1、第三节 圆 的 方 程,1.圆的定义、方程,定点,定长,（a,b）,D2+E2-4F0,2.点与圆的位置关系 (1)确定方法：比较_与_的距离与半径的大小关系. (2)三种关系： 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0,y0). _点在圆上； _点在圆外； _点在圆内.,点,圆心,(x0-a)2+(y0-b)2=r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）. （1）确定圆的几何要素是圆心与半径.( ) （2）方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圆心为(a,b)，半径为 t的一个圆.(
2、) （3）方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为 半径 为 的圆.( ),（4）方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C0，B=0，D2+E2-4AF0.( ) （5）若点M（x0,y0）在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则x02+y02+Dx0+Ey0+F0.( ),【解析】（1）正确.圆由其圆心和半径两个要素就确定了. （2）错误.当t0时，方程表示圆心为（-a,-b），半径为|t| 的圆. （3）错误.当a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0即-2a 时才表示圆. （4）正确.因为A=C0,B=0,D2+E2-4AF0得方程Ax2+
3、Bxy+ Cy2 +Dx+Ey+F=0表示圆，反之也成立.,（5）正确.因为点M（x0,y0）在圆外， 所以 即x02+y02+Dx0+Ey0+F 0. 答案：（1） （2） (3) (4) (5),1.圆心为点（0，1），半径为2的圆的标准方程为( ) （A）(x-1)2+y2=4 （B）x2+(y-1)2=2 （C）x2+(y-1)2=4 （D）(x-1)2+y2=2 【解析】选C.由已知得圆的标准方程为（x-0）2+(y-1)2=22，即x2+(y-1)2=4.,2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是( ) （A）（2，3），13 （B）（-2，3），13 （C）（-2，
4、-3）， （D）（2，-3）， 【解析】选D.由x2+y2-4x+6y=0得(x-2)2+(y+3)2=13，故圆心坐 标为（2，-3），半径为,3.若点（2，3）在圆C:(x-1)2+(y-2)2=r2外，则( )【解析】选D.由已知得 即 且r0.,4.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )【解析】选D.由已知得充要条件为（4m）2+(-2)2-45m0，即4m2-5m+10，解得：,5.已知点A(1,2)在圆：x2+y2+ax-2y+b=0上，且点A关于直线 x-y=0的对称点B也在圆上，则a=_,b=_.,【解析】方法一：点A(1,2)关于直线x-y=0的对称点
5、为 B(2,1)，又因为A，B两点都在圆上，方法二：易知圆心在y=x上， 即a=-2.又点A(1,2)在圆x2+y2-2x-2y+b=0上， 12+22-21-22+b=0,b=1. 答案：-2 1,考向 1 确定圆的方程 【典例1】（1）（2013南昌模拟）已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为( ) （A）(x+2)2+(y-2)2=1 （B）(x-2)2+(y+2)2=1 （C）(x+2)2+(y+2)2=1 （D）(x-2)2+(y-2)2=1,（2）（2013巢湖模拟）过点A（6，0），B（1，5），且圆心C在直线l：2
6、x-7y+8=0上的圆的方程为_. （3）已知A（0，1），B（2，1），C（3，4），D（-1，2），问这四点能否在同一个圆上？为什么？,【思路点拨】（1）先求出圆C1圆心（-1，1）关于直线x-y-1=0的对称点圆C2的圆心的坐标，半径不变，即可求出圆的方程. （2）可根据圆的圆心在弦AB的垂直平分线上，先由直线l的方程与弦AB的垂直平分线的方程求其圆心C的坐标，再求圆的半径r=|AC|，从而求得圆的方程；也可用待定系数法，设出圆的标准方程或一般方程，依据已知条件构建关于a,b,r或D,E,F的方程组求解.,（3）先求过A，B，C三点的圆的方程，再验证点D与圆的位置关系即可.,【规范解答】
7、(1)选B.设圆C1圆心（-1，1）关于直线x-y-1=0 的对称点为C2(x1,y1),又由对称性知圆C2的半径与圆C1的半径相等， 所以r2=1, 故圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.,（2）方法一：A（6，0），B（1，5）， 线段AB的中点坐标为 AB垂直平分线方程为 即x-y-1=0. 由方程组 得圆心C的坐标为（3，2）. 又半径r=|AC|= 所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=13.,方法二：设所求圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2. 由已知，得所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=13.,方法三：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D
8、2+E2-4F0），解得：D=-6,E=-4,F=0. 所求圆的方程为x2+y2-6x-4y=0， 即(x-3)2+(y-2)2=13. 答案：（x-3）2+(y-2)2=13,（3）设经过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D2+E2-4F0），故经过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2-2x-6y+5=0. 即（x-1）2+(y-3)2=5. 把点D的坐标（-1，2）代入上面方程的左边，得（-1-1）2+ （2-3）2=5.所以点D在经过A，B，C三点的圆上，故A，B，C， D四点在同一个圆上.,【互动探究】本例题（2）中条件变为“经过点A（6，0），且与直线l:2
9、x-3y+13=0相切于点B（1，5）的圆”，结果如何？,【解析】依题设可知，圆心在过切点B（1，5）且与l垂直的直 线上，其斜率为 所以方程为 即3x+2y- 13=0. 又圆心在AB的垂直平分线x-y-1=0上，半径 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=13.,【拓展提升】 1.求圆的方程的两种方法 （1）直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. （2）待定系数法： 若已知条件与圆心（a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值;,若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列
10、出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值. 2.确定圆心位置的方法 （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上. （2）圆心在圆的任意弦的垂直平分线上. （3）两圆相切时，切点与两圆圆心共线.,【变式备选】求圆心在直线y=-4x上，并且与直线l:x+y-1=0 相切于点P（3，-2）的圆的方程. 【解析】方法一：设圆心C（a,-4a）， 由题意得：即a2-2a+1=0，解得a=1， 圆心C（1，-4），r=|PC|= 圆的标准方程为（x-1）2+(y+4)2=8.,方法二：过切点P且与l垂直的直线是 y+2=x-3，即x-y-5=0.于是 圆的方程为（x-1）2+（y+4）2=8.,考向
11、2 与圆有关的最值问题 【典例2】（1）（2013宝鸡模拟）在圆x2+y2-2x-6y=0内， 过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形 ABCD的面积为( )（2）已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0. 求 的最大值和最小值； 求y-x的最大值和最小值； 求x2+y2的最大值和最小值.,【思路点拨】（1）由图形的几何性质判断并求得最长弦AC 和最短弦BD是关键. （2）充分利用所求代数式的几何意义，运用几何法求解. 为点(x,y)与原点连线的斜率. y-x表示动直线y=x+b在y轴上的截距； x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方，也可以消去一个 元，转化为
12、在函数定义域内求最值.,【规范解答】（1）选B.由题意可知，圆的圆心坐标是（1， 3），半径是 且点E（0，1）位于该圆内， 由图形的几何性质得，过点E（0，1）的最短弦是以该点为中 点的弦， 最短弦长 而过E（0，1）的最长弦长等于该圆的直径，即 且ACBD，,（2）原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心 为 半径的圆 的几何意义为点(x,y)与原点连线的斜率. 所以设 即y=kx,当直线与圆相切时，斜率k取最大值或最 小值，此时 解得 所以 的最大值为 最小值为 y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距.当直线与圆相切时，直 线y=x+b在y轴上的截距取最大值或最小值，
13、此时 解得 所以y-x的最大值为 最小值为,方法一：x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方.由平面几 何知识可知，原点与圆心的连线所在直线与圆的两个交点处取 得最大值或最小值.又圆心到原点的距离为2， 故(x2+y2)max= (x2+y2)min=,方法二：由x2+y2-4x+1=0得：y2=-x2+4x-1,且-x2+4x-10, 即 x2+y2=x2+(-x2+4x-1)=4x-1, (x2+y2)max= (x2+y2)min=,【拓展提升】 1.与圆有关的长度或距离最值问题的解法 一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.,2.与圆上点有关代数式的最值问题的常
14、见类型及解法 （1）形如 型的最值问题，可转化为过点(a,b）和点 （x,y)的直线的斜率的最值问题. （2）形如t=ax+by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最 值问题. (3)形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的 距离平方的最值问题.,【变式训练】在OAB中，已知O（0，0），A（8，0）， B（0，6），OAB的内切圆的方程为（x-2）2+（y-2）2=4， P是圆上一点. （1）求点P到直线l：4x+3y+11=0的距离的最大值和最小值. （2）若S=|PO|2+|PA|2+|PB|2，求S的最大值和最小值.,【解析】（1）由方程(x-2)2+(y-2)
15、2=4得该圆圆心坐标为（2，2），半径为2， 故圆心（2，2）到直线l的距离为 由图形的几何性质得，点P到直线l的最大值为5+2=7，最小值 为5-2=3. （2）设P（x,y），则（y-2）2=4-（x-2）2=-x2+4x且 -x2+4x0，即0x4,S=|PO|2+|PA|2+|PB|2 =x2+y2+(x-8)2+y2+x2+(y-6)2 =3x2-16x+88+3(y-2)2 =3x2-16x+88+3(-x2+4x) =-4x+88. 又x0，4， Smax=-40+88=88,Smin=-44+88=72.,考向 3 与圆有关的轨迹问题 【典例3】（2013安庆模拟）已知P（4，
16、0）是圆x2+y2=36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足APB=90. （1）求AB中点R的轨迹. （2）求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.,【思路点拨】（1）寻找到点R满足的等量关系，利用直接法求出R的轨迹方程，再根据方程判定其轨迹. （2）利用点Q与R的关系，结合相关点法（代入法）求其轨迹方程.,【规范解答】（1）如图所示，在RtABP中. APB=90， R是弦AB的中点， AR=PR，设R（x,y）， 有,整理得x2+y2-4x-10=0，即（x-2）2+y2=14, 所以轨迹为以（2,0）为圆心 为半径的圆. （2）设Q（x,y），R（x1,y1）. 四边形APBQ为矩形， R是
17、PQ的中点.,又点R（x1,y1）在圆x2+y2-4x-10=0上， 有 整理得x2+y2=56， 即矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2+y2=56.,【拓展提升】求与圆有关的轨迹方程的常用方法【提醒】注意轨迹与轨迹方程的区别.,【变式训练】已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9，过点A(2,3）作圆C的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程.,【解析】方法一：直接法 设P（x,y），由题意知圆心C（，）. P点是过点A的弦的中点， 又 （2-x,3-y） =(1-x,1-y), (2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0, P点的轨迹方程为,方法二：定义法 由已知得，PAPC,由圆的性质
18、知点P在以AC为直径的圆上， 又圆心C（1，1），而AC中点为 所以半径为 所求动点P的轨迹方程为,【满分指导】解答与圆的方程有关的综合题 【典例】（12分）（2013萍乡模拟）已知以点C（ ）（tR，t0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点 O，B，其中O为原点. （1）求证：OAB的面积为定值. （2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C 的方程.,【思路点拨】,【规范解答】（1）圆C过原点O， 设圆C的方程是 2分 令x=0，得y1=0, 3分 令y=0，得x1=0,x2=2t，|OA|=|2t|，4分 SOAB= 即OAB的面积为定值.6分,（2
19、）|OM|=|ON|，|CM|=|CN|， OC垂直平分线段MN.8分 kMN=-2， 直线OC的方程是解得t=2或t=-2.9分 当t=2时，圆心C的坐标为（2，1）， 此时C到直线 y=-2x+4的距离 圆C与直线y=-2x+4相交于两点. 10分,当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1）， 此时C到直 线y=-2x+4的距离 圆C与直线y=-2x+4不相交， t=-2不符合题意，舍去.11分 圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5.12分,【失分警示】（下文见规范解答过程）,1.（2013宜春模拟）已知圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0，那么下列直线中经过圆心的直线方程为(
20、) （A）2x-y+1=0 （B）2x+y+1=0 （C）2x-y-1=0 （D）2x+y-1=0 【解析】选B.圆的方程x2+y2-2x+6y+8=0可化为 (x-1)2+(y+3)2=2,得其圆心为(1,-3)，经检验知，B符合要求.,2.（2013合肥模拟）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1， 2）的圆的方程为( ) （A）x2+(y-2)2=1 （B）x2+(y+2)2=1 （C）(x-1)2+(y-3)2=1 （D）x2+(y-3)2=1 【解析】选A.设圆心坐标为（0,b），则由题意知解得b=2，故圆的方程为x2+(y-2)2=1.,3.（2013铜川模拟）已知两定点A（-2，0）
21、，B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( ) （A） （B）4 （C）8 （D）9 【解析】选B.设P（x,y），由题知：（x+2）2+y2=4（x- 1）2+y2，整理得x2-4x+y2=0，配方得(x-2)2+y2=4.可知圆的面积为4.,4.（2013九江模拟）直线x-2y-2k=0与2x-3y-k=0的交点在圆 x2+y2=9的外部，则k的范围是_. 【解析】 又交点在圆x2+y2=9的外部， （-4k）2+（-3k）29，即25k29. 解得 答案：,5.(2013西安模拟)点P（1，2）和圆C：x2+y2+2kx+2y+k2=0上 的
22、点的距离的最小值是_. 【解析】由圆C：x2+y2+2kx+2y+k2=0得：（x+k）2+（y+1）2=1. 圆心坐标为C（-k,-1）， 当k=-1时， 由图形几何性质得点P（1，2）和圆上的点的距离的最小值为 3-1=2. 答案：2,1.方程 所表示的曲线图形是( ),【解析】选D.由已知得 （y0)或lg(x2+y2-1)=0(x1)， 即x=1（y0)或x2+y2=2（x1）， 综合图形知选D.,2.若圆（x-3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，则半径r的取值范围是( ) （A）（4，6） （B）4，6） （C）（4，6 （D）4，6 【解析】选A.因为圆心（3，-5）到直线4x-3y-2=0的距离为5，所以当半径r=4时，圆上有1个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，当半径r=6时，圆上有3个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1时，4r6.,
