1、,选修4-5 不等式选讲,第三节 三个重要的不等式,一、柯西不等式 1柯西不等式 (1)二维形式：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2) ，当且仅当 时，等号成立 (2)向量形式：设、是两个向量，则| ， 当且仅当是 ，或存在实数k，使 时，等号成立,(acbd)2,adbc,|,零向量,k,(a1b1,a2b2anbn)2,bi0,aikbi,三角不等式的几何意义是什么？ 提示：记O(0,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则不等式的几何意义是在OAB中两边之和大于第三边，当且仅当O，A，B三点共线，并且点A，B在原点O两旁时等号成立,二、排序不等式 1乱序和、反序和与顺
2、序和 设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bnR，且a1a2a3an，b1b2b3bn，设c1，c2，c3，cn是数列b1，b2，b3，bn的任意一个排列，则分别将Sa1c1a2c2a3c3ancn， S1a1bna2bn1a3bn2anb1， S2a1b1a2b2a3b3anbn称为数组(a1，a2，a3，an)和数组(b1，b2，b3，bn)的 ， 与 ,乱序和,反序和,顺序和,2排序不等式(又称 ) 设a1a2an，b1b2b3bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，则a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，当且仅当a1a
3、2an或b1b2bn时，反序和等于顺序和,排序原理,三、贝努利不等式 1如果x是实数，且 ，n为大于1的自然数，那么有(1x)n . 2设为实数，x1. 如果 ，则(1x)1x； 如果 ，则(1x)1x， 当且仅当 时等号成立,x1，x0,1nx,01,0或1,x0,答案：A,答案：C,答案：B,答案：1,5如图所示，矩形OPAQ中，a1a2，b1b2，则阴影部分的矩形的面积之和_空白部分的矩形的面积之和(填“”“”或“”),解析：这可沿题图中线段MN向上翻折比较即知当然由题图我们可知，阴影面积a1b1a2b2，而空白面积a1b2a2b1；根据顺序和反序和可知答案为. 答案：,【考向探寻】 1
4、利用柯西不等式证明不等式； 2利用柯西不等式求最值,(1)将f(x2)0转化为m|x|0，根据|x|m的解集求出m. (2)用柯西不等式证明或用基本不等式证明 (1)解：因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m. 由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm 又f(x2)0的解集为1,1，故m1.,利用柯西不等式证明不等式或求最值时，一定要注意等号成立的条件,【活学活用】 1已知abc1，ma2b2c2，求m的最小值,(1)利用排序不等式证明不等式，关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个不等式 (2)在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，必须限定字母的大小顺序，而只有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体情况分类讨论,贝努利不等式可把二项式的乘方(1x)n缩小为1nx的形式，这在数值估算和放缩法证明不等式中可发挥较大的作用,以上两种解法都忽视了不等式中等号成立的条件，导致解题不完整,即abc3时等号成立 a2b3c的最小值为18.,
