1、小专题复习课（四） 立体几何,热点 空间几何体的三视图 1.如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题： 存在三棱柱，其主视图、俯视图如图； 存在四棱柱，其主视图、俯视图如图； 存在圆柱，其主视图、俯视图如图. 其中真命题的个数是( ) (A)3 (B)2 (C)1 (D)0,【解析】选A.存在直三棱柱，其三视图中有两个为矩形，一个为直角三角形满足条件，故为真命题； 存在正四棱柱，其三视图均为矩形，满足条件，故为真命题； 对于任意的圆柱，其三视图中有两个为矩形，一个是以底面半径为半径的圆，也满足条件，故为真命题.故选A.,2.如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为
2、则该几何体的俯视图可以是( ),【解析】选C.方法一：体积为 而高为1，故底面积为 选C. 方法二：选项A得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除A；而选项B，D所得几何体的体积都与有关，排除B，D；易知选项C符合.,3.若正三棱锥的主视图与俯视图如图所示（单位：cm），则它的左视图的面积为_cm2.,【解析】由主视图和俯视图可知，左视图的底边长为俯视图的 高，即 左视图的高为主视图的高 所以左视图的面积为答案：,热点 一 空间几何体的表面积与体积的计算问题 1.(2013济南模拟) 一个几何体的三视图如图所示(单位:cm), 则此几何体的表面积是( ),【解析】选A.由三视图可得该几何体是正
3、四棱锥与正方体的组 合，S表面积,2.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积为( ),【解析】选A.由三视图可知，该几何体上部是一个圆台，下部是一个半球，故其体积为,3.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积是( ),【解析】选B.根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥D-ABC，其中平面ADC平面ABC，ADC为等边三角形. 取AC的中点为E，连接DE，BE，则有DEAC，所以DE平面ABC，所以DEEB.,由图中数据知AE=EC=EB=1， AC=2.设此三棱锥的外接球的球心 为O，则它落在高线DE上，连接OA，则有AO2
4、=AE2+OE2=1+OE2， AO=DO=DE-OE= 所以 故球O的半径为 故 所求几何体的外接球的表面积,4.（2013海淀模拟）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( ),【解析】选A.由三视图知，该几何体是正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，以正方体的上面为底面的四棱锥后的剩余部分，其体积为,热点 二 有关线、面位置关系和命题真假的判断 1.设l,m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确 的是( ) (A)若lm,m ,则l (B)若l,lm,则m (C)若l,m ，则lm (D)若l,m
5、,则lm,【解析】选B.根据线线、线面位置可知，A中l可在内或者与相交但不垂直或者l与平行，C中l与m也可以异面，D中l与m也可以异面或相交.故选B.,2.（2013武汉模拟）设,为两个不重合的平面，m,n是两 条不重合的直线，给出下列命题： 若mn,m,则n; 若n ,m ,与相交且不垂直，则n与m不垂直； 若mn,n,则m. 其中所有真命题的序号是_. 【解析】若mn,m,则n或n ,是假命题； 中的n与m可以垂直，假命题；是真命题. 答案：,热点 三 空间位置关系的证明 1.如图，已知AB平面ACD，DEAB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中点， （1）求证：AF平面BCE.
6、 （2）求证：平面BCE平面CDE. （3）求此多面体的体积.,【解析】（1）取CE的中点P，连接FP，BP， F为CD的中点，FPDE，且 又ABDE，且 ABFP，且AB=FP， 四边形ABPF为平行四边形，AFBP. 又AF 平面BCE，BP 平面BCE， AF平面BCE. （2）AD=AC，F是CD的中点， AFCD. AB平面ACD，DEAB， DE平面ACD.又AF 平面ACD，,DEAF.又AFCD，CDDE=D， AF平面CDE.又BPAF，BP平面CDE. 又BP 平面BCE，平面BCE平面CDE. （3）此多面体是一个以C为顶点，以四边形ABED为底面的四棱 锥，又 AC=
7、AD=2，AFCD， CD=2，ACD为等边三角形.平面ABED平面ADC， 等边三角形ACD中AD边上的高就是四棱锥的高，,2.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是梯形，ADBC，ACCD，E是AA1上的一点. （1）求证：CD平面ACE. （2）若平面CBE交DD1于点F，求证:EFAD.,【证明】（1）因为ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，所以AA1平面 ABCD. 因为CD 平面ABCD，所以AA1CD，即AECD. 因为ACCD，AE 平面AEC，AC 平面ACE，AEAC=A，所以 CD平面ACE. （2）因为ADBC，AD 平面ADD1A1，BC 平
8、面ADD1A1，所以 BC平面ADD1A1. 因为BC 平面BCE，平面BCE平面ADD1A1=EF，所以EFBC. 因为ADBC，所以EFAD.,3.如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，BD交AC于点E，F是PC的中点，G为AC上一点. （1）求证：BDFG. （2）确定点G在线段AC上的位置，使FG平面PBD，并说明理由.,【解析】（1）PA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对 角线BD，AC交于点E，PABD，ACBD，又PAAC=A， BD平面PAC，FG 平面PAC， BDFG. （2）当G为EC中点，即 时，FG平面PBD.理由如 下：连接PE，由F
9、为PC的中点，G为EC的中点，知FGPE，而 FG 平面PBD，PE 平面PBD，故FG平面PBD.,热点 四 折叠问题 1.将如图所示的直角梯形ABEF（图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD折成直二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图所示.（1）证明：BE平面ADF. （2）设M是FB的中点，求证：EM平面BDF.,【证明】（1）CEDF，CE 平面DAF，DF 平面DAF，CE平面DAF. 又BCAD，BC 平面DAF，AD 平面DAF， BC平面DAF. CEBC=C，平面CBE平面DAF. 又BE 平面CBE，BE平面ADF.,（2）取BD的中点O，连接MO，CO. 则MOF
10、D，且 ECMO且EC=MO四边形MECO为 平行四边形MECO. 由已知FDDC，平面FDC平面ABCD，平面FDC平面 ABCD=CD， FD平面ABCD，FDOC. 又易知BDOC，BDFD=D， CO平面BDF.EM平面BDF.,2.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2a，A=60，E为线段AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成ADE,使AC=2a,F为线段AC的中点. 求证：(1)BF平面ADE. (2)平面ADE平面ABCD.,【证明】(1)取AD的中点G，连接GF，GE， 由条件易知：FGCD， BECD， FGBE，FG=BE，四边形BEGF为平行四边形，BFEG， 又BF 平面ADE，BF平面ADE. (2)在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2a， AE=EB=EA=AD=DA=a, 取DE中点H，连接AH，CH，AH,则AHDE.A=DAE=60,在CHD中，CH2=DH2+DC2-2DHDCcos 60=在CHA中， AHHC. 又HCDE=H，AH平面ABCD， 又AH 平面ADE,平面ADE平面ABCD.,
