1、第二节 等 差 数 列,1.等差数列的概念 从第2项起，每一项与前一项的差是同一个_，我们称这样 的数列为等差数列，这个常数为等差数列的_，通常用字 母d表示；定义的表达式为：_. 2.等差数列的通项公式 若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an= _.,常数,公差,an+1-an=d(nN+),a1+(n-1)d,3.等差中项 如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么_叫 作a与b的等差中项. 4.等差数列的前n项和公式,A,5.等差数列的性质 （1）在公差不等于零的等差数列an中，m+n=p+q _(m,n,p,qN+); _am+an=2ap(m,n,p
2、N+). (2)若an,bn都是等差数列，k,mR，数列kan+mbn为_ _. （3）若Sm为等差数列的前m项和，则Sm,S2m-Sm，S3m-S2m为_ _.,am+an=ap+aq,m+n=2p,等差,数列,等差,数列,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）. （1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( ) （2）数列an为等差数列的充要条件是对任意nN+，都有2an+1=an+an+2( ) （3）等差数列an的单调性是由公差d决定的( ) （4）数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数( ) （5）等差数列的前n项和公式是
3、常数项为0的二次函数( ),【解析】（1）错误.若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，这个数列就不是等差数列. （2）正确如果数列an为等差数列，根据定义an+2-an+1=an+1-an，即2an+1=an+an+2；反之，若对任意nN+，都有2an+1=an+an+2，则an+2-an+1=an+1-an=an-an-1a2-a1，根据定义数列an为等差数列 （3）正确.当d0时为递增数列；d=0时为常数列；d0时为递减数列.,（4）错误根据等差数列的通项公式，an=a1+(n-1)d=dn+(a1- d)，只有当d0时，等差数列的通项公式才是n的一次函数， 否则不是
4、 （5）错误根据等差数列的前n项和公式，显然只有公差d0时才是n的常数项为0的二 次函数，否则不是（甚至也不是n的一次函数，即a1=d=0时） 答案：（1） （2） （3） （4） （5）,1在等差数列an中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于 ( ) (A)40 (B)42 (C)43 (D)45 【解析】选B.方法一：a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=13,又a1=2,d=3，a4+a5+a6=a1+3d+a1+4d+a1+5d=3a1+12d=32+123=42. 方法二：a1+a2+a3=3a2=15， a2=5，d=3,a5=a1+4d=14， a4
5、+a5+a6=3a5=314=42.,2.已知an是等差数列，且a3+a9=4a5，a2=-8，则该数列的公 差d是( ) (A)4 (B) (C)-4 (D)-14 【解析】选A.因为a3+a9=4a5，所以根据等差数列的性质可得： a6=2a5，所以a1+5d=2a1+8d.又因为a2=-8，即a1+d=-8，所以可 得公差d=4故选A,3 与 的等差中项是_. 【解析】 与 的等差中项为 答案：,4在等差数列an中，a5=10，a12=31，则该数列的通项公式为_. 【解析】a5=a1+4d,a12=a1+11d, 解得 an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)3=3n-5. 答案：a
6、n=3n-5,5在等差数列an中，d=2，a15=-10，则S15=_. 【解析】由an=a1+(n-1)d，得 -10=a1+(15-1)2，解得a1=-38， 答案：-360,考向 1 等差数列的基本运算 【典例1】（1）（2013江西师大附中模拟）已知an为等差 数列，且a72a41,a30,则公差d( ) (A)2 (B) (C) (D)2 （2）（2013宁德模拟）设Sn为等差数列an的前n项和，若 a2=1,a4=5，则S5等于( ) (A)7 (B)15 (C)30 (D)31,（3）（2013皖北模拟）已知公差不为0的等差数列an满足 a1,a3,a4成等比数列，Sn为an的前
7、n项和，则 的值为 _ 【思路点拨】（1）根据已知和等差数列的通项公式得关于 a1,d的方程组，解方程组即得.（2）根据a2=1,a4=5，求出a1,d, 再使用求和公式，或者直接使用等差数列性质.（3）根据 a1,a3,a4成等比数列可得关于a1,d的方程，根据这个方程确定 a1,d的关系即可确定所求的比值,【规范解答】（1）选B由a72a41, a30,得 得 （2）选B方法一：由等差数列通项公式得：5=1+2d,d=2,a1=-1,S5=15. 方法二： （3）设公差为d，则(a1+2d)2=a1(a1+3d)，即 解得a1=-4d(舍去d=0).答案：2,【互动探究】本例题（2）中条件
8、不变，则Sn=_. 【解析】在本例（2）的方法一中已经求解出 所以 =n2-2n. 答案：n2-2n,【拓展提升】 1.等差数列运算问题的通性通法 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由 通项公式或前n项和公式转化为方程（组）求解. 2.等差数列前n项和公式的应用方法 根据不同的已知选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使 用公式 若已知通项公式，则使用公式,【变式备选】（2012泉州模拟）已知等差数列an中, a5=1,a3=a2+2,则S11=_. 【解析】由a3=a2+2，得公差d=a3-a2=2.由a5=a1+42=1，得 a1=-7，所以 答案：33,考向 2 等差
9、数列的判定 【典例2】（1）若an是公差为1的等差数列，则a2n-1+2a2n 是( ) (A)公差为3的等差数列 (B)公差为4的等差数列 (C)公差为6的等差数列 (D)公差为9的等差数列 （2）已知Sn为等差数列an的前n项和， 求证：数列bn是等差数列.,【思路点拨】（1）构造新数列cn，使得cn=a2n-1+2a2n，根据cn+1-cn是否对任意正整数n都等于同一个常数作出判断 （2）证明bn+1-bn对任意正整数n都等于同一个常数，或者利用等差中项的方法证明任意的三项都成等差数列 【规范解答】（1）选C.设an的公差为d，则d=1.设cn=a2n-1 +2a2n，则cn+1=a2n
10、+1+2a2n+2，cn+1-cn=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6，故选C,（2）设等差数列an的公差为d，方法一：（常数）, 数列bn是等差数列.,方法二：=2a1+nd=2bn+1.因此bn+2-bn+1=bn+1-bn=bn-bn-1=b2-b1, 数列bn是等差数列.,【拓展提升】等差数列的四个判定方法 （1）定义法：证明对任意正整数都有an+1-an等于同一个常数. （2）等差中项法：证明对任意正整数都有2an+1=an+an+2后，可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=a2-a1，根据定义得出数列an为等差数列.
11、 （3）通项公式法：得出an=pn+q后，得an+1-an=p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列.,（4）前n项和公式法：得出Sn=An2+Bn后，根据Sn,an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列 【提醒】等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题中简单判断,【变式训练】设Sn为数列an的前n项和，Sn=pnan(nN+)，a10. (1)求常数p的值. (2)求证：数列an是等差数列.,【解析】(1)Sn=pnan,a10， a1=pa1p=1. (2)由(1)知：Sn=nan， 当n2时， an=Sn-
12、Sn-1=nan-(n-1)an-1, 整理可得(n-1)(an-an-1)=0, an-an-1=0(n2)，数列an是等差数列.,考向 3 等差数列的性质及最值的应用 【典例3】（1）（2012辽宁高考）在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=( ) (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 （2）在等差数列an中, a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=_. （3）（2013天津模拟）已知在等差数列an中，a1=31，Sn是它的前n项的和，S10=S22. 求Sn； 这个数列前多少项的和最大？求出这个最大值.,【思路点拨】（1）利用等差数列的性质
13、及 求解. （2）根据等差数列性质整体求解. （3）利用等差数列的性质求解； 利用二次函数思想或利用邻项变号法解决 【规范解答】（1）选B.由于an为等差数列，所以a1+a11=a4+a8=16,所以 （2）由等差数列的性质可知a2+a8=a4+a6=a3+a7=37, 所以a2+a4+a6+a8=372=74. 答案：74,（3）S10=a1a2a10 ， S22= a1a2a22，又S10= S22， a11a12a22=0，即a11a22=2a131d=0, 又a131， d2， ,方法一：由中可知Sn=32nn2=-（n-16）2+256， 当n16时，Sn有最大值，Sn的最大值是25
14、6 方法二：可得an=-2n+33. 由an=-2n+330，得 由an+1=-2n+310,得 又n为正整数，所以当n=16时，Sn有最大值256.,【拓展提升】 1.等差数列的性质 （1）项的性质：在等差数列an中，am-an=(m-n)d (mn)，其几何意义是点(n,an)，(m,am)所在直线的斜率等于 等差数列的公差 （2）和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)； S2n-1=(2n-1)an.,2.解等差数列的Sn最值问题的两种方法 （1）函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn，通过配方或借助图像求二
15、次函数最值的方法求解. （2）邻项变号法： a10,d0时，满足 的项数m使得Sn取得最小值为 Sm,【变式训练】（1）等差数列an前n项和为Sn，已知a1=13,S3=S11，当Sn最大时，n的值是( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 【解析】选C.方法一：S3=S11得a4+a5+a11=0，根据等差数列性质可得a7+a8=0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70,a80，故n=7时，Sn最大,方法二：由S3=S11可得3a1+3d=11a1+55d，把a1=13代入得d=-2， 故Sn=13n-n(n-1)=14n-n2，根据二次函数性质，当n=7时，Sn最 大.
16、 方法三：根据a1=13,S3=S11，知这个数列的公差不等于零.由 于S3=S11说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根 据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及 二次函数图像的对称性，当S3=S11时，只有 时，Sn 取得最大值,（2）已知等差数列an满足a2=3,Sn-Sn-3=51(n3),Sn=100,则 n的值为( ) （A）8 （B）9 （C）10 （D）11 【解析】选C.根据已知的两个条件列出方程，注意其中Sn-Sn-3 =51(n3)就是an-2+an-1+an,这个结果就是3an-1,由此得an-1 =17，这样a2+an-1=a1+an=20，
17、使用等差数列的求和公式由 解得n=10.,【满分指导】解答等差数列的综合题 【典例】(12分)（2013郑州模拟）设等差数列an的前n项 和为Sn,且 (c是常数，nN+),a2=6. (1)求c的值及数列an的通项公式. (2)设 求Tn.,【思路点拨】,【规范解答】（1）因为 所以当n=1时， 解得a1=2c. 2分 当n=2时，S2a2+a2-c,即a1+a2=2a2-c, 解得a2=3c,所以3c=6,解得c=2.4分 则a1=4,数列an的公差d=a2-a1=2, 所以an=a1+(n-1)d=2n+2. 6分,(2)因为 7分 所以9分 即 12分,【失分警示】 （下文见规范解答过
18、程）,1.(2012福建高考)等差数列an中，a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】选B.由等差中项的性质知 又a4=7,d=a4-a3=2.,2.（2012浙江高考）设Sn是公差为d（d0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是( ) (A)若d0，则数列Sn有最大项 (B)若数列Sn有最大项，则d0 (C)若数列Sn是递增数列，则对任意nN+，均有Sn0 (D)若对任意nN+，均有Sn0，则数列Sn是递增数列 【解析】选C.C项显然是错的，举出反例：-1，0，1，2，3，满足数列Sn是递增数列，但是Sn0不恒成立,3
19、.（2013南昌模拟）在等差数列an中，3(a3+a5)+2(a7+ a10+a13)=48，则等差数列an的前13项的和为( ) (A)104 (B)52 (C)39 (D)24 【解析】选B.根据等差数列性质与已知得 6a4+6a10=48,即a4+a10=8,4.（2012北京高考）已知an是等差数列，Sn为其前n项 和若 则a2=_，Sn=_ 【解析】S2=a3a1+a2=a3a1+a1+d=a1+2dd=a1= a2=a1+d=1,答案：1,5.（2012广东高考）已知递增的等差数列an满足a1=1， a3=a22-4，则an=_ 【解析】由a3=a22-4得到1+2d=(1+d)2
20、-4，即d2=4，因为an是递增的等差数列，所以d=2， 故an=2n-1 答案：2n-1,1.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列，则x的值等于( ) (A)1 (B)0或32 (C)32 (D)log25 【解析】选D.lg 2+lg(2x+3)=2lg(2x-1),2(2x+3)（2x-1)2，即(2x)2-42x-5=0,2x=5,则x=log25.,2在函数yf(x)的图像上有点列(xn，yn)，若数列xn是等 差数列，数列yn是等比数列，则函数yf(x)的解析式可能 为( ) (A)f(x)2x1 (B)f(x)4x2 (C)f(x)log3x (D),【解析】选D.对于函数 上的点列(xn，yn)，有由于xn是等差数列，所以xn1xnd，因此这是一个与n无关的非零常数，故yn是等比数列故选D.,
