5,n=6，再作猜想，以掌握更多归纳特征，同时要根据变化规律和趋势作判断.,2.归纳要全面 在进行归纳时，要对所归纳的命题加以分析、归纳、综合，从而得到更加全面、科学、正确的猜想，如本例中，要注意猜想n=3,n=2和4及n2,3,4的所有情况.,【类题试解】在数列an中，a1=0,an+1=2an+2,则猜想an
19、=( ) A. B.2n-2 C.2n-1+1 D.2n+1-4,【解析】选B.因为a1=0=21-2, 所以a2=2a1+2=2=22-2, a3=2a2+2=4+2=6=23-2, a4=2a3+2=12+2=14=24-2, 猜想an=2n-2. 故应选B.,1.关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A.归纳推理是一般到一般的推理 B.归纳推理是一般到个别的推理 C.归纳推理的结论一定是正确的 D.归纳推理的结论不一定成立 【解析】选D.归纳推理是由个别到一般的推理，其结论不一定正确.故应选D.,2.各项都为正数的数列an中，a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,猜 想数列an的通项
20、为( ) A. B. C. D. 【解析】选A.由条件可知，a2=1+2,a3=6=1+2+3, a4=1+2+3+4,可以猜想an=1+2+3+n=,3.数列an:2,5,11,20,x,47,中的x等于_. 【解析】因为5-2=31,11-5=6=32,20-11=9=33，猜测x-20=34,47-x=35,推知x=32. 答案：32,4.观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有_根；第n个图形中，火柴杆有_根.,【解析】第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根猜想第n个图形有(3n+1)根.
21、 答案：13 3n+1,5.点 在圆C：x2+y2=1上，经过点M的圆的切线方程 为 又点Q(2,1)在圆C外部，容易证明直线 2x+y=1与圆相交；点 在圆C的内部,直线 与圆相离.类比上述结论，你能给出关于一点P(a,b)与圆 x2+y2=r2的位置关系与相应直线ax+by=r2与圆的位置关系的结 论吗？,【解析】点P(a,b)在C:x2+y2=r2上时，直线ax+by=r2与C相切；点P在C内时，直线ax+by=r2与C相离；点P在C外部时，直线ax+by=r2与C相交.,证明如下：圆心(0，0)到直线的距离为 若(a,b)在圆内，则a2+b2r2,所以dr，所以直线与圆相 离； 若(a,b)在圆上，则a2+b2=r2,所以d=r,所以直线与圆相切； 若(a,b)在圆外，则a2+b2r2,所以dr,所以直线与圆相交.,
