1、热点专题突破系列(三) 数列的综合应用,考点1 等差数列与等比数列的综合问题 【典例1】(2014湖州模拟)已知an是单调递增的等差数列,首项a1=3,前n项和为Sn,数列bn是等比数列,首项b1=1,且a2b2=12,S3+b2=20. (1)求an和bn的通项公式. (2)令cn=Sncos(an)(nN*),求cn的前n项和Tn.,【解题视点】(1)利用“基本量法”,用首项和公差(比)表示已知等式,解得公差(比),再用通项公式求解. (2)用(1)的结论表示出cn,再分n是偶数与n是奇数两种情况讨论求和.,【规范解答】(1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q, 则a2b2=(3+d
2、)q=12, S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d, 则(3+d)(11-3d)=33+2d-3d2=12, 即3d2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0. 因为an是单调递增的等差数列,所以d0, 所以d=3,q=2, an=3+(n-1)3=3n,bn=2n-1.,(2)由(1)知 cn=Sncos3n= 当n是偶数时, Tn=c1+c2+c3+cn=-S1+S2-S3+S4-Sn-1+Sn =a2+a4+a6+an=6+12+18+3n=,当n是奇数时, Tn=Tn-1-Sn= =- (n+1)2. 综上可得,Tn=,【规
3、律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序. (2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.,提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.,【变式训练】(2014金华模拟)在等比数列an中,已知a1=3,公比q1,等差数列bn满足b1=a1,b4=a
4、2,b13=a3. (1)求数列an与bn的通项公式. (2)记cn=(-1)nbn+an,求数列cn的前n项和Sn.,【解析】(1)设等差数列bn的公差为d. 由已知得:a2=3q,a3=3q2, b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d,所以此时d=2, 所以an=3n,bn=2n+1.,(2)由题意得:cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n, Sn=c1+c2+cn =(-3+5)+(-7+9)+(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)+3+32+3n, 当n为偶数时,Sn= 当n为奇数时,Sn=(n-1)-(2n+1)+ 所以Sn=,【加固训练】 在公差
5、为d(d0)的等差数列an和公比为q的等比数列bn中,a2=b1=3,a5=b2,a14=b3. (1)求数列an和bn的通项公式. (2)令cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.,【解析】(1)因为a2=b1=3,a5=b2,a14=b3, 所以 解之得 所以an=2n-1,bn=3n.,(2)因为cn=anbn=(2n-1)3n.所以Tn=13+332+533+(2n-1)3n, 所以3Tn=132+333+(2n-3)3n+(2n-1)3n+1, 所以-2Tn=3+232+233+23n-(2n-1)3n+1, 所以-2Tn=3+2(32+33+3n)-(2n-1)3n+1 =3+2
6、 -(2n-1)3n+1, 所以Tn=3+(n-1)3n+1.,考点2 数列与函数的综合问题 【典例2】(12分)(2013安徽高考)设数列an满足a1=2, a2+a4=8,且对任意nN*,函数f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cosx -an+2sinx,满足f =0. (1)求数列an的通项公式. (2)若bn= 求数列bn的前n项和Sn.,【解题视点】(1)由f =0证得an是等差数列.(2)求出bn 的通项公式,利用等差、等比数列的求和公式计算. 【规范解答】(1)由题设可得,f(x)=an-an+1+an+2-an+1sinx- an+2cosx,对任意nN*,f
7、=an-an+1+an+2-an+1=0,即an+1-an= an+2-an+1,故an为等差数列. 由a1=2,a2+a4=8解得an的公差d=1,所以an=2+1(n-1)=n+1.,【规律方法】数列与函数的综合问题的常见类型及解题策略 (1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题. (2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外,解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,在问题的求解过程中往往会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.,解决数列与函数综合
8、问题的注意点 (1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集,而不是某个区间上的连续实数,所以它的图象是一群孤立的点. (2)转化以函数为背景的条件时,应注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是非常容易忽视的问题. (3)利用函数的方法研究数列中相关问题时,应准确构造函数,注意数列中相关限制条件的转化.,【变式训练】(2014温州模拟)已知函数f(x)= (x-1, xR),数列an满足a1=a(a-1,aR),an+1=f(an)(nN*). (1)若数列an是常数列,求a的值. (2)当a1=4时,记bn= (nN*),证明数列bn是等比数列, 并求出通项公式an.,【解析】(1)因为
9、f(x)= ,a1=a,an+1=f(an)(nN*),数列 an是常数列, 所以an+1=an=a,即a= ,解得a=2或a=1. 所以所求实数a的值是1或2.,(2)因为a1=4,bn= (nN*), 所以 即bn+1= bn(nN*), 所以数列bn是以b1= 为首项,q= 为公比的等比数列,于是,由 所以所求的通项公式,【加固训练】 已知数列an的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn. (1)求数列an的通项公式. (2)若bn= an,求数列bn的前n项和Tn. (3)设Q=x|x=kn,nN
10、*,R=x|x=2an,nN*,等差数列cn的任一项cnQR,其中c1是QR中的最小数,110c10115,求cn的通项公式.,【解析】(1)因为点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上, 所以Sn=n2+2n(nN*). 当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1, 当n=1时,a1=S1=3满足上式,所以数列an的通项公式为an=2n+1.,(2)由f(x)=x2+2x求导可得f(x)=2x+2. 因为过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn, 所以kn=2n+2, 所以bn= an=4(2n+1)4n. 所以Tn=4341+4542+4743+4(2n+1)4n. 由4,得 4
11、Tn=4342+4543+4744+4(2n+1)4n+1. ,-得: -3Tn=434+2(42+43+4n)-(2n+1)4n+1 =434+2 -(2n+1)4n+1, 所以,(3)因为Q=x|x=2n+2,nN*,R=x|x=4n+2,nN*, 所以QR=R. 又因为cnQR,其中c1是QR中的最小数, 所以c1=6,因为cn的公差是4的倍数, 所以c10=4m+6(mN*).,又因为110c10115, 所以 解得m=27,所以c10=114, 设等差数列cn的公差为d, 则 所以cn=6+(n-1)12=12n-6, 所以cn的通项公式为cn=12n-6.,考点3 数列与不等式的综
12、合问题 【典例3】(2013广东高考)设各项均为正数的数列an的前 n项和为Sn，满足4Sn=an+124n1,nN*,且a2,a5,a14构成等 比数列 (1)证明： (2)求数列an的通项公式. (3)证明：对一切正整数n，有,【解题视点】(1)把n=1代入已知等式,注意到an0即可得证. (2)把已知等式中的n换为n-1(n2),然后两式相减消去Sn,Sn-1,根据结构向等差或等比数列转化,再求通项公式. (3)根据(2)的结论,先运用裂项求和,再证明不等式.,【规范解答】(1)当n=1时，4a1=a225, a22=4a1+5，因为an0， 所以 (2)当n2时，4Sn1=an24(n
13、1)1， 4an=4Sn4Sn1=an+12an24，an+12=an2+4an+4=(an+2)2，因为an0，所以an+1=an+2，当n2时，an是公差d=2的等差数列. 因为a2,a5,a14构成等比数列，a52=a2a14，(a2+6)2=a2(a2+24)，解得a2=3,由(1)可知，4a1=a225=4,a1=1，又因为a2a1=31=2，则an是首项a1=1,公差d=2的等差数列. 数列an的通项公式为an=2n1.,【规律方法】数列中不等式的处理方法 (1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式
14、. (2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到. (3)比较方法:作差或者作商比较.,【变式训练】已知各项均不相等的等差数列an的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列. (1)求数列an的通项公式. (2)设Tn为数列 的前n项和,若Tnan+1对一切nN*恒成立,求实数的最小值.,【解析】(1)设公差为d, 由已知得 解得d=1或d=0(舍去)， 所以a1=2，故an=n+1.,【加固训练】 (2014太原模拟)已知等差数列an的公差不为零,且a3=5,a1, a2,a5成等比数列. (1)求数列an的通项公式. (2)若数列bn满足b1+2b2+4b3
15、+2n-1bn=an且数列bn的前n项 和为Tn,试比较Tn与 的大小.,【解析】(1)在等差数列an中,设公差为d(d0),所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.,(2)b1+2b2+4b3+2n-1bn=an , b1+2b2+4b3+2n-1bn+2nbn+1=an+1 , -得:2nbn+1=2,所以bn+1=21-n, 当n=1时,b1=a1=1,所以bn= 即,当n=1时,T1=b1=1, =1,所以 当n2时,又2n=(1+1)n= n+1(n2), 所以 所以当n=1时, 当n2时,考点4 数列的实际应用问题 【典例4】某公司一下属企业从事某种高科技产品的生
16、产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.,(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式. (2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).,【解题视点】(1)只要根据增长率求出当年年底的资金总额,再减去上缴的资金,就是剩余资金,即可求出a1,a2,以及建立an+1与an间的递推关系式. (2)使用逐次迭代的方法或者构造
17、等比数列的方法均可求出数列an的通项公式an,令am=4000即可求出d.,【规范解答】(1)由题意得a1=2000(1+50%)-d =3000-d, a2=a1(1+50%)-d= a1-d=4500- d, 所以an+1=an(1+50%)-d= an-d.,(2)方法一:由(1)得,当n2时,整理得 由题意,am=4000, 所以 (3000-3d)+2d=4000, 解得 故该企业每年上缴资金d的值为 时,经过m(m3) 年企业的剩余资金为4000万元.,方法二:由于an+1= an-d, 设an+1+= (an+),化为an+1= an+ ,与an+1= an-d比较可 得=-2d
18、, 故an+1-2d= (an-2d),这说明数列an-2d是以a1-2d=3000-3d为 首项, 为公比的等比数列, 所以an-2d=(3000-3d) 即an=(3000-3d) +2d. (下同方法一).,【规律方法】解答数列实际应用问题的步骤 (1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表:,(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确. (3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点
19、. 提醒:一般地,涉及递增率或递减率要用等比数列,涉及依次增加或减少要用等差数列,有的问题是可以通过转化得到等差或等比数列的,注意之间的联系.,【变式训练】(2014广州模拟)某学校餐厅为了保证每天供应1000名学生用餐,每星期一都提供有A,B两种菜可供学生选择(每个学生都将从二种中选一种),经调查,凡是在本周星期一选A菜的,下周星期一会有20%改选B,而选B菜的,下周星期一则有30%改选A.用an,bn分别表示在第n个星期一选A,B菜的人数(a1,b1表示本周星期一选A,B菜人数),若a1=200. (1)试以an表示an+1. (2)证明:an的通项公式是an=(-400) +600. (
20、3)试问从第几个星期一开始,选A的人数超过选B的人数?,【解析】(1)由题可知,因为在本周星期一选A菜的,下周星期一会有20%改选B,而选B菜的,下周星期一则有30%改选A,所以an+1=an(1-0.2)+0.3bn, 又an+bn=1000,所以整理得:an+1= an+300. (2)因为a1=200,且an+1= an+300, 所以an+1-600= (an-600), 即an-600可以看成是首项为-400,公比为 的等比数列, 所以an=(-400) +600.,(3)由an+bn=1000,anbn得an500, 又an=(-400) +600,所以 3. 答:从第4个星期一开
21、始,选A的人数超过选B的人数.,【加固训练】 流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市11月份曾发生流感,据资料统计,11月1日,该市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制.从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8670人.问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?并求出这一天的新患者人数.,【解析】设从11月1日起第n(nN*,1n30)日感染此病毒的 新患者人数最多,则从11月1日至第n日止,每日
22、新患者人数依次 构成一个等差数列,这个等差数列的首项为20,公差为50,前n日 的新患者总人数即该数列的前n项之和Sn=20n+ 50= 25n2-5n.,从第n+1日开始,至11月30日止,每日的新患者人数依次构成另 一等差数列,这个等差数列的首项为20+(n-1)50-30=50n- 60,公差为-30,项数为(30-n),(30-n)日的新患者总人数为T30-n =(30-n)(50n-60)+ (-30)=(30-n)(65n-495) =-65n2+2445n-14850. 依题意得Sn+T30-n=8670, 即(25n2-5n)+(-65n2+2445n-14850)=8670. 化简得n2-61n+588=0,解得n=12或n=49.,因为1n30,所以n=12. 第12日的新患者人数为20+(12-1)50=570. 所以11月12日,该市感染此病毒的新患者人数最多,且这一天的新患者人数为570人.,
