1、第十四章 计数原理与二项式定理,第1讲,排列与组合,1分类加法原理与分步乘法原理做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，第 n 类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N_,种不同的方法,m1m2mn,做一件事，完成它要分成 n 个步骤，在第一个步骤中有 m1种不同的方法，在第二个步骤中有m2种不同的方法，第 n 个步骤中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N_,种不同的方法,m1m2mn,2排列与排列数(1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
2、元素的一个排列(2)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 m 个不同元素中取出 个元素的排列数，用 表,示，且,_.,3组合与组合数,n(n1)(n2)(nm1),(1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出 m 个元素的一个组合,(2)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 表示，且 _.,1已知集合 M1，2,3，N4,5,6，7，从两个集合 M、N 中各选一个数分别作为点的横坐标和纵坐标，则在第一、,二象限内不同的点个数为(,),B,A4,
3、B6,C8,D12,2(2010 湖北)现有 4 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲,座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(,),A54,B65,A,565432 C.2,D65432,3(2011 年广东惠州调研)从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加迎新座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，不同的选,法共有(,),D,A40 种,B120 种,C35 种,D34 种,4从 5 名男同学，3 名女同学中选 3 名参加公益活动，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有_种(用,数字作答),45,5安排 7 位工作人员在 10 月 1 日到 1
4、0 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在 10 月 1 日和 10 月 2 日不,同的安排方法共有_种,2 400,解析：共有 2 400 种不同的安排方法,考点1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,例1：(1)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位,数共有多少个？,(2)已知集合 M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上,的点(a，bM), P 可表示平面上多少个第二象限的点？解析：(1)方法一：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成8 类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8 个，7个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个，1
5、 个,由分类计数原理知，符合题意的两位数的个数共有：876,5432136(个),方法二：按个位数字是 2,3,4,5,6,7,8,9 分成8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，6 个，7个，8 个，所以按分类计数原理共有：1234567836(个),(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有3 种确定方法；第二步确定b，由于b0，所以有2种确定方法由分步计数原理，得到第二象限点的个数是326.,处理具体问题时，首先要弄清楚是“分类”还是“分步”，分类时各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事，分步时各个步骤相互依
6、存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，简单地说是“分类互斥、分步互依”，因此在解题时，要搞清题目的条件与结论，还要注意分类时，要不重不漏，分步时合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰对于复杂的题目，往往既要分类又要分步zx x k,【互动探究】1如图 1411，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块,种不同的花，则不同的种法总数为(,),图 1411,A96,B84,C60,D48,解析：此题要先分类后分步，分以下两种情况：,若A，C 种相同的花，先确定A，C 的种法，再依次确定B，D 的种法，由分步乘法原理，则有43336
7、 种法；若A，C 种不同的花，先依次确定A，C 的种法，再依次确定B，D 的种法，由分步乘法原理，则有432248 种法,由分类加法原理，则共有 364884.故选B.,答案：B,考点 2 排列问题,例1：7 位同学站成一排照相,(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(6)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？,解题思路：(1)中我们先考虑甲的位置，(2)(3)中先考虑甲、乙的位置，再考虑其他人(4)中将甲、乙
8、看成一个整体，与其他人的排列，(5)中应先排其他人再排甲、乙(6)是一个定序问题，根据对称性求解,排列组合中的一些基本方法：特殊元素优先考虑；对于相邻问题，采用“捆绑”法；对于不相邻问题采用“插空”法对于定序问题，可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列,【互动探究】2(2010 年四川)由 1,2,3,4,5 组成没有重复数字且 1,2 都不与,A,5 相邻的五位数的个数是(A36C28,)B32D24,考点3 组合问题,例2：从 4 名男同学和 3 名女同学中，选出 3 人参加学校的某,项调查，求在下列情况下，各有多少种不同的选法？,(1)无任何限制；,(2)甲、乙必须当选；(3
9、)甲、乙都不当选；,(4)甲、乙只有一人当选；(5)甲、乙至少有一人当选；(6)甲、乙至多有一人当选,解题思路：此题不讲究顺序，故采用组合数,对于有条件的组合问题，可能遇到含有某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误,【互动探究】3某地政府召集 5 家企业的负责人开会，其中甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人到会，会上有 3 人发言，则这 3 人,),B,来自 3 家不同企业的可能情况的种数为(B16A14C20D48,4某校有 6 间不同的电脑室，每天晚
10、上至少开放 2 间，欲求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：,的序号是_.,解析：(直接法)分为开放2 间，3 间，4 间，5 间，6 间五种情况，又由组合数的性质则正确；(间接法)每间电脑室有开放和不开放两种状态，根据分步乘法原理，则共有26 种情况，其中有开放 1 间电脑室的是不符合的，故安排方案为267 种，则正确,关于排列、组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧：特殊元素(特殊位置)优先考虑；排列、组合混合问题先选后排；相邻问题捆绑处理；不相邻问题插空处理；“小集团”排列问题先整体后局部；合理分类与准确分步； 正难则反，等价转化,在排列组合的问题的中，以下几个问题是很多学生容易弄错,的：,处理问题时分类分的有重复或遗漏的，平均分组还是不平均,分组的区别；先组合后排列的思想的应用,
